人教版八年级数学上三角形的外角

11-6三角形的外角人教八上

一、学习目标，认识三角形的外角：

4.知道三角形的外角的性质；

工能利用三角形的外角性质解决实际问题.

二、知识回顾1.三角形三个内角的和等于多少度？

三角形三个内角的和等于180°

2.在△ABC'中，

(1)NC=90°,NA=30°,则/B=60。；

(2)NA=50。，NB=/C,则/B=65°.

三、新知讲解1.三角形的外角

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

A

A

BCD

三角形有六个外角，其中同一顶点处的两个外角是对顶角.

2.三角形外角的性质1

性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

符号语言：在aABC中，ZACD=ZA+ZB.

图示：

「

BCD

★性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

符号语言：在AABC中，ZACD>ZA,ZACD>ZB.

图示：

一

BCD

3.三角形的外角和定理

定理：三角形的三个外角和等于360。.

符号语言：在AABC中，Zl,Z2,N3是外角，则/l+N2+/3=360。.

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1.利用三角形的外角性质求解

【例1】（2014•河北）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所

A.20°B.30°C.70°D.80°

总结：利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出其中一个内角的度数.

【例2】（2015•重庆模拟）将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和含45。角

的三角板的一条直角边重合，则/I的度数为（）

总结:

回躇回i.在计算有关三角板组成的夹角时，首先要弄清楚两个三角板中的特殊角，在组合图形中标示出这

些条件，然后充分利用邻补角、余角以及三角形外角的性质进行解答.

2.在计算时应注意同一个角的多种身份，从而得到角之间的关系.

【例3】（2014春•北塘区期中）如图，则x+y=

RA

总结：

1.在几何计算题中，依据题设和相关的几何图形的性质列出方程求解的思想方法叫做方程思想；

2.求角的度数常常要想到“三角形的内角和是180。”“平角等于180°三角形外角和等于360°”

“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”等性质.

练1.（2014•楚雄州一模）如图，Z\ABC中，CD是/ACB的平分线，ZA=70°,ZACB=60°,那么

练2.（2014•博野县模拟）将一副三角板如图放置，且两条直角边重叠，则N1的度数是（）

:纣

A.30°B.45°C.70°D.75°

练3.（2013•海口模拟）如图，在RtaADB中，ZD=90°,C为AD上一点，NACB=6x,则x值可

以是（）

B

2.利用三角形的外角性质证明

【例4】（2013秋•藁城市校级月考）如图，已知一个凹四边形，求证：Z1+Z2+Z3=Z4.

总结：

I.对于三角形外角性质的证明，如果是文字叙述性命题，要注意证明格式，写出已知、求证，然后

写出证明推理步骤.

2.证明过程中要熟记“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质.

3.适当作辅助线是解题的关键.

练4.（2013春•海淀区校级期末）已知：如图，E是AABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点,

D点在BC的延长线上.试证明

五、课后小测

一、选择题

1.（2015•岳池县模拟）如图，已知NA=33。，/B=75。，点C在直线AD上，则/BCD为（）

A.147°B.108°C.105°D.以上答案都不对

2.（2014秋•杭州期末）如图，一副分别含有30。和45。角的直角三角板拼成如下图，其中NC=90。,

ZB=45°,ZE=30°,则/BFD的度数是（）

E

A.15°B.25°C.30°D.10°

3.（2013秋•江西期末）一个三角形三个外角之比为4：2：3,这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

二、填空题

4.（2014秋•嘉峪关校级期中）如图，已知AABC为直角三角形，ZB=90,若沿图中虚线剪去/B,

则N1+N2等于度.

5.（2014春•吉安期末）如图,BD是4ABC的角平分线,DE〃BC,交AB于点E,ZA=45°,ZBDC=60°,

则NBDE=度.

6.（2014秋•公安县期中）如图，/1=/2=30。，Z3=Z4,ZA=80°,则x=度，y=度.

三、解答题

7.如图，为了对农田进行灌溉，在小河一边修了两条水渠AB和CD.设计要求这两条水渠成45。

角.请你利用本章所学知识，设计一个方案（不渡河）来检验一下这两条水渠是否符合要求，并说

明根据的理由.

8.（2014春•郑州校级月考）如图，NACD是aABC的一个外角，NABC和/ACD的平分线BE、

CE交于一点E,试说明NA=2NE.

9.（2012•湘潭模拟）证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和.

典例探究答案:

【例1】（2014•河北）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b

D.80°

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

解答：解：a,b相交所成的锐角=100。-70。=30。.

故选：B.

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准

确捕捉图中信息是解题的关键.

【例2】（2015•重庆模拟）将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和

含45。角的三角板的一条直角边重合，则N1的度数为（）

分析：根据三角形的内角和求出N2=45。，再根据对顶角相等求出N3=N2=45。，然后根据三

角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可.

Z2=90°-45。=45。（直角三角形两锐角互余）,

N3=N2=45°,

，Nl=N3+30°=45°+30°=75°.

故选D.

点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

的和是解答此题的关键.

【例3】(2014春•北塘区期中)如图，则x+v=110°.

分析：方法一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出x,再根据

平角等于180。求出y,然后相加即可得解；

方法二：直接根据平角等于180。列式整理即可得解.

解答：解：方法一：根据题意,x+10°+x=x+70°,

解得x=60°,

y=180°-(x+70°)=180°-(60°+70°)=180°-130°=50°,

...x+y=60°+50°=110°；

方法二：x+70°+y=180°,

.*.x+y=180°-70°=110°.

故答案为：110°.

点评：本题主要考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和是解题的关键.

练1.(2014•楚雄州一模)如图，AABC中，CD是/ACB的平分线，NA=70。，ZACB=60°,

那么/BDC=()

分析：根据角平分线的定义求出NACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和列式计算即可得解.

解答：解：；CD是/ACB的平分线，

ZACD=^ZACB=^x60°=30°,

22

.♦./BDC=NACD+NA=300+70°=100°.

故选C.

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定

义，熟记性质是解题的关键.

练2.解：如图，

Z2=90°-45°=45°,

/3=N2=45°,

所以，Nl=N3+30°E5°+30°=75°.

故选D.

练3.（2013•海口模拟）如图，在Rt^ADB中，ZD=90°,C为AD上一点，NACB=6x,

则x值可以是（）

B

分析：根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得NACB>90。，再根据N

ACB是钝角小于180。列式，然后求解即可.

解答：解：根据三角形的外角性质，ZACB=6x>90°,

解得x>15。，

ZACB是钝角,

.".6x<180°,

.".x<30°,

/.15o<x<30°,

纵观各选项，只有20。符合.

故选B.

点评：本题考查了三角形的外角性质，要注意NACB小于180。的暗含条件.

【例4】（2013秋•藁城市校级月考）如图，已知一个凹四边形，求证：Z1+Z2+Z3=Z4.

分析：延长BD交AC于E,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列

式证明即可.

证明：如图，延长BD交AC于E,

则N5=Nl+/2,

所以,N4=N3+N5=N3+N1+N2,

故，Z1+Z2+Z3=Z4.

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线利用

三角形的外角性质是解题的关键.

练4.（2013春•海淀区校级期末）已知：如图，E是AABC的边CA延长线上一点，F是AB

上一点，D点在BC的延长线上.试证明N1CN2.

分析：由三角形的外角性质知N2=NABC+NBAC,ZBAC=Z1+ZAEF,从而得证.

解答：证明：VZ2=ZABC+ZBAC,

AZ2>ZBAC,

VZBAC=Z1+ZAEF,

AZBAOZ1,

AZKZ2.

点评：此题主要考查学生对三角形外角性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.

课后小测答案:

一、选择题

1.（2015•岳池县模拟）如图，己知NA=33。，NB=75。，点C在直线AD上，则/BCD为

()

A.147°B.108°C.105°D.以上答案都不对

解：；NBCD是AABC的外角,NA=33。，ZB=75°,

ZBCD=ZA+ZB=33o+75°=108°.

故选：B.

2.（2014秋•杭州期末）如图，一副分别含有30。和45。角的两个直角三角板，拼成如图，其

中NC=90。，ZB=45°,ZE=30°,则NBFD的度数是（）

A.15°B.25°C.30°D.10°

解：VZC=90°,NE=30°,

ZCDE=90°-30°=60°,

由三角形的外角性质得，ZCDE=ZB+ZBFD,

.\60O=45°+ZBFD,

解得NBFD=15。.

故选A.

3.（2013秋•江西期末）一个三角形三个外角之比为4：2：3,这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

分析：根据三角形的外角和等于360。分别求出三个外角，然后求出最大的内角，再进行判

断即可.

解答：解：设三角形三个外角分别为4k、2k、3k,

由题意得，4k+2k+3k=360°,

解得k=40。，

这三个外角分别为160。，80°,120°,

三角形的三个内角分别为20。，100。，60°,

，这个三角形一定是钝角三角形.

故选B.

点评：本题考查了三角形的外角性质，利用外角和等于360。求出三个外角的度数是解题的

关键.

二、填空题

4.（2014秋•嘉峪关校级期中）如图，已知AABC为直角三角形，ZB=90,若沿图中虚线

解：’.•△ABC为直角三角形，ZB=90,

Z1=90°+ZBNM,Z2=90°+ZBMN,

，N1+N2=27O°.

故答案为:270.

BV

5.（2014春•吉安期末）如图，BD是4ABC的角平分线，DE〃BC,交AB于点E,NA=45。,

ZBDC=60°,则NBDE=15度.

解：•；NA=45。，ZBDC=60°,

，ZABD=ZBDC-ZA=15°.

VBD是AABC的角平分线，