2021年中考数学压轴难题押题附答案解析

2021年中考数学压轴题

1.四边形力5C。中，AB=AD,PE、0尸分别是边8C、CQ的中垂线，连接以，PB,PC,

PD,延长NP交3C于点〃，延长CP交相于点G,若AD〃BP,CG±AB.

(1)判断四边形23尸。的形状，并加以证明；

(2)求N/H3的度数；

(3)若BH=6,CH=29求的长度.

、：PE、尸尸分别是边8C、CQ的中垂线,

:・PB=PC,PC=PD,

:・PB=PD,

在△43P与△4/)产中，

(AB=AD

\PB=PD.

14P=AP

：./XABP^AADP(SSS).

.・・NBAP=ND4P.

*：AD〃BP,

：./DAP=NAPB.

:・/BAP=/APB.

:.AB=BP.

:・AB=BP=PD=AD,

・・・四边形是菱形；

(2)设NCP〃=a,NPCB=B，

：.ZAPG=ZCPH=a.

〈PE垂直平分8C,

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・・・NPBC=NPCB=B.

：.ZGPB=NPBC+/PCB=2B.

：.ZAPB=N"G+NGPB=a+2B.

・•・ZAPD=ZAPB=a+2^.

：./GPD=N力0G+N/PO=2a+2a

*：AD〃BP,CGL4B,

：.ZGPD=90Q.

・・・2a+2B=90°.

/.a+p=45°.

'/NN〃B=a+G，

AZAHB=45°；

(3)・：BH=6,CH=2,

:・BC=BH+CH=8.

〈PE垂直平分4C,

：.BE=CE=/C=4.

:.EH=CE-CH=4-2=2.

在直角△PE，中，•:NPEH=90°,ZPHE=45°,EH=2,

：.PE=2.

在直角APEB中，,:NPEB=9Q°,BE=4,PE=2,

：.BP=y/BE2+PE2=V42+22=2A/5.

：.AB=BP=2V5,即AB的长度为2遍.

2.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所

对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,/\ABC中，点。是

BC边上一点，连结ZO,若AE^BD。,则称点。是△48C中8C边上的“好点”.

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图1图2图3

(1)如图2,△Z8C的顶点是4X3网格图的格点，请仅用直尺画出N8边上的一个“好

点”.

(2)△23C中,8c=9,tanS=$tanC=|,点。是8c边上的“好点”，求线段2。的

长.

(3)如图3,△Z8C是。。的内接三角形，OH_L<B于点H,连结C77并延长交OO于

点D.

①求证：点”是△88中C。边上的“好点”.

CH

②若。。的半径为9,NABD=90°,0H=6,请直接写出其的值.

DH

解：(1)如答图1,当CDL/B或点。是的中点是，CD2=AD'BD；

(2)作4EJLBC于点E,由比tanC=：可设NE=4x,

则8E=3x,CE=6x,

:・BC=9x=9,.\x=1,

:.BE=3,CE=6,AE=4,

设OE=a,

①如答图2,若点D在点E左侧，

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上

由点。是8c边上的“好点”知，AD2=BD・CD,

.*.tz2+42=（3-。）（6+。），B|J2a2+3a-2=0,

解得=；，42=-2（舍去）,

/.BD=3-Q=3-3=?.

②如答图3,若点。在点E右侧,

由点。是8C边上的“好点”知，A0=BD・CD,

.*.tz2+42=（3+。）（6-a）,BP2a2-3a-2=0,

解得41=2,。2=-；（舍去）

・・・80=3+。=3+2=5.

/.BD—5或5.

（5）①如答图4,连接力。，BD,

•:/CHA=/BHD,/ACH=/DBH

：.△AHCsXDHB,

AHCHg

J—=—，即AH・BH=CH*DH,

DHBH

〈OH工AB,

:・AH=BH,

:.BFF=CH、DH

・,•点〃是△BCD中CO边上的“好点”.

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^CH5

②---=—•

~DH21

理由如下：如答图4,

・；NABD=90°,

・・・4。是直径，

工力0=18.

又・：0HLAB,

：.OH//BD.

丁点。是线段/。的中点,

・・・。〃是△480的中位线,

：.BD=2OH=\2.

在直角△力8。中，由勾股定理知：AB=\/AD2-BD2=V182-122=6>/5.

二由垂径定理得到：BH=：AB=3底

在直角△8。”中，由勾股定理知：DH=7BH2+BD2=，45+144=3g.

又由①知，B