线性代数习题二解答

习题二解答1.两个零和对策问题.两个儿童玩石头--剪刀--布的游戏，每人的出法只能在{石头--剪刀--布}选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的得分.解删了2.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于3；选手2胜选手4，5，6负于1，3；选手3胜选手1，2，4负于5，6；选手4胜选手5，6负于1，2，3；选手5胜选手3，6负于1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.解，选手按胜多负少排序为123456.2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵与矩阵.且，试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.解3.设，求与.解4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.解，方法一获利最多.5.设，问（1）吗？（2）吗？（3）吗？解（１），因为，所以．（２）因为但所以（３）因为，，而，故6.举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若，则或；（3）若，且，则.

解（1）取，而，（2）取，有，而，（3）取，有，而.7.设，求.解；；由此推出下面利用数学归纳法证明这个结论．当时，结论显然成立．假设时结论成立，即有则对于时，有，故结论成立．8.增加设,求.解首先观察由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:8.设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由已知：充分性：由，得，所以即是对称矩阵.必要性：由得，所以.删了9.设为矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知：则从而也是对称矩阵.11.求下列矩阵的逆阵（（1）、（3）用公式法和初等行变换法求解）：改解(1)公式法：故初等行变换法：所以．(2)故存在从而(3)公式法;,故存在而故初等行变换法：所以．（４）由对角矩阵的性质知改10.解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）解(1)(2)(3)删了13.利用逆阵解下列线性方程组：解(1)方程组可表示为故从而有(2)方程组可表示为故故有删了14.把矩阵化为行最简形矩阵解15.设方阵满足，证明与均可逆，并求其逆矩阵证明由得两端同时取行列式:即,故所以可逆,而故也可逆.由得所以，则又由所以则.改11.设方阵满足，证明可逆，并求其逆矩阵.由得，即，所以，.12.已知对给定方阵，存在正整数，成立，试证可逆，并指出的表达式.证明，而，所以，则=13.设为3阶方阵，，求.解因为，所以，代入，得，又，故.14.设方阵可逆，证明其伴随矩阵也可逆，且.证明由，得，所以当可逆时，有，从而也可逆.因为，所以，又，所以另外：1辅导书中阶矩阵的伴随矩阵为的性质证明.(1)P41.定理，(2)当可逆时，(证：由左乘逆得出)；(3)当可逆时，(证：由左乘得由定理推论，得，又左乘，得)；(4)(证：由得即，同样，所以)(5)(证：又故当可逆时，).(6)(证：由和，得)；(7)(证：，，当可逆时，.同样，左乘，得，，故).(8)当可逆时，左乘，，即，故；(9).2..设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)若,则;(2).证明(1)用反证法证明．假设则有，由此得，与矛盾，故当时，有.(2)由于,则，取行列式得到:.若则，若由(1)知此时命题也成立.故有.15.设，，求.解由得即因为，所以可逆，则加了16.设三阶矩阵满足关系：，且,求.加了17.设，，求.删了19.设，，求.解由可得故删了21.设，其中，求.解因为，故所以而故删了22.设，其中，求.解因为，所以；又，，所以所以又因为所以加了18已知，其中，求及19.设和均可逆，证明也可逆，并求其逆矩阵.解因为，由得则所以可逆，其逆为.解二由，又和均可逆，故可逆，所以，也可逆.解三均可逆，，，所以，也可逆，.20.将矩阵化为行阶梯形矩阵，并求矩阵的一个最高阶非零子式.解的秩为3，其一个3阶非零子式为，对应于的3阶非零子式为.故即为矩阵的行阶梯形矩阵，矩阵的一个最高阶非零子式为.，21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）；（2）；（3）；（4）.22.求方阵的秩.解所以.23.设为阶矩阵，且,证明.增加矩阵秩的性质1.P57；2.其中；3.，即行秩=列秩P57；4.若等价，则；P585.若是可逆矩阵，则；6.；注：证明，特别地，当为列向量时，有证明设为的列向量极大线性无关组，为的列向量极大线性无关组，则的列向量均可由线性表出，而中线性无关的向量一定不超过个，所以.特别地，当为列向量时，有.为的列均可由线性表出，的列均可由线性表出，所以，于是.7.；证明一因为，对于方阵作初等变换，有，即，所以从而.证明二.证明三因为的列均可由的列线性表出，所以.8.；.证明设.因为，所以存在可逆矩阵，使得，于是，其中所以（※）显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非0行数（=），也不超过的秩（=），所以.9.若，则；证明P146.24.设，求.解，令则故5.设，证明.证明因为，故可逆，则存在有限个初等矩阵，使，于是由于初等矩阵左乘某一矩阵相当于对该矩阵进行了一次初等行变换，这个矩阵的秩不改变，从而即.2.设为阶方阵（），为其伴随矩阵，证明证明当时，为满秩矩阵，故.由，得，于是有，则.当时，由矩阵秩的定义知，中至少有一个阶子式不为0，从而至少有一个元素不为0，所以，另一方面，因，故，所以根据秩的性质，有若为阶矩阵，且，则，有，从而，故；当时，由矩阵秩的定义知，的所有阶子式全为0，从而，故.27.设阶方阵和阶方阵均可逆，求，利用这个结果求矩阵的逆矩阵.解利用这个结果取，则由得，