九年级数学讲义教学

第一讲菱形的性质与判定

1菱形定义

_____________________的四边形叫做菱形。

菱形性质

菱形有哪些特殊性质？

边：;

角:__________________________

对角线：____________________________________________________

对称性：__________________________________________________________

菱形性质的应用

1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cjn,求菱形的周长和面积。

2“已知：如图，在菱形ABCD中,周长为8cm,NBAD=120°对角线AC,BD交于点

0,求这个菱形的对角线长和面积。

3.如图，菱形ABCD中,对角线AC与BD交于0,AB=8,E是CD的中点，则0E的长等

于.

4.已知菱形两条对角线的长分别为12和16,则这个菱形的周长为，面积

为.

三'解答题

5.如图,四边形ABCD是菱形,边长为10cm,对角线AC,BD交于0,ZBAD=60°.

(1)求对角线AC,BD的长；

(2)求菱形的面积.

6.如凰在4ABC中，AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证:BE=CE.

练习填空

(1)菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的.周长等于，面

积等于。

(2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2,菱形的四个内角

是，。

(3)已知：菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比为1：2,则较短的

对角线长是。

(4)已知：菱形的周长是52cm“一条对角线长是24cm,则它的面积是。

菱形的判定方法:

1.木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗?借助

以下图形探索:如图，在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是,菱形.

证明：

我发现,的四边形是菱形。

2.如下图，在3BCD中，若ACLBD,则。ABCD是什么图形?

证明:

我发现,的平行四边，形四边形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四边形是菱.形

符号语言________________________________________________

2、的平行四边形是菱形

符,号语言«，

例习题分析

例CABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AB=5,A0=4,0B=3.求证：OIBCD

是菱形。

8.如图所示，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB=CD=BC,四边形ABCD是菱形吗？

说明理由.

5.如图,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC边上的点,且DE/7AC,DE=AF,在不改变图形的前提

下,请你添加一个条件:，使四边形AEDF是菱形,并写出证明过程.

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D

6.如图,在平行四边形ABCD中,0是对角线AC的中点,过点0作AC的垂线与边AD、BC分别

交于E、F.连接AF,CE.求证：四边形AFCE是菱形.

四、思考题

9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,且OC=OD,PD〃AC,PC〃BD,PD,

PC相交于点P,四边形PC0D是菱形吗？试说明理由.

课后巩固

3.菱形的判定方法：

(1)有一组邻边的平行四边形是菱形；

(2)对角线的平行四边形是菱形；

(3)的四边形是菱形；

(4)每条对角线一组对角的四边形是菱形.

4.如凰在小ABC中，NACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于D,交AB于E,且CF=BE.则四边

形BECF是形.

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6.菱形ABCD的周长为48cm,ZBAD：ZABC=1：2,则BD=P,菱形的面积是

7.在菱形ABCD中，AB=4,AB边上的高DE垂直平分边AB,则BD=,AC=

三、解答题

1、.如图，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于点C,BD平分.NABC,且交AE于点

D,连接CD,求证：四边形ABCD是菱形。

A___________________

BCF

2、如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD上，且BM=DN,MG〃AD,NF〃

AB,点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG都

是菱形。

练习

1、一个平行四边形的一条边长是15,两条对角线的长分别是12和9,这是一个

特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。

归纳）：S菱形=-=K

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第二讲矩形性质

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是

特殊的，它具有平行四边形的所有性质。

2.矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？

3.证明：矩形的四个角都是直角

已知：如图，

求证：

证明：

证明：矩形对角线相等

已知：如图，A---------------------------B

求证

证明

3.合作探究：

问题一：如图，矩形ABCD,对角线相交于0,观察对角线所分成的三角形，你有

什么发现？

问题二在RtZ\ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？

证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”

已知

求证

证明

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问题三上面结论的逆命题

是：。

是否正确？请给予证明。

4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0.过点A作AE〃BD,交CB的延长线于点E.

⑴求证:AC=AE;

⑵若NA0B=120°,AE=8,求BC的长.

5.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0,CE/7BD,DE/7AC.

⑴证明：四边形0CED为菱形；

(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.

巩固练习

1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角,对角

线O

2.在矩。形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,若ZAQ8=100,则

ZOAB=。

3、已知矩形的长为20,宽为12,顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的

面积是•

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4.如图，矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点0.若NA0B=60°,BD=8,则AB的长为（）

5.如图，在AABC中，AB=AC,ADJ_BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长

为.

6.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,已知NA0D=120°,AB=2.5cm,

求矩形对角线的长。

矩形的判定

1.矩形是轴对称图形，它有条对称轴.

2.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢？

请同学们说出最基本的方法：（用定义）

1.知识点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。”

如图在L7ABCD中，对角线AC,BD相交于0,女口果

AC=BDAD

求证：CABCD是矩形。

证明：3BCD是平行四边形

.*.AB=CD,AB〃CD(

二ZABC+ZDCB=180BC

在AABC和ADCB中

｛二二

.,.△ABC^ADCB()

ZABC=ZDCB

工ZABC=_____

DABCD是矩形()

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2.知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。”

已知：在四边形ABCD中NA=NB=NC=90°

求证：四边形ABCD矩形

证明：ZA+ZB+ZC+ZD=度

而NA=NB=/C=90度

/.ZD=________

，四边形ABCD是平行四边形（）

...四边形ABCD矩形（）

6.如图，已知AB/7DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°,求证:

(1)AABF^ADEC;

(2)四边形BCEF是矩形.

7.已知:0是矩形ABCD对角线的交点,E、F、GUI分别是OA、OB、OC、0D上的点,AE=BF=CG=DH,

求证：四边形EFGH为矩形.

2.如图,在矩形ABCD中，点0为对角线的交点,E为BC的中点,0E=3,AC=12,则AD=（）

3.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,

矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.

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4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若AE平分/BAD交BC于点E,且B0=BE,

连接0E,则/B0E=.

三、解答题

5.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线

与CE的延长线交于点F,连接DF.

(1)求证:AF=DC;

(2)当AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形?并说明理由.

6.在RtAABC中,NACB=90°,D是AB的中点,DE平分NADC,DF平分NBDC,那么EF=DC吗?试

说明理由.

练习；

1.如图，3BCD中，AB=6,BC=8,AC=10,

求证：3BCD是矩形。

B

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第三讲正方形的性质

正方形性质

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

正方形性质定理1:正方形的四个角都是，四条边都。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且

例1.求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD

相交于点0（如图）.

求证：△ABO、△BCO、△CDO、aDAO是

全等的等腰直角三角形.

B

例2.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点,

点F是CB的延长线上「点，且DE=BF.

求证：（1）EA=AF；（2）EA±AF.

3.如右图，E为正方形ABCD内一点，且AEBC是等边三角形,

求NEAD与NECD的度数.

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4.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点0,过点0的直线分别交AD,BC于点

E,F,则阴影部分的面积是.

AED

BFC

三、解答题

5.如图，四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形.

⑴求证：△ABEgADCE;

(2)求/AED的度数.

6.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CEJ_BF,垂足为M,请找出和BE相

等的线段,并证明你的结论.

练习

1.⑴正方形的四条边，四个角，两条对角线

⑵正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的

⑶正方形的边长为6,则面积为

⑷正方形的对角线长为6,则面积为

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2.如右图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知EC=30,EB=10,

则正方形ABCD的面积为,对角线为

3.如右图，E为正方形ABCD内一点，且AEBC是等边三角形,

求NEAD与NECD的度数.

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正方形的判定

用菱形证明正方形.

1.已知四边形ABCD是菱形,当满足条件时，它成为正方形（填上你认

为正确的一个条件即可）.

证明：

用矩形证明正方形.

2.已知四边形ABCD是矩形,当满足条件时，它成为正方形（填上你认

为正确的一个条件即可）.

证明：

用平行四边形证明正方形

3.在RtZ\ABC中，ZACB=90°，CD平分NACB,DEIBC,DF1AC,垂足分别是E,

F。

求证：（1）四边形CFDE是平行四边形。

（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。

（3）四边形CFDE是正方形。

练习：

1.对角线的菱形是正方形，

对角线的矩形是正方形，

对角线的平行四边形是正方形，

对角线的四边形是正方形.

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2•已知：如图，4ABC中，ZABC=90°，BD是NABC的平分线，DE_LAB于点E，DF

J_BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形.

3•如图，在4ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将4ADE绕点E旋转180°

得到ACFE.

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；

(2)当aABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.

4.如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且NEAF=45°,试说明

EF=BE+DFo

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5.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且BE=CF,求

证：AABE^ABCF.

6.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F,G,H分别是BC,BE,

CE的中点.

(1)求证：4BGF四△FHC；

(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积.

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第四讲一元二次方程

【知识要点】

1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为

ax2+bx+c^O(a、b、c、为常数，a，0)的形式，这样的方程叫做一元

二次方程。

(1)定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并

且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。

(2)ax2+bx+c-0(a、b、c、为常数，a/0)叫一元二次方程的一般形式，

也叫标准形式。

(3)+Z?x+c=O(a，0)中，a,b,c通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的0?+以+。的值为0,

x的值即是一元二次方程0?+以+。=0的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的+c的值

无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ox?+以+。=0的解。

【经典例题】

例1、下列方程中，是一元二次方程的是

①--y=0；②2x2-x—3=0；③4=3；④ax2=bx；@x2=2+3x；

4二

o_____

⑥％3_》+4=0；⑦产=2；⑧/+3X—2=0；⑨J%2—x=2；⑩a/=。*。彳。)

X

例2、(1)关于x的方程(m—4)x，(m+4)x+2m+3=0,当m时，是一元

二次方程，当m时，是一元一次方程.

(2)如果方程ax?+5=(x+2)(x—1)是关于x的一元二次方程，则a.

(3)关于x的方程(2/+/〃-3)x"+5x=13是一元二次方程吗？为什么？

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例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及

常数项。

(1)2X2-X+1=0(2)-5X2+1=6X(3)(X+1)2=2X(4)~43x2-4x=-8

例4、(1)某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增

长率为x,可以列方程得()

A.5(l+x)=9B.5(1+X)2=9

C.5(1+X)+5(1+X)2=9D.5+5(1+X)+5(1+X)2=9

(2)某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率

相同，设为x,则方程为.

例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8m,宽为

5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽？(列出方程并

估算解得值)

⑴

例6、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离

为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?

【经典练习】

一、选择题

1、下列关于x的方程：①1.5乂?+1=0；②2.3X2+^+I=O；③3.4xJax(其中a为常

X

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数)；④2x，3x=0；⑤亘"1=2x；⑥{(妨+④=2x中，一元二次方程的个

数是()

A、1B、2C、3D、4

2、方程x2—2(3x—2)+(x+l)=0的一般形式是

A.X2—5x+5=0B.x"+5x+5=0C.x2+5x—5=0D.x2+5=0

3、一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是

A.7x2,2x,0B.7x2,—2x,无常数项

C.7x2,0,2xD.7x\—2x,0

4、若x=l是方程ax4bx+c=0的解，则

A.a+b+c=lB.a—b+c=0C.a+b+c=0D.a—b—c=0

二、填空题

1、将x(4x+3)=3x+l化为一般形式为,此时它的二次项系数是.

，一次项系数是，常数项是o

2、如果(a+2)xZ+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为.

3、已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为X,可得方程为

4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的

增长率设为x,则方程为.

5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，

第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均

为x,可列出方程为.

三、解答题

1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5

月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？

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【课后作业】

一、填空题

1、方程5(x2-V2x+l)=-3V2x+2的一般形式是,其二次项是

,一次项是，常数项是.

2、若关于x的方程(”-1)/_3。尤+5=0是一元二次方程，这时a的取值范围是

3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植

树面积年平均增长率为x,根据题意列方程.

二、选择题

1、下列方程中，不是一元二次方程的是()

A.2X2+7=0B.2X2+2A/3X+1=0C.5X2+-+4=0D.3X2+(1+X)V2+1=0

X

2、方程x2—2(3x—2)+(x+l)=0的一般形式是()

A.x2—5x+5=0B.X2+5X+5=0C.X2+5X—5=0D.x2+5=0

3、一元二次方程7/—2x+l=5的二次项、一次项、常数项依次是()

A.7x2,2x,1B.7x；—2x,无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,-4

4、方程x?一6:=(百一四)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是()

A.72B.-V2C.V2-V3D.1+72-273

5、若关于x的方程(ax+b)(d—cx)=m(acW0)的二次项系数是ac,则常数项为

()

A.mB.—bdC.bd-mD.—(bd-m)

6、若关于x的方程a(x—1)2=2(—2是一元二次方程，则a的值是()

A.2B,-2C.0D.不等于2

7、若x=T是方程ax?+bx+c=0的解，则()

A.a+b+c=lB.a—b+c=0C.-a+b+c=0D.a—b—c=0

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第五讲一元二次方程(配方法)

【知识要点】

1、直接开平方法解一元二次方程：

(1)把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形

式，即化成(X±Z?)2=4(420)的形式

(2)直接开平方，解得否=干。+&,%2=干6-右

2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种

解一元二次方程的方法称为配方法。

3、用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)利用配方法解一元二次方程时，如果办2+以+。=0中a不等于1,必须两

边同时除以a,使得二次项系数为1.

(2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

(4)用直接开平方法求出方程的根。

【经典例题】

例1、解下列方程:

(1)X2=4(2)(X+3)2=9

例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：

(1)X2+12X+_=(X+6)2(2)X2+8X+_=(x+)2(3)x2-12x+

=(x-)2

例3、用配方法解方程

(1)3X2+8X-3=0(2)6%2-X-12=0

155

(3)—x2+—x——=0(4)》2一国一2=0

224

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例4、请你尝试证明关于x的方程(/-8，〃+20)父+2znr+l=0,不论m取何值,

该方程都是一元二次方程。

例5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间

t(s)满足关系：h=15t—5t"小球何时能达到10m高?

【经典练习】

一、填空题

1、若x?=225,贝！Jx产,x2=.

2、若9x：'—25=0,则x】=,x2=.

3、填写适当的数使下式成立.

①X2+6X+=(X+3)2②x?-x+l=(x-I)2③

X2+4X+=(x+)2

4、为了利用配方法解方程X2-6X-6=0,我们可移项得,方程两边

都加上得——，化为——•解此方程得

X|=，x2=.

5、将长为5,宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的4个小矩形，剩余部分的

面积为12,则剪去小矩形的宽x为

二、选择题

1、一元二次方程x2—2x—m=0,用配方法解该方程，配方后的方程为()

A.(X—l)2=m2+lB.(x—l)2=m—1

C.(x—1尸=1—mD.(x—l)2=m+l

2、用配方法解方程x?+x=2,应把方程的两边同时()

A.加一B.加'C.减一D.减工■

4242

3、3知xy=9,x-y=-3,则x?+3xy+y2的值为()

A.27B.9C.54D.18

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三、计算题(用配方法解下列方程)

(1)x2=16(2)(x-2)2=4

(3)x2+5x—1=0(4)2x2—4x—1=0

(5)-x2-6x+3=0(6)x2-x+6=0

4

(7)x2-4x-3=0(8)x2+12%+25=0

(9)3x2—1=6x(10)2，—2缶+1=0

四、解答题

两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm,大正方形的面

积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.

【课后作业】

1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n的形式

(1)2x2+3x-2=0(2)-X2+X-2=0

4

2、用配方法解下列方程

(l)x2+5x—5=0(2)2X2-4X-3=0

(3)X2-3X-3=0(4)lx1+7x+14=0

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第六讲一元二次方程（公式法）

【知识要点】

1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对

于一元二次方程以2+公+c=0其中由配方法有。+2）2=丝学。

2a4a2

（1）当人2一4。。之0时，得钎心土扬-4"，；

2a

（2）当4ac<0时，一元二次方程无实数解。

2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。

3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：

（1）必须把一元二次方程化成一般式以2+公+°=0,以明确a、b、c的值；

（2）再计算从-4ac的值:

①当。2一4知之0时，方程有实数解，其解为：X=Z?±"2-&£；

2a

②当〃一4改<0时，方程无实数解。

【经典例题】

例1、推导求根公式：ax2+bx+c=O（azO）

例2、利用公式解方程:

(1)X2-2X-2=0(2)2X2+7X=4

(3)-JC2-4X+1=0(4)X2-4A/3X+10=0

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例3、已知a,b,c均为实数，且J/-2a+l+Ib+1I+(c+3)2=0,解方程

ax2+bx+c=O

例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4X2+2X-1与B=3X2-2相等吗？

例5、一元二次方程(m—l)x'+3m2+(nr+3m—4)=0有一根为零，求m的值及

另一根.

【经典练习】

1、用公式法解下列各方程

(1)X2+6X+9=7(2)12X2+7X+1=0

(3)x2—4y/2x+8=0(4)2%2-3X-5=O

(5)x2—%—1=0(6)3X2-5X+1=0

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(7)(2x-l)(x-3)=4(8)4y2-(V2+8)y+V2=0

(9)41x2-V3x-V2=0(10)(y-2)(y+l)+y(y-1)=0

(11)5x2-8x=-l

【课后作业】

1、用公式法解下列方程:

(1)X2-7X+1=0(2)x(x+8)=0

(3)x2—x=2(4)0.8X2+X=0.3

(5)3/+1=2(6)x1=7x

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第七讲一元二次方程(分解因式法)

【知识要点】

1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分

解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次

方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。

2、分解因式法的理论依据是：若。2=0,则a=O或。=0

3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：

①将方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。

【典型例题】

例1、(1)方程(尤—1)(1+2)=2(》+2)的根是

(2)方程(x—l)(x+2)(x—3)=0的根是

例2、用分解因式法解下列方程

(1)3x2-6x=0(2)3(x—5尸=2(5—x)

(3)x2-2x+l=0(4)4x2+8x=-4

(5)(3x+2)2-(x+3)2=0(6)49(X-3)2=16(x+6产

(7)-X2+-X-6=0(8)(X-1)2-4(X-1)-21=0.

42

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例3、2一百是方程x2+bx-l=0的一个根，则b=，另一个根是

例4、已知a?—5ab+6bJO,则q等于（）

ba

A.2-B.3-C.2-gc3-D.2』或3,

232332

例4、解关于x的方程：（a2—b2）x2+4abx=a2—b?.

例5、x为何值时，等式卜2—x—4+欧―3x—2|=0

【经典练习】

一、填空题.

1、用因式分解法解方程9=(-2x+l

(1)移项得；

(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得；

(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得；

(4)分别解这两个一次方程得xi=,x2=o

2、(1)方程t(t+3)=28的解为.

(2)方程(2X+1)2+3(2X+1)=0的解为.

3、(1)用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次

方程和求解。

(2)方程(一16=0,可将方程左边因式分解得方程,则有两个一

元一次方程或，分别解得：

Xi=,x2=.

4、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,那么c=,该方程的另一根为,

该方程可化为(x-1)(x)=0

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5、已知x2-7xy+12y2=0,那么x与y的关系是.

6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如

果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果

个数分别是

二、解下列关于x的方程

(l)x'+12x=0；2)4/—1=0；

(3)(x-1)(x+3)=12；(4)x2—4x—21=0；

(5)3X2+2X-1=0；(6)10X2-X-3=0；

(7)4(3x+l)-9=0(8)5(2x-l)=(l-2x)(x+3)

【课后作业】

一、选择题

1、已知方程4x?-3x=0,下列说法正确的是()

3

A.只有一个根x=-B.只有一个根x=0

4

33

C.有两个根Xi=0,X2=—D.有两个根Xi=0,X2=-一

44

2、如果(x-1)(x+2)=0,那么以下结论正确的是()

A.x=l或x=-2B.必须x=l

C.x=2或x=-lD.必须x=l且x=-2

3、若方程(x-2)(3x+1)=0,则3x+l的值为()

A.7B.2C.0D.7或0

二、用因式分解法解下列方程：

(l)t(2t-l)=3(2t-l)；(2)y2+7y+6=0；

(4)y2-15=2y(4)(2x-l)(x-l)=0

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第八讲一元二次方程的解法

1.用配方法解下列方程:

(1)(2X-1)2=1；(2)x2+4x—1=

0；

(3)^x2—6x+3=0.

2.用公式法解下列方程:

(1)5X2+2X-1=0；(2)6X2+13X+6=0；

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(3)X2+6X+9=7；(4)5x+2=3x2.

3.用因式分解法解下列方程:

(1)X2-25=0；(2)x?=4x；

(3)(x—3)(x—1)=6—2x.

4.用适当的方法解下列方程:

⑴(x—5尸=16；(2)X2-3X=5；

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(3)(3X-4)2=(4X-3)2；(4)(2x—1)(x+1)=(3x+

1)(x+1).

5.解下列一元二次方程:

(1)X2—4x—6=0；(2)X2-5X+2=0；

C3)y(y—8)=—16；⑷4(X,+1)2=9(X—2)2.

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第九讲判别式和根与系数的关系

【知识要点】

1、一元二次方程的判别式：△=〃-4ac

(1)当从一4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x=~y-

2a

A

(2)当从一4砒=0时，方程有两个相等的实数根，x,=x=--o

22a

(3)当从一4。。<0时,方程无实数解。

2、一元二次方程根与系数关系的推导:

对于一元二次方程办2+欧+。=0其中设其根为对/，由求根公式

有％+x——

2aa

3、常见的形式：

22

(1)(x,-x2)=(%,+x2)-4X,X2

33

(2)x；+x2=(X]+x2)-3X}X2(X]+X2)

2

(3)%]—x2-+-J(XI+%2)—4X1X2

【典型例题】

1、写出下列每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

(1)X2-2x+l=o(2)X2-2A/3X-1=0(3)2x2-3x+l=0

2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a70)的求根公式，并计算出两根和、两积。

想一想，一元二次方程根与系数有怎样的关系？

3、不解方程，利用根与系数的关系求出下列方程的两根和、两根积。

(1)X2+3X+1=0；(2)3x2—2x—1=0；(3)2x2+5x=0。

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4、求出每个方程一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数

的商；你发现了什么？

结论：一元二次方程根与系数的关系：

如果方程以2+云+。=0(470)有两个实数根(当从_4b20)时根为：乂1,

x2，贝！I

b_c

X|+X2=------X]X2=-

aa

用文字叙述为：如果一元二次方程有两个实数根，则两根之和等于一次

项系数与二次项系数的商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商。

例题学习、方法总结回答下列问题：

1、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是什么？

2、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是什么？

方法总结：(1)利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条

件是方程必须要有实数根。(△=b2-4ac20)

(2)利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤

是：①先将方程化为一般式；②判断根的情况；③在方程有解的前提下再求两根

和、两根积。

运用所学知识，完成下列问题：

1.如果治、X2是一元二次方程*2-6*-2=0的两个实数根，则3X2=.

2.不解方程，求下列方程的两根K、X2的和与积。

(1)x2-3x-5=0(2)2x2+5x-5=0

3、已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是-2,则这个方程是()

(A)X2+3X-2=0(B)X2+3X+2=0(C)/—3x—2=0⑺)x2-3J:+2=0

例：已知方程/+依-6=0的一个根是2,求方程的另一个根及。的值。

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问题：1、解答此题你用到了哪些知识？

2、解此类题的基本思路是什么？

归纳反思：基本思路是：

①首先将已知根代入方程求出未知系数；

②其次是将已求的未知系数的值代入方程，再根据根与系数

的关系求出另一根。

合作探究：请同学们以小组为单位，不解方程，利用根与系的关系完成例2,

并思考回答后面的问题。

例2：如果王、与是方程炉―3x+l=0的两个根，则求出下列代数式的值。

11

------F----

①X\X2

问题：求解关于一元二次方程两根代数式的值的基本思路是什么？

归纳反思：基本思路是：

①先将代数式通过恒等变形转化成两根和、两根积形式；

②准确写出a与b的值；

③根据根与系数的关系，求出变形后代数式的值。

练习

1、已知方程/-2x-c=0的一个根是1+四，求方程的另一个根及c的值。

2、若关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根为-1,则另一个根为()

A>1B、-1C>2D、-2

3.即、々是方程2F-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

22

(1)+3X2-3X2(2)X1++XjX2(3)(Xj+2)(x2+2)(4)

土+工

x2xx

4、已知方程/+"+匕=°的两个根分别是2与3,则年.全.

5、x„X2是方程2x?+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值

2+2/、Xs>X]

(1)(Xi+1)(x2+l)；(2)X1X2XIX2；

XiXo

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例1当m分别满足什么条件时，方程2x2-（4m+l）x+2m2-l=0,

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；（4）有两个实根.

例2、已知方程d-2x-c=0的一个根是3,求方程的另一个根及c的值。

例3、已知方程/一51-6=0的根是X1和X2,求下列式子的值：

22

（1）X,+x2+xix2（2）—+^=-

x2x]

例3、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为治，x”且上+-!-=3,

Mx2

求①m的值；②求婷+xj的值.

例5、已知关于、的方程（1）一一（1一2。口+/一3=0有两个不相等的实数根，

且关于％的方程（2）/—2x+2a-1=0没有实数根，问a取什么整数时，方程

（1）有整数解？

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【经典练习】

一、填空题

1、已知方程x2—3x—4=。的两个根分另u是xl和x2,贝lJ~+、2=,x/2=

2、已知方程—+初+8=0的两个根分别是2与3,则。=,b=

3、已知方程,+3x+左=0的两根之差为5,k=

4、(1)已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=

(2)方程4/+2对+5=0的一个根是另一个根的5倍，则m=；

5、以数五+1,血-1为根构造一个一元二次方程

二、简答题

1、讨论方程(12)/一冬加一1»一4=0的根的情况并根据下列条件确定m的值。

(1)两实数根互为倒数；(2)两实数根中有一根为1。

2、求证：不论k取什么实数，方程%2(%+6)x+4/-3)=0一定有两个下相等的

实数根？

3、已知方程，—3x+c=0的一个根是2,求另一个根及c的值。

4、已知方程2,一4x-5=0的两个根分别是％和X2,求下列式子的值：

22

(1)(X]+2)(x2+2)(2)%,-x]x2+x2

第37页共