2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知椭圆F+1=1的焦点分别为尸2，点P为椭圆上一点，则|Pa|+伊?21=（）

42

A.2B.4C.6D.8

2.已知双曲线的标准方程为/一［=1，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±1xB.y=+^~xC.y=+V2xD.y=±2%

3.己知数列的前5项为1,I，I，pI，则数列｛即｝的一个通项公式为（）

九=-ci=—-。曾="--ct=—

A.annB.nnn+1C."2n—1D.1n12n

4.已知等差数列｛即｝的通项公式册二2九-1,则数列｛%｝的首项的和公差d分别为（）

A.%=—1,d=—2B.%=-1,d=2

.a】=1jd—2D.a1—1,d=2

5.在等比数列｛时｝中，a2=3,an+1=3an,则数列的前5项和为（）

A.40B.80C.121D.242

6.已知圆（%—2）2+（y+3尸=产与y轴相切，则丁=（）

A.V2B.V3C.2D.3

7.如图，在圆/+y2=4上任取一点p,过点P作无轴的垂线段

PD,。为垂足.当点P在圆上运动时，线段PO的中点M的轨迹方

程为（）

A.+y2=1

4z

c.AJ

D.-y+y2=1

8.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD为正方形，PA1

平面4BCD,AB=AP=2,点E,尸分别是PC,PD的中点，

则点C到平面AEF的距离为（）

0

AB.2

V32

C-

2

D2

9.已知抛物线*=4x与直线y=2x—2相交于4B两点，则线段4B的长为()

A.V5B.V10C.2V5D.5

10.已知数列满足即=而晶，数列｛即｝的前几项和为〃，若乃>*+七+19(六9对

任意neN*恒成立，贝U/L的取值范围是()

A.(-co,4)B.(-oo,2V5)C.(-oo,5)D.(-8,6)

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.点(1,一2)到直线3x+4y-5=0的距离为.

12.己知抛物线/=2py(p>0)经过点(2,2),则该抛物线的方程为；准线方程为

13.如图，点M为四面体048C的棱BC的中点，用土?，0B，

元表示词，则前=.

14.已知有穷数列｛即｝的各项均不相等，将数列｛即｝的项从大到小重新排序后相应的项数构

成新数列伊"，称数列仇｝为数列5｝的“序数列”.例如，数列的,。2,。3满足的>。3>a2,

则其“序数列”为1,3,2.设各项均不相等的数列2,3-t,t+1,5(t€R)为数列。.

①若”0,则数列0的“序数列”为；

②若数列。的“序数列”为3,4,1,2,贝狂的取值范围为.

15.已知曲线E的方程为犁+/=1,给出下列四个结论：

4

①若点M(x,y)是曲线E上的点，则xW2,yeR；

②曲线E关于x轴对称，且关于原点对称；

③曲线E与x轴，y轴共有4个交点；

④曲线E与直线y=只有1个交点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

已知两点4(—1,1),B(1,1))直线/：%+y+1=0.

(I)若直线人经过点4,且14/Z,求直线。的方程；

(兀)若圆心为C的圆经过力，B两点，且圆心C在直线/上，求该圆的标准方程.

17.(本小题13.0分)

已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2,离心率e=2.

(I)求双曲线的标准方程；

(E)若抛物线必=2Px(p>0)的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点,

且=3,求点M的坐标.

18.(本小题15.0分)

在等比数列｛厮｝中，a】=1,公比q=2,设%=3n-2+a%

(1)求(13的值；

(E)若加是43和九的等差中项，求小的值；

(川)求数列｛%｝的前n项和土.

19.(本小题14.0分)

如图，在长方体4BCD-4/16必中，2B=A4i=l,力。=2,点E为的中点.

(I)求证：AE_L平面C/E；

(n)求平面CAE与平面a/iGDi的夹角的余弦值.

20.(本小题15.0分)

已知椭圆C*+，=l(a>b>0)的焦距为2®点(—1,纷在椭圆C上，点B的坐标为(—1,0),

点。为坐标原点.

（I）求椭圆C的标准方程；

（兀）过4（一4,0）的直线I交椭圆C于”（久1，乃），%（久2，%）01〈久2）两点，判断乙4BM与NOBN的

大小，并说明理由.

21.（本小题15.0分）

已知等差数列｛厮｝的第2项为4,前6项的和为42,数列｛%｝的前n项和为7；,且27；=36n-an.

（I）求数列｛&J的通项公式；

（U）求证：数列｛“+1｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

fl1

,炉=1，,r

（川）设5=1求证：q+c2H----Fc<—.

7—~7,n>2,n12

\bn+an—l

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为椭圆［+4=1的焦点分别为后，尸2,点P为椭圆上一点，

由椭圆的定义可知,\PF1\+\PF2\=2a=4,

故选：B.

根据椭圆的定义即可求解.

本题考查了椭圆的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：已知双曲线的标准方程为"一1=1，

则该双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故选：C.

由双曲线的性质求解即可.

本题考查了双曲线的性质，属基础题.

3.【答案】A

【解析】解：数列｛厮｝的前5项为1,

a=符合题意，

n“n

故选：A.

根据题意，分别令几=1,n=2,几=3,n=4,n=5,验证，即可得出答案.

本题考查数列的概念，考查对应思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：等差数列｛厮｝的通项公式册=2九一1,

则的=2x1—1=1,d=an-an-r=2n—1—2(n—1)—1=2,

故的=1,d=2.

故选：D.

根据已知条件，结合等差数列｛册｝的通项公式，即可求解.

本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为即+1=3an,

所以等比数列｛&J的公比q=3,

因为a2=3,

所以的=1=1,

所以数列的前5项和为S5=岑乎=4=121.

故选：C.

由£^+1=3。。,612=3,得等比数列｛册｝的公比q,首项的,进而可得数列｛即｝的前5项和为S§,即

可得出答案.

本题考查等比数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：由圆(x-2)2+(y+3)2=产的方程可得圆心的坐标(2,-3),

再由圆与y轴相切，可得半径r=2,

故选：C.

由圆的方程可得圆心坐标，再由与y轴相切，可得半径等于圆心到y轴的距离，可得半径的值.

本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设M(久,y),则P为(x,2y),

又P在圆久2+y2=4上，

•1•x2+4y2=4,

7

.••加的轨迹方程为？+丫2=1.

4y

故选：A.

根据“相关点法“即可求解.

本题考查利用“相关点法“求解轨迹方程，属基础题.

8.【答案】B

【解析】解：如图所示,

建立空间直角坐标系.4(0,0,0),D(0,2,0),

F(0,l,l),C(2,2,0),

AE=(1,1,1).AF=(0,1,1)，AC=(2,2,0)，

设平面4EF的法向量为元=(x,y,z),则则元.荏=荏.元=0，则rv+y+z=0,y+z=0,

W=(0,-1,1).

二点C到平面力EF的距离为d=与单=嵋=&.

\n\V2

故选：B.

如图所示，建立空间直角坐标系.设平面力EF的法向量为元=(久,y,z),则元.荏=万•元=0，利

用点C到平面AEF的距离为&=喀，即可得出.

|n|

本题考查了空间向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

由抛物线定义可知|AB|=\AF\+\BF\=d1+d2=x1+x2+2=5；

即线段AB的长为5.

故选：D.

联立抛物线和直线方程，消去y可得到/一3x+1=0,可设a。1,月),B(x2,y2)>从而有/+%2=

3,可看出直线y=2x—2过焦点，从而根据抛物线定义可得到|AB|=\AF\+田用=/+&+2,

可求得线段力B的长.

本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，韦达定理，以及抛物线的定义.

10.【答案】C

1111

【解析】解：••・斯=丽/石=29一不)，

T_,1,1,11,,11、_1n1X_n

7；=ai+a2+...+an=-(l

Tn>z2rL(AeR)对任意neN*恒成立，即仁>z2工(AeR)对任意neN*恒成立，

〃n+4n+19''2n+2n+4n+119cl'」

neN*,n2+4n+19=(n+2)2+15>0,

Z<邙竽对任意nGN*恒成立，

2n+2

又吟竽='叱2M1)+16=如+1)+*+122好+1)告+1=5,

2n+22(n+l)2'yn+l72''n+l

A<5,即2E(—8,5),

故选：C.

利用裂项求和法可得心,题意转化为4<"2?对任意兀eN*恒成立,利用基本不等式求出

2n+2

学竽的最小值，即可得出答案.

2n+2

本题考查裂项法求和和数列与不等式的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

11.【答案】2

._I3-4X2-5]_

【解析】解：点(1,-2)到直线3x+4y-5=0的距离d=再丁•

故答案为：2.

由已知结合点到直线的距离公式的应用即可求解.

本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

12.【答案】%2=2yy=-|

【解析】解：将(2,2)代入/=2py,解得p=1,则抛物线方程为/=2y；

根据准线定义可得，准线方程为y=4.故答案为：x2=2y；y=-去

将点代入方程求解即可；根据准线方程的定义求解即可.

本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题.

13.【答案】^OB+^0C-0A

【解析】解：由于点M为四面体。ABC的棱BC的中点，

所以箱=OM-OA^^OB+^0C-~0A.

故答案为：OB+|OC—OA.

直接利用向量的线性运算求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易

错题.

14.【答案】4,2,1,3(4,+8)

【解析】解：①因为t=0,所以数列为：2,3,1,5,由“序数列定义可得：

t=0时，数列。的“序数列”为4,2,1,3,

②因为数列。的“序数列”3,4,1,2,而数列。为2,3-t,t+1,5,

由“序数列”定义可得：t+l>5>2>3—1,解得：04,

所以t的取值范围为(4,+8),

放答案为：4,2,1,3；(4,+8).

根据“序数列”定义直接求解即可.“序数列”实际上给出数列中的项的大小顺序.

本题考查数列的项与序数之间的关系，属于中档题.

15.【答案】①④

22

【解析】解：当X<0时，曲线方程为y2一a=1，当0WXW2时，曲线方程为a+丫2=1，

故作出曲线E分图像如下：

y

%<2,yER,①正确；

曲线E关于久轴对称，不关于原点对称，②错误；

曲线E与％轴，y轴共有3个交点，③错误；

当x>0时，曲线E与直线y=必有1个交点，

(y=齐

2

当x<0时，联立直线方程和曲线方程得到《2，整理得到0=1,很显然无解，所以曲线

b2-T=1

E与直线y=2久只有1个交点，④正确，

故答案为：①④.

先分x<0和0<x<2整理得到曲线方程，然后作出曲线的图像即可判断.

本题主要考查曲线与方程，属于中档题.

16.【答案】解：(I)•.•直线I的方程为x+y+l=0.

直线人经过点4(一1,1),且满足

・•・设所求直线k方程为％+y+m=0,

由已知一1+1+m=0,m=0,

・•・直线人的方程为％+y=0；

(口)・・・/(-1,1),8(1,1),

•••直线4B的斜率膜B==0，

-1—1

・•・直线AB的垂直平分线的斜率为不存在，

又线段4B的中点坐标为(0.1),

，线段AB的垂直平分线的方程是％=0,

,圆心C在直线1：x+y+1=0_h

・•・圆心。的坐标是方程组工1的解，得圆心C的坐标(0,—1),

.•.圆C的半径长r=V(-l-O)2+(1+I)2=V5,

•••圆C的标准方程是/+(y+1)2=5.

【解析】(I)设所求直线。方程为x+y+m=0，由直线4经过点4(—1,1),求出m=0,由此能

求出直线k的方程.

(口)根据题意，分析可得圆C的圆心是线段2B的垂直平分线与直线1的交点，先求出线段AB的垂直

平分线的方程，与直线，联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；

本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归

与转化思想，是基础题.

17.【答案】解：(I)由题意设所求双曲线方程为捻—A=1,

又双曲线的顶点在工轴上，两顶点间的距离是2,离心率e=2,

则a=1,c=2,

即力2=c2—a2=3,

即双曲线方程为——(=

(11)由(1)可矢口尸(2,0),

则p=4,

即抛物线的方程为f=8x,

设点M的坐标为(比,M)),

又=3,

则出+2=3,

则出=1,y0=±2V2,

即点M的坐标为(1,2&)或(1,一2a).

【解析】(I)由双曲线的性质求双曲线的标准方程即可；

(U)由抛物线的性质求点M的坐标即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质，属基础题.

18.【答案】解：(I)因为等比数列中，的=1,公比q=2,

71n-1

所以即=1X2T=2n口3=23T=4.

(U)因为g=3n—2+厮=3n-2+2"T,

所以九=3x4-2+24T=18,

又因为<23=4,所以和九的等差中项zn=3史=11；

(IH)因为g=371—2+2^-1,

所以％=(1+4+7+…+3n-2)+(1+2+4+…+2n-])

(l+3n—2)111x(1-2”)3九2—九3九2—九一2。力

=-2—+1-2=^~+2-1=^—+2-

【解析】(I)先求通项公式，再求。3的值；

(U)先求6n的通项公式，可得和力4的值，从而可求小的值；

(HI)利用分组求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.

本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题.

19.【答案】解：(I)证明：建立如图的空间右手直角坐

标系，则根据题意可得：

4(0,0,0),E(l,l,l)，C(l,2,0),Dt(0,2,1),

•••AE=(1,1,1)>EC=(0,1,-1)»D^E=(l,-l,0)«

AE-EC=0，AE-%E=0,

AE1EC,AE1D]E,又ECClDrE=E,

■.AE1平面皿E；

(口)易知平面的法向量为元=(0,0,1),

又由(I)知平面CDiE的法向量沅=AE=(1,1,1)，

・•・平面CZ\E与平面4/1的£)1的夹角的余弦值为：

\m-n\_1_V3

|cos<m,n>|=

|m||n|一寿-

【解析】（I）建系，利用向量法及线面垂直的判定定理即可证明；

（口）建系，利用向量法即可求解.

本题考查向量法证明线面垂直，线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，属中档题.

20.【答案】解：（1）因为椭圆。：马+4=1的焦距为2c=2g，解得c=叵

ab

又因为点（-1,孚）在椭圆c上，所以±+&=1,

204b

又因为小=/+c2=万2+3,所以匕2=],a2-4,

2

所以椭圆C的标准方程为3+y2=1;

4z

（n）因为过4（-4,0）的直线咬椭圆C于阳久1，为），N（x2,y2）,且巧＜如

所以直线I的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x+4),

由PTf”?，消去V，整理得(1+轨2)/+32左2久+6轨2一4=0,

U+4yz=4'

C11

4=1024/c4—4(1+4/C*2)(64/C2—4)>0,解得一^75</cV

-32k264k2-4

，

+%2=-1--+---4--/7%1%2=1--+---4---/-亍、

得/CBM+KBN=含+券

_々(巧+4)।依%2+4)

%1+1%2+1

,3k、门3k、

=(k--------)+(fcd------—)

'%1+J'互+1

=2忆+3*+募)

=2k+3k•%I+》2+2

%1%2+%1+%2+1

学+2

=2k+3k•1+4/

64/cz-4,-32dl

7-'?'

l+4k£l+4《

-32k2+2+8/

2k+3k,6轨2一4一32/+1+4必

2

=2/c+3fc-(-f)

=0,

所以直线BM与BN的倾斜角互补，贝！U48M=408N.

【解析】（I）根据题意求出C=