2023-2024学年人教A版必修第二册 平面向量及其应用探究课用向量法研究三角形的性质 学案

用向量法研究三角形的性质三角形“四心”的向量表示在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)三角形的重心：OA+OB+OC＝0⇔(2)三角形的垂心：OA·OB＝OB·OC＝OC·OA⇔O是△ABC的垂心．(3)三角形的内心：aOA＋bOB＋cOC＝0⇔O是△ABC的内心．(4)三角形的外心：|OA|＝|OB|＝|OC|⇔O是△ABC的外心．【典例】(1)若三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA·ABAB+CACA＝OB·BABA+CBCB＝OCA．内心B．外心C．重心D．垂心(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足PA＋2PB+PC＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝(A．1∶2∶3 B．1∶2∶1C．2∶1∶1 D．1∶1∶2(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝10，AC＝3．若O是△ABC外心，且AO＝pAB＋qAC，则p＝________，q＝________．(1)A(2)B(3)1349[(1)由题意知OA与ABAB＋CACA＝AE(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点(2)延长PB至D，使得PD＝2PB(图略)，于是有PA+PD+PC＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1(3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．由余弦定理，得cos∠BAC＝AB2+AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝32∵AO＝pAB＋qAC，∴AO∵AO·AB＝|AB|·|AO|·cos∠BAO＝|AB|·|AD|＝2，AO·AC＝|AO|·|AC|·cos∠CAO＝|AC|·|AE|＝92∴2=4p+32q，92=]1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则AO·AB等于()A．6 B．6C．12 D．18D[如图，过点O作OD⊥AB于点D，可知AD＝12AB＝3则AO·AB＝(AD+DO)·AB＝AD·AB+DO·AB＝3×62．用向量方法证明：(1)三角形的三条高线交于一点．如图①所示，△ABC中，设BC，CA边上的高AD，BE交于点H，求证：边AB上的高过点H；(2)三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，BC和CA边上的垂直平分线交于点O，求证：AB边上的垂直平分线过点O．[解](1)在△ABC中，∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴AH·BC＝0，BH·AC＝0，∴AH·(BH+HC)＝0，BH·(AH+∴AH·HC-BH·HC＝∴AB·HC＝0，∴CH⊥AB，故三角形三条高交于一点．(2)设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a＋b＋c＝0，因为BC和CA边上的垂直平分线交于点O，所以EO⊥CA，DO⊥BC，所以EO·CA＝0，DO·BC＝因为EO＝EA+AF+所以(EA+AF+FO)·CA＝0，(DB+BF所以12b2＋12c·b＋FO·b＝0，－12a2－12c·a＋FO·两式相加得，12(b2－a2)＋12c·(b－a)＋FO·(b＋a)＝因为c＝－(b＋a)，所以12(b2－a2)－12(b＋a)·(b－a)＋F