高考数学（文）创新大一轮人教A版第七章不等式第2节

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[常用结论与微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z取最大值.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是eq\f(z,b).答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(－1，1) C.(－1，3) D.(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面区域是()解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))则z＝3x－2y的最小值为________.解析不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0))表示的平面区域如图所示.由z＝3x－2y得y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)，当直线y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)过图中点A时，纵截距最大，此时z取最小值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝－1，,x＋2y＝1))解得点A坐标为(－1，1)，此时z＝3×(－1)－2×1＝－5.答案－55.(2018·石家庄质检)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2≤0，,x＋y－2≥0，))则z＝eq\f(y,x)的最大值为________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y－2＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，kOA＝eq\f(\f(3,2),\f(1,2))＝3，∴zmax＝3.答案3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，则m的值为()A.－3 B.1 C.eq\f(4,3) D.3解析(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))画出平面区域后，只有C符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－m，,y＝1＋m，))即A(1－m，1＋m).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)－\f(4,3)m，,y＝\f(2,3)＋\f(2,3)m，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(4,3)m，\f(2,3)＋\f(2,3)m))，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝eq\f(1,2)(2＋2m)(1＋m)－eq\f(1,2)(2＋2m)·eq\f(2,3)(1＋m)＝eq\f(1,3)(1＋m)2＝eq\f(4,3)，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.答案(1)C(2)B规律方法1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】(2018·郑州预测)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,y≥2x－6))表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________.解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为eq\f(1,2)×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为eq\f(1,4)π(eq\r(2))2＝eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(\f(π,2),12)＝eq\f(π,24).答案eq\f(π,24)考点二求目标函数的最值问题(多维探究)命题角度1求线性目标函数的最值【例2－1】(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤3，,x－y≥1，,y≥0，))则z＝x＋y的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3，故选D.答案D命题角度2求非线性目标函数的最值【例2－2】(1)若变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12(2)(2018·湘中高三联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x－1，,x≤3，,x＋5y≥4，))则eq\f(x,y)的最小值是________.解析(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x2＋y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A(3，－1)与原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又eq\f(x,y)表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时eq\f(x,y)取得最小值，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\do7(min)＝eq\f(1,kOA)＝eq\f(3,2).答案(1)C(2)eq\f(3,2)命题角度3求参数的值或范围【例2－3】(2018·惠州三调)已知实数x，y满足：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋5≥0，,x＋y－1≤0，,x＋a≥0，))若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A.1 B.2 C.4 D.8解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a－5,3)))时，z取得最小值－4，所以－a＋2·eq\f(a－5,3)＝－4，解得a＝2，选B.答案B规律方法1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】(1)(2017·山东卷)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≤0，,3x＋y＋5≤0，,x＋3≥0，))则z＝x＋2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6(2)(2018·新乡模拟)若实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,2x＋y－6≤0，,0≤y≤3，))且z＝mx－y(m<2)的最小值为－eq\f(5,2)，则m等于()A.eq\f(5,4) B.－eq\f(5,6) C.1 D.eq\f(1,3)解析(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y经过点C(－3，4)时取最大值zmax＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝mx－y(m<2)的最小值为－eq\f(5,2)，可知目标函数的最优解过点A，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3，,2x－y＋2＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，∴－eq\f(5,2)＝eq\f(m,2)－3，解得m＝1.答案(1)C(2)C考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*，))目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).答案216000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.【训练3】(2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y≤10，,18x＋15y≤66，,3x＋y≤9，,x≥0，,y≥0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y≤10，,6x＋5y≤22，,3x＋y≤9，,x≥0，,y≥0.))目标函数z＝200x＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝10，,6x＋5y＝22，))得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600.答案600基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案D2.(2017·北京卷)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x＋y≥2，,y≤x，))则x＋2y的最大值为()A.1 B.3 C.5 D.9解析画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过B(3，3)时，z取得最大值9，故选D.答案D3.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A.－15 B.－9 C.1 D.9解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B(－6，－3)处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.故选A.答案A4.(2017·全国Ⅲ卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－y的取值范围是()A.[－3，0] B.[－3，2] C.[0，2] D.[0，3]解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2.答案B5.(2018·河北名校联盟质检)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,x＋y≥0，,x＋2y－4≥0，))则z＝x－2y的最大值为()A.－12 B.－1 C.0 D.eq\f(3,2)解析作出可行域，如图阴影部分，作直线l0：x－2y＝0，平移直线l0，可知经过点A时，z＝x－2y取得最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,x－y－1＝0，))得A(2，1)，所以zmax＝2－2×1＝0，故选C.答案C6.(2018·成都诊断)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是()A.0 B.－2 C.2 D.6解析1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1即变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2≤x－y＋1≤4，,2≤x≤4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－3≤0，,x－y－1≥0，,2≤x≤4，))作出可行域(图略)，可得x－2y的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.答案C7.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0，,3x－2y＋2≥0))且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.1 D.2解析若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2，4)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,4)))，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝eq\f(1,3)，当m＝eq\f(1,3)时，经检验不符合题意，故m＝2，选D.答案D8.若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x>－1，))则(x－2)2＋y2的最小值为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\r(5) C.eq\f(9,2) D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))即C(0，1)，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.答案D二、填空题9.(2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))则z＝3x－4y的最小值为________.解析画出可行域如图阴影部分所示.由z＝3x－4y，得y＝eq\f(3,4)x－eq\f(z,4)，作出直线y＝eq\f(3,4)x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1.答案－110.(2017·滕州模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x))上的一个动点，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值是________.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，C(1，1).设z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.答案311.(一题多解)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,a－b＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))所以z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜－\f(1,2)（x＋y）＜\f(1,2)，,5＜\f(5,2)（x－y）＜\f(15,2)，))所以两式相加可得z∈(3，8).法二作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＋y＜4，,2＜x－y＜3))表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3，1)时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3，8).答案(3，8)12.x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________.解析如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.答案2或－1能力提升题组(建议用时：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元C.17万元 D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12))得A(2，3).则zmax＝3×