2023-2024学年人教A版必修第二册 复数章末综合提升 学案

第7章复数章末综合提升类型1复数的概念1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键．2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．【例1】(1)设i是虚数单位，若复数a＋6+2ii-1(a∈R)是纯虚数，则aA．4 B．3C．2 D．1(2)(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则z＝()A．1 B．5C．7 D．25(3)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(A．0 B．－1C．1 D．－2(1)C(2)B(3)A[(1)∵a＋6+2ii-1＝a＋6+2i-1-i-1+∴a－2＝0，即a＝2．故选C．(2)由条件可知z＝3-4ii＝－4－3i，∴|(3)∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选类型2复数的四则运算1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点．2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．【例2】已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+i(1)化简复数z；(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值．[解](1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+＝－4－3i－4-2i2＝－4－3i－(2－i)(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，∴22-12类型3复数的几何意义1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量OZ之间是一一对应关系，另外复数加减法的几何意义与向量加减法的几何意义一致．2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养．【例3】(1)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多选)已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋3i B．－1＋3iC．－1－3i D．1－3i(3)复数z满足|z＋3－3i|＝3，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．(1)C(2)BC(3)333[(1)由题意，得z＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b)．根据题意可画图形如图所示．∵|z|＝2，且OZ与x轴正方向的夹角为120°，∴a＝－1，b＝±3，即点Z的坐标为(－1，3)或(－1，－3)．∴z＝－1＋3i或－1－3i．(3)|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝3．]章末综合测评(二)复数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1A[因为a，b∈R，a+b＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．故选A．]2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋z＝()A．－2 B．－1C．1 D．2D[由题设有1－z＝1i＝ii2＝－i，故z＝1＋i，故z＋z＝(1＋i)＋(1－i)故选D．]3．已知i是虚数单位，则化简1+i1-iA．i B．－iC．－1 D．1B[因为1+i1-i＝1+i所以1+i1-i2023＝i20234．复数2-i1-A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[2-i1-3i＝2-i5．如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为(A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋iD[由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋41+i1-i1+i＝1－i＋4+4i2＝6．(2022·广西桂林中学月考)设z∈C，满足2≤z+i≤3，其在复平面对应的点为Z，求点Z构成的集合所表示的图形面积(A．1 B．5C．π D．5πD[设复数z＝x＋yix，y∈R，则z＋i＝x＋y+1i，则2≤x+y+1i≤3等价于2≤x2+y+12≤3，即有4≤所以复平面对应的点为Z(x，y)表示复平面上以(0，-1)为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)，故其面积为故选D．]7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2iA[由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，所以b+a=0，b2+4b+4=0，解得a=2，8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋3y的最大值为()A．1＋3 B．2C．1 D．3B[∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，∴x2＋y2＝1．设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈R，∴x＋3y＝cosθ＋3sinθ＝2sinθ+π∴x＋3y的最大值是2，故选B．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为()A．(3，1) B．(－2，0)C．(0，4) D．(－1，－5)ACD[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i，－2，4i，－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a<0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是()A．该方程一定有一对共轭虚根B．该方程可能有两个正实根C．该方程两根的实部之和等于－2D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1ABD[方程x2＋2x－a＝0，a<0，则Δ＝4＋4a，当Δ≥0，即a≥－1时，方程有实数根，故A错误；由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为－2，所以不可能有两个正实根，故B错误；当Δ<0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x＝－1±-4+4a2i，所以两个根的实部之和等于－2，故C正确；若该方程有虚根，则虚根的模为1+-4+4a211．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝B．若z1＝z2，则z1＝C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·D．若|z1|＝|z2|，则z12ABC[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z对于B，若z1＝z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1＝z对于C，设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则a12+b12＝a22+b22，z1·z1＝a12+b1对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z12＝4，z22＝－2＋212．(2022·山西吕梁模拟)已知复数z满足z-1+i＝3，则A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是-C．z+1+i的最小值为D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限ABC[满足z-1+i＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，A正确；实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是-2，4z+1+i表示复数z在复平面内对应点到(1，-1)的距离，所以z+1+i的最小值为3－2由图可知，复数z在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________．3[∵|a＋bi|＝a2+b∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]14．复数z满足方程zi＝1－i，则z＝________．－1＋i[∵zi＝1－i，∴z＝1-ii＝1-iii·i∴z＝－1＋i．]15．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则|z|＝________，zz＝________22±i[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－x+yi+x-y∴|z|＝22．∴zz＝x-yi16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．④[对于①，z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)现有以下三个式子：①2+i1-2i；②-4+3(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．[解](1)选①，2+i1-2i＝2+选②，-4+3i3+4i＝-4+3选③，-1-i-1+i(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到，a+bib-ai＝i(a，b∈R，且a下面进行证明：a+bib-ai＝a+bib+a18．(本小题满分12分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．[解](1)由题意，复平面内A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，设D的坐标为(x，y)，由于AD＝BC，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，则点D对应的复数z＝3＋2i．(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，则3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q即p＝12，q＝26．19．(本小题满分12分)(2022·山东东营期末)已知复数z1＝2m21-i，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．[解](1)z1＝2m21+i1-i1+i＝m2＋m2i，z2＝2所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，因为z1＋z2是纯虚数，所以m2+2m-3=0(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，因为z1＋z2＞0，所以m2+2m-3＞所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．20．(本小题满分12分)(2022·河北张家口月考)已知复数z1＝1-i2+31+i2-i，z2(1)求复数z1的共轭复数；(2)若复数z3＝z1＋i，复数z2z3在复平面内对应的点在第三象限，且z2≥[解](1)z1＝1-i2+31+i2-i所以复数z1的共轭复数为1－i．(2)由(1)得z3＝1＋2i，z2z3＝m-3所以复数z2z3它在第三象限，则m-解得－32<m又z2＝m2+9≥5，解得m≤－4或m综上所述，实数m的取值范围为4，21．(本小题满分12分)(2022·江苏泰州期末)已知复数z满足z－1为纯虚数，(1－2i)·z为实数，其中i为虚数单位．(1)求复数z；(2)若x·z＋y·z＝z·z，求实数x，y的值．[解](1)设z＝m＋ni(其中m，n∈R)，由z－1＝(m－1)＋ni为纯虚数，得m＝1，且n≠0．由(1－2i)·z＝(1－2i)·(1＋ni)＝1＋2n＋(n－2)i为实数，得n＝2．所以z＝1＋2i．(2)由(1)知，z＝1＋2i．故由x·z＋y·z＝z·z，得x·(1＋2i)＋y·(1－2i)＝(1＋2i)·(1－2i)，即(x＋y)＋(2x－2因为x，y∈R，由复数相等的充要条件得：x+y=5，2x22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点