2023-2024学年人教A版必修第二册 分层随机抽样 学案

9.1.2分层随机抽样学习任务1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(数学抽象)2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(数据分析)3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．(数学运算)假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应当怎样抽取样本才合理？知识点1分层随机抽样的相关概念1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．知识点2分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x，y，两层的总体平均数分别为X，Y，则样本平均数w＝mm+2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.即MM分层随机抽样适合于什么样的总体？思考[提示]当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样.1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组拟采用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一学生应抽取________人．20[高一学生应抽取50×2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为________m．1.56[这500名13岁男孩的平均身高是1.6×300+类型1对分层随机抽样概念的理解【例1】(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，则下列方法最合适的是()A．抽签法 B．随机数法C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同(1)D(2)C[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．[跟进训练]1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]类型2分层随机抽样的应用【例2】某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．[解]抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．1．分层随机抽样的相关计算的2个关系(1)样本容量n(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．分层随机抽样的步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；第二步，计算各层所占比例；第三步，计算各层抽取的个体数；第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；第五步，综合每层抽样，组成总样本．[跟进训练]2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101B．808C．1212D．2012(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．(1)B(2)20[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296＝18(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×210类型3分层随机抽样中的平均数【例3】某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？[解]初中部抽取人数为60×850850高中部抽取人数为60×650850学校平均视力为3460×1.0＋2660×0.8≈所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91．样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：w＝m[跟进训练]3．通过分层随机抽样的方法估测某校高三年级全体学生的身高水平，抽取总样本量为100，抽取的男生的平均身高为170cm，抽取的女生的平均身高为160cm，估测得到高三全体学生的平均身高为166cm，则抽取总样本量中男生、女生人数分别为()A．60，40 B．70，30C．80，20 D．90，10A[设抽取的总样本量中男生、女生人数分别为m,n，则由题意可得m100×1701．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法 B．简单随机抽样C．分层随机抽样 D．随机数法C[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]2．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为()A．110分B．115分C．116分D．120分C[由题意可得抽取的50人中，男生为30人，女生为20人，所以样本平均数w＝3．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则()A．应采用分层随机抽样法抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的ACD[由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样法抽取，A正确；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，则有x1200＝所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的定义可知D正确．]4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于________．13[∵360＝n120+回顾本节知识，自主完成以下问题：1．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？[提示]设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则niN2．简单随机抽样与分层随机抽样有何区别与联系？[提示]类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等从总体中逐个抽取—总体中的个体数较少分层随机抽样将总体分成几层，分层进行抽取在各层抽样时采用简单随机抽样总体由存在明显差异的几部分组成3．如何用分层随机抽样中的样本平均数估计总体平均数？[提示]可以用M×课时分层作业(三十八)分层随机抽样一、选择题1．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是()A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样D．(1)(2)都用分层随机抽样C[(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样较合适；(2)中总体个数较少，采用简单随机抽样较合适．]2．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为()A．3B．2C．5D．9D[n203．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有()A．1098人 B．1008人C．1000人 D．918人B[设该校高一男生有x人．法一：由题意可得881800-x法二：1800-x18004．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A．1人B．2人C．5人D．6人C[设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即这两项成绩均合格的有25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×25455．(多选)某旅行社分年龄段统计了某景区5月份的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是()A．老年旅客抽到150人B．中年旅客抽到40人C．n＝200D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200BC[因为老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，所以60n＝35+中年旅客抽到200×25+2二、填空题6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．12[抽取女运动员的人数为98-56987．为了解某地区对中小学生“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中________所．3[抽取初中9×18248．某分层随机抽样中，有关数据如下：层数样本量平均数第1层453第2层354此样本的平均数为________．3.4375[w＝三、解答题9．为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：分组人数平均成绩正科级干部组a80副科级干部组b70(1)求a，b；(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分x.[解](1)样本量与总体中的个体数的比为40320则抽取的正科级干部人数a＝320×140副科级干部人数b＝1280×140＝3(2)这40名科级干部预测成绩的平均分x＝8010．(多选)某高中3000名学生均已接种某疫苗，现按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：年级高一高二高三只接种第一、二剂疫苗人数504445接种第一、二、三剂疫苗人数0110则下列判断正确的是()A．该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11B．该校高三学生的人数比高一人数多50C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%ACD[由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55，即10∶9∶11，A正确；高三学生人数为3000×55150＝1100人，高一学生人数为3000×50150＝1000人，故高三学生的人数比高一人数多1100－1000＝100人，故B错误；高三接种第三剂疫苗的人数约为3000×10150＝200人，C正确；该校学生中第三剂疫苗的接种率约为1111．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是()A．甲应付5141109B．乙应付3224109C．丙应付1656109D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少ACD[依题意由分层随机抽样可知，100560则甲应付10109乙应付10109丙应付1010912．某校共有2000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：年级高一年级高二年级高三年级跑步人数abc登山人数xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14A．25B．35C．45D．55C[由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2000×31013．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分别为8