2022年高中数学人教A版必修第一册教案：第三章函数的概念与性质

第三章函数的概念与性质

3.3寨函数

［目标］1.记住福函数的定义，熟悉a=l,2,3,—1时得函数的图象及性质；2.记住薛

函数的性质，并会用性质解决有关问题.

［重点］能函数的定义、图象和性质.

［难点］利用暴函数的性质解决有关问题.

《要点整合夯基础】本栏目通过课前自主学习，整合知识，梳理主干，夯基固本

知识点一幕函数的概念

［填一填］

一般地，函数y=Y叫做幕函数,其中工是自变量，区是常数.

［答一答］

1.下列函数：①y=2%3；②了=%2+1；③y=（尤+1户是幕函数吗？

提示：它们都不满足氟函数的定义，所以都不是赛函数.

知识点二幕函数的图象

［填一填］

五种常见幕函数的图象

T

幕函数y=x,y=x1,y=x,,y=x^x,y='的图象如下图.

［答一答］

2.幕函数y=犬的图象在第一象限内有何特征？

提示：图象过点(0,0),(1,1),下凸递增，如y=N.

1

⑵0<a<l,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增，如y=L.

(3)a<0,图象过点(1』)，以两坐标轴为渐近线，如y=x”.

3.为什么嘉函数在第四象限内不存在图象？

提示：当x>0时，>=^>0,不可能出现y<0的情形，所以森函数在第四象限不存在图

知识点三寨函数的性质

［填一填］

五类幕函数的性质

2y=x31

哥函数y—xy=y=4丁y=x-

定义域RRR[0,+8)(-8,0)U(0,+8)

值域R[0,+8)R[0,+8)|y1yGR且

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

A-£[0,+8),擅%£(0,+8),减

单调性增增增

XG(-8,0],逋XG(-8,0)遮

公共点都经过点(1,1)

［答一答］

4.对于基函数y=y(a是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？

提示：a>0时，>=产在(0,+8)上是增函数；

a<0时，>=十在(0,+8)上是减函数.

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类型一幕函数的概念

［例1］下列函数：①y=R;②y=］2+2x；③y=4N；@y=x5+l；⑤y=(x—l)2；@y

=x.其中幕函数的个数为(B)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］②为二次函数，③中系数不是1,④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量

本身，所以只有①⑥是尿函数，故选B.

通法提炼

嘉函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)倦指数为常数，底数为自变量，系

数为1.

［变式训练1］(1)已知鬲函数<x)=A的图象过点(；，堂)，贝1Jk+a=(C)

A.；B.1

3

C，2D.2

(2)已知函数y=(m2+2加-2)—+2+2〃-3是事函数，则上=一3或1,〃=一3或1.

解析：⑴由氟函数定义知女=1,把(，孝j代入尸公得a=T，3

・,・%+［=］.选C.

(2)因为函数y=(m2+2m—2)/+2+2«—3是恭函数，由氟函数的定义得

m2+2m-2=1,

2n—3=0,

3

解得加=—3或1,n=2,

类型二幕函数的图象

［例2］下图是幕函数y=/、>=都与1在第一象限内的图象，贝！J(B)

A.—l<n<0<m<l

B.n<—l,0<m<l

C.—l<n<0,m>l

D.n<-1,m>l

［解析］由y=/的图象是横卧抛物线形，知0<m<l;

由y=V的图象是双曲线，知〃<0.作直线X=XO(O<M)<1),与

y=x\y=;T1的图象分别交于点A、B,由“点低指数大”知〃<—1.故选B.

通法提炼

在区间(0,1)上，寡函数的指数越大，图象越靠近尤轴；在区间(1,+8)上，得函数的指

数越大，图象越远离无轴.

［变式训练2］幕函数y=/i及直线y=x,y=l,x=l将平面直角坐标系的第一象限分成

1

广

八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幕函数y=

的图象经过的区域对应的序号有(D)

A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤

角旱析：x—y［x=yfx(y［x—1),当0<x〈l时，x—y［x<Of即#vl,

需函数y=的图象经过区域①；当x>l时，x—也>0,即；.需函数y=x^

的图象经过区域⑤.

类型三幕函数的性质应用

［例3］比较下列各组中三个数的大小.

332

(1)1.1^,1.4^,1.1^；

(2)0.16-^,0.5"^,6.25士

［分析］本题考查需函数.

［解］(1)1.#与1.4亨同指不同底，幕函数y=X+在

［0,+8)上是增函数，

町=1.1，化2=1-4,孙<冗2，

33

TT

力=1.1<y2=L4.

指数函数y=1.1，在R上是增函数,.•.1.#>1.代.

故1.4今>1.#>1.1亍.

(2)0.16-^=(罂)7=6.25等，

0.5凸=27=4净,6.25高=2.5年，

函数y=尤全在［0,+8)上递增，

/.2.5；<47<6.25丁，

即6.25京<0.5、<0.16-^.

通法提炼

比较寨值大小的方法

分类比较对象方法

¥与瑞

指数相同，底数不同利用幕函数的单调性

底数相同，指数不同ax,与aX7利用不等式性质

底数、指数都不同ax'与b*寻找“中间量”*或八或1或0等

［变式训练3］比较下列各组中两个值的大小：

（1）1.5/与1.6^；（2）0.613与0.713；

（3）3.5片与5.3-/；（4）0.1843与0.匕一吃

解：（1）;赛函数y二工卷在。18）上单调递增，且1.5

<1.6,/.1.5T<1.6T.

（2）V幕函数y=J3在（0,+oo）上单调递增，且0.6<

0.7,.\0.61-3<073.

（3）v号函数y=工一等在（0,+8）上单调递减，且3.5<

22

5.3,/.3.5~~>5.3-工

（4）v幕函数y=x-0-3在（0,+8）上单调递减，且0.18

>0.15,.-.0.18-°-3<0.15-0-3.

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1.下列所给出的函数中，是累函数的是（B）

A.y=~xiB.产1一3

C.y=2/D.y=x3~1

2.如果累函数加0的图象过点（4,£）,那么J

的值为（D）

AiB.2

C.1D.4

解析：设»=北;加:）的图象过点（4n11

2）,工2=中，解得a=-2.・'・危）=

1

解析：:函数y二?是第函数，幕函数在第一^限内恒过点(1,1),排除A,D.当x>l,O<oc<l

时，)=犬在直线y=x下方，由&除C,选B.

4.幕函数)=%T在［―4,—2］上的最小值为——J.

.解析：：y=%一1在(-8,0)上单调递减，y=在［―4,—2］上递减，<y=在

［-4,—2］上的最小值是一g.

5.比较下列各题中两个幕的值的大小：

3

(1)1.1i,0.■；⑵L「+,0.9-+;(3)3+,田4・

解：（1）:y=/■为［0,+8）上的增函数，又1.1>0.9,

1.12>0.92.

（2）・.・y=%、为（0,+8）上的减函数，

又1.1>0.9.

・♦・1.<0.9、.

3

（3）,.・3一不=（g~）4,函数y二”为［0,+8）上的增函数,

畤〈卜田‘<（。，即产〈（4

课堂小结

——本课须掌握的三大问题

1.幕函数>=f的底数是自变量，指数是常数.

2.幕函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x=l的

左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

3.简单幕函数的性质

(1)所有幕函数在(0，+8)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1,即11)=1.

(2)如果a>0,幕函数在［0,+8)上有意义，且是增函数.

⑶如果a<0,累函数在x=0处无意义，在(0,+8)上是减函数.

塞函数课时作业

基础通关一水平一》

（15分钟30分）

1.下列结论正确的是（）

A.幕函数图象一定过原点

B.当a〈0时，幕函数y=x"是减函数

C.当a>1时，幕函数y=xa是增函数

D.函数y=x2既是二次函数，也是幕函数

【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-i在（-8,

0）及（0,+8）上是减函数，故B不正确；函数y=x?在（-8,0）上是减

函数，在（0,+8）上是增函数，故C不正确.

2.已知幕函数f（x）=kx"的图象过点C，&）,则k+a等于（）

1T32

-H--

2B.C.2D.

【解析】选A.因为球函数f（x）=kx0（k£R,a£R）的图象过点6八泛）,

所以k1f（|）=（0a=v2,

11

即a所以k+a=-.

1

3.在下列四个图形中，y=%»的图象大致是（）

【解析】选D.函数y=%W的定义域为（0,+8）,是减函数.

4.幕函数的图象过点（3,V3）,则它的单调递增区间是（）

A.[-1,+°°)B.[0,+°°)

C.(-8,+oo)D.(-8,o)

【解析】选B.设纂函数为f(x)=xa,因为球函数的图象过点(3,1)，

/—I11

所以f⑶=3。=百=3"解得a=|,所以f(x)=%5,所以球函数的单调

递增区间为

[0,+8).

5.(2020•北京高一检测)如果幕函数f(x)=x，的图象经过点(2,4),

则f(x)在定义域内()

A.为增函数B.为减函数

C.有最小值D.有最大值

【解析】选C.因为赛函数千(x)=x，的图象经过点(2,4),

所以手(2)=2三4,解得a=2,所以f(x)=x2,

所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.

【补偿训练】

已知2.4O2.5",则a的取值范围是.

【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4。>2.5。，

所以y=x。在(0,+8)上为减函数，故a<0.

答案：(-8,0)

6.已知幕函数f(x)=%=2「m+3m£Z)满足:

①在区间(0,+8)上单调递增；

②对任意的xWR,都有f(-x)-f(x)=0.

求幕函数f(x)的解析式，并求当x£[0,4的寸,f(x)的值域.

【解析】因为函数在(0,+8)上单调递增，

所以-m2-2m+3>0,解得：.

因为-2<m<2,m£Z,所以m=T或m=0.

又因为千(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数，所以-ir|2-2m+3为偶数.

当m=_1时，_m2_2m+3=4满足题意，

当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，

所以f(x)=x\所以千(x)在［0,4］上递增,

所以千(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,

所以值域是［0,256］.

।能力进阶一水平二》

(20分钟40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.(2020竦海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)熄2加+1是幕函数且

为奇函

数，则m的值为()

A.2B.3C.4D.2或4

【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)%Tn2-37n+i为赛函数,所以

m2-6m+9=l,所以m=2或m=4,当m=4时，flxhx，是奇函数，满足题

意，当m=2时，f(x)=xT是奇函数，满足题意；所以m=2或4.

2.下列命题中，不正确的是()

A.幕函数y=x-i是奇函数

B.幕函数y=x?是偶函数

C.幕函数y=x既是奇函数又是偶函数

1

D.y=%5既不是奇函数，又不是偶函数

【解析】选C.因为

X-XX

所以A正确；

1

(-x)2=x2,所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=%5定义域

为［0,+8),不关于原点对称，所以D正确.

3.给出幕函数：①f(x)=x；②f(x)=x*③f(x)=x1(4)f(x)=V%;

⑤f(x)J.其中满足条件

X

f(詈)>四野(x>X2>0)的函数的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题指南】解决该题的关键是正确理解

(安少(冷)(xLO)的含义.

【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x>X2>0时，

②函数千(x)=x?的图象是凹形曲线，故当X1>X2>O时，

rfx+x'\f(x)+f(x)

f(丁12户/一12一2；

③在第一象限，函数千(x)=x?的图象是凹形曲线，故当x>X2>0时，

rfx+X'\f(X)+f(X)

千(1丁2产/一12一2；

④函数千(x)=y的图象是凸形曲线，故当Xl>x2>0时，

千(牝+%2)〉/久1)+/、2).

1

⑤在第一象限，函数f(X)』的图象是一条凹形曲线，故当>X>O时，

XX12

f/xT+x2\yf(x1)+f(x2)

22

故仅有函数f(X)=y满足当xi>x2>o时,

+x2'\yf(x1)+f(x2)

272

、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选

错的得0分)

4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是()

1152

A.y=%3B.y=%-2C.y=%3D.y=%3

ii1

【解析】选A、B、C.A中定义域、值域都为R;B中y=%-2=—

■y/x