二次函数中等腰三角形的存在问题

关于二次函数中等腰三角形的存在问题学习目标1、会准确找到满足条件的点。2、会运用恰当的方法求出满足条件的点的坐标

学习重点1、能准确找到符合条件

的点。

2、利用等腰三角形的性

质、勾股定理和三角

形相似等知识求点的

坐标。学习难点利用等腰三角形的性质和勾股定理等知识求点的坐标。

第2页,共13页，2024年2月25日，星期天课前热身：如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C.问：（1）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM

是以线段AB为底的等腰三角形？

基本方法：线段AB为底：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与对称轴的交点第3页,共13页，2024年2月25日，星期天（2）在x轴上是否存在点D，使△ABD是以线段AB为腰的等腰三角形？基本方法：以线段AB为腰：分别以点A、B为圆心，线段AB长为半径画弧，与x轴的交点第4页,共13页，2024年2月25日，星期天（3）在抛物线的上是否存在点P，使△ABP

是等腰三角形？基本方法：分别以线段AB为底和腰，

找出满足条件的点数学基本思想----分类讨论第5页,共13页，2024年2月25日，星期天典例讲解如图，已知二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

试问：在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是线段AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6页,共13页，2024年2月25日，星期天方法一：等腰三角形的性质和勾股定理解答

解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,连接BP

设点P(a,0)

∵DP垂直平分AB,∴AP=BP

∵点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),

∴OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,

∴在RT△OPB中，

即

解得

DP第7页,共13页，2024年2月25日，星期天方法二：利用相似三角形解答解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,

设点P(a,0)

∵点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),

∴OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,

在RT△OAB中,即

∴AB=5

∴AD=BD=2.5

∵PD⊥AB

∴∠ADP=90°∵∠AOB=90°

∴∠ADP=∠AOB∵∠OAB=∠DAP∴⊿0AB∽⊿DAP

即

DP第8页,共13页，2024年2月25日，星期天方法三：函数解答作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,设点P(a,0)∵点A(4，0)、点B(0，3),∴OA=4，0B=3，过D作DC⊥OA于C∵OB⊥OA∴CD∥OB

∵直线AB过点A（4,0）和B（0,3）两点∴直线AB的解析式为

设直线DP的表达式为∵AB⊥DP∵直线DP过点∵点P在DP上又在x轴上DPC第9页,共13页，2024年2月25日，星期天变式练习：如图，抛物线交x轴于A、C两点，交y轴于B点试问:在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的

Q点坐标；若不存在，请说明理由．第10页,共13页，2024年2月25日，星期天1.如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．课后作业：第11页,共13页，2024年2月25日，星期天2、如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使