函数概念与图像

关于函数概念与图像知识结构概念三要素图象性质指数函数应用大小比较方程解的个数不等式的解实际应用对数函数函数第2页,共51页，2024年2月25日，星期天一个物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9X²。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离么？此问题中含有两个变量x和y，当一个变量x的取值确定后，另一个变量y的值随之唯一确定。根据初中知识，每一个问题都涉及一个确定的函数，这就是他们的共同特点。第3页,共51页，2024年2月25日，星期天定义

给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应法则f,对于A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A的函数.记作:f:A→B其中,x叫做自变量,y叫做函数值,集合A叫做定义域,y的集合叫做值域.或

y=f(x)x∈A.第4页,共51页，2024年2月25日，星期天所有输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。对A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域。函数的三要素：①定义域②值域③对应法则（解析式）判断是否为函数的方法：①是否有共同的对应法则②A中是否有剩余元素第5页,共51页，2024年2月25日，星期天给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。第6页,共51页，2024年2月25日，星期天例3下列函数中哪个与函数是同一个函数?解：（1）（2）（3）（1）这个函数与函数虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以这两个函数不是同一个函数.（2）这个函数与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同.所以这两个函数是同一个函数.（3）这个函数与函数的定义域都是实数R，但当时它的对应关系与函数不相同，所以这两个函数不是同一个函数.第7页,共51页，2024年2月25日，星期天映射概念：一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B第8页,共51页，2024年2月25日，星期天例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？

1.设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A

2.设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’

3.设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A

4.设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A

解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。第9页,共51页，2024年2月25日，星期天练习3判断下列各组函数是否同一函数？答案：（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数（2）定义域不同，不是同一函数（3）对应关系不同，不是同一函数判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同即可.第10页,共51页，2024年2月25日，星期天函数的定义域：使函数有意义的x的取值范围。求定义域的主要依据1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.6、实际问题中函数的定义域第11页,共51页，2024年2月25日，星期天1.求自变量的取值范围：第12页,共51页，2024年2月25日，星期天第13页,共51页，2024年2月25日，星期天例5画出函数y=|x|的图象.解：由绝对值的概念，我们有y=x,x≥0,-x,x<0.图象如下：-2-30123xy12345-1第14页,共51页，2024年2月25日，星期天画出函数y=|x-4|的图象.第15页,共51页，2024年2月25日，星期天小结（平移变换）：1.将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0时向左，k<0向右）得y=f(x+k)的图象。2.

将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k>0时向下，k<0向上）得y+k=f(x)的图象。

函数图象的变换总结：k>0,向负方向平移；k<0，向正方向平移。第16页,共51页，2024年2月25日，星期天画出下列函数的图象,并基础练习说明它们的关系:(1)

y=x2－x(2)

y=第17页,共51页，2024年2月25日，星期天y=x2－x第18页,共51页，2024年2月25日，星期天y=x2－x(x≤0或x≥1)第19页,共51页，2024年2月25日，星期天y=第20页,共51页，2024年2月25日，星期天第21页,共51页，2024年2月25日，星期天小结(翻折变换）：1.将函数y=f(x)图像保留x轴上方的部分并且把x轴下方的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图像2.将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部分，保留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图像函数图象的变换第22页,共51页，2024年2月25日，星期天画出下列函数的图象:(1)y=x2+2+1(2)y=第23页,共51页，2024年2月25日，星期天求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法1,已知求f(x).2,已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3求f(x).第24页,共51页，2024年2月25日，星期天函数的表示方法①列表法：用列表来表示两个变量之间函数的关系的方法。②解析法：用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。③图像法：用图像表示两个变量之间函数关系的方法。第25页,共51页，2024年2月25日，星期天例题购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x∈｛1,2,3,4｝）的函数，并指出该函数的值域。第26页,共51页，2024年2月25日，星期天例题1画出f(x)=丨x丨的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值例题2某是出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费。试写出收费额关于路程的函数解析式由上述例题中观察函数具有相同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数通常叫做分段函数第27页,共51页，2024年2月25日，星期天标题函数的简单性质第28页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转x

12-2-1o

12oyx-2-1321-1-2前面我们学习了函数，你能作出下列函数的图象吗？(1)y=2x+2(2)y=x2(3)y=1xx

12-2-1oy321-1-2y321-1-2观察图象变化趋势在(-,)上y随x的增大而增大在(-,0]上，y随x的增大而减少在[0,)上，y随x的增大而增大在区间(-,0)上及(0,)上y随x的增大而减少复习引入第29页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转一般地,设函数y=f(x)的定义域为A:

如果对于区间

内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说y=f(x)在区间

上是单调增函数

称为y=f(x)的单调增区间.说明：(1)定义域(2)区间(3)任意(4)自变量的大小与函数值大小的关系单调性概念

如果对于区间

内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x)在区间

上是单调减函数称为y=f(x)的单调减区间.第30页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说该函数y=f(x)在这一区间上具有单调性增函数和减函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称为单调区间有关的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1＜X2时，都有f(X1)＜f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1＜X2时，都有f(X1)＞f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间。第31页,共51页，2024年2月25日，星期天一般地，设y=f(x)的定义域为A如果存在x。∈A，使得对于任意的x∈A，都有

f(x)≤f（x。),那么称f（x。）为f(x)的最大值，记为ymax=f(x。)；如果存在x。∈A，使得对于任意的x∈A，都有

f(x)≥f（x。),那么称f（x。）为f(x)的最小值，记为ymin=f(x。)；第32页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数y=f(x)的单调区间并指出哪些是增区间哪些是减区间x

12-2-10y321-1-2-5-4-3345函数y=f(x)的单调区间有：[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]增区间有：[-2,1],[3,5]减区间有：[-5,-2],[1,3]单调区间的判断第33页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转单调区间的判断练习：

已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象(包括端点），根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数

12x-2-1oy321-1-2x-л-л/2oy321-1-2л/2л第34页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转单调区间的判断例2.写出函数的单调增区间及单调减区间(1)y=x+1(2)y=-x2+2x(3)y=2x增区间减区间(-,1][1,+)(0,)(-,0)，无(-,+)无2x(1)y=-x+2(2)y=x2+2x(3)y=-练习：写出下列函数的单调增区间及单调减区间[-1,)(-,-1](-,0)，(0,)无(-,)无增区间减区间第35页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转单调区间的判断思考：

怎样判断函数的单调性？第36页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转单调性的证明例3.证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数证明：设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)因为x1<x2，所以x1-x2<0所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)所以，f(x)=3x+2在R上是增函数(1)设数(2)作差(3)因式分解(4)判断符号(5)对比定义(6)得出结论第37页,共51页，2024年2月25日，星期天证明：设x1,x2是(0,+

)上的任意两个实数,且x1<x2，因为0<x1<x2,所以X2-x1>0且x1x2>0所以f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)(1)设数(2)作差(3)因式分解(4)判断符号(5)对比定义(6)得出结论例4.证明函数f(x)=在（0，+

）上是减函数1x则f(x1)-f(x2)=-1x11x2=x1x2x2–x1所以，f(x)=在（0，

）上是减函数1x单调性的证明例：证明f（x）=x³在（-∞，+∞）上是增函数第38页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转单调性的证明2证明函数f(x)=在（-

，0）上是减函数3x练习1判断函数f(x)=-x2+1在（0，

）是增函数还是减函数，并证明你的结论思考：怎样证明函数的增减性？第39页,共51页，2024年2月25日，星期天3.若函数f(x)在区间[a,b]单调且f(a)f(b)＜0,则方程f(x)=0在区.间[a,b]上().A.至少有一实根;B.至多有一实根;C.没有一实根;D.必有唯一实根.D第40页,共51页，2024年2月25日，星期天4.函数f(x)=2x+1,(x≥1)5－x,(x＜1)则f(x)的递减区间为()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,1]B第41页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转x

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12-2-1oy321-1-2特点：图象关于y轴对称自变量相反，函数值相等图象关于原点对称自变量相反，函数值相反函数：y=x2y=1x结论：偶函数奇函数图象函数的奇偶性第42页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转一般地：

如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数

如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数说明：（1）定义域（2）任意（3）f(x)与f(-x)的关系奇、偶函数的定义第43页,共51页，2024年2月25日，星期天一般地：

奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数

偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们说f(x)具有奇偶性。奇偶图象的性质第44页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转例5.判断下列函数是否具有奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2(3)f(x)=1(4)f(x)=(5)f(x)=x2+x(6)f(x)=g(x)+g(-X)(g(x)的定义域为R)(7)f(x)=0x2+2xx+2奇函数偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数既是奇函数又是偶函数奇偶性的判断第45页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转奇偶性的判断练习：判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x-2

(2)f(x)=2x+(3)f(x)=0x[-2,2)(4)f(x)=x+(5)f(x)=x-4-x-2(6)f(x)=(7)f(x)=|x+2|-|x-2|1xx(x-1)x>0-x(x+1)x0思考：怎样判断函数的奇偶性？第46页,共51页，2024年2月25日，星期天继续前屏跳转证明：函数f(x)=x3+x为奇函数证明：f(-x)=(-x)3+