专题02 集合的基本关系（7大题型）高频考点题型归纳与方法总结（解析版）

专题02集合的基本关系（7大题型）高频考点题型归纳【题型1判断两个集合是否相等】【题型2空集的概念】【题型3子集的概念及个数】【题型4真子集的概念及个数】【题型5非空（真）子集的概念及个数】【题型6集合间的关系判断】【题型7根据集合间的关系求参数】【题型1判断两个集合是否相等】【知识点】如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等。符号表示:A＝B;图形表示：【典例1】（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【答案】B【解答】解：对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，M＝N，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；故选：B．【题型训练1】1．（2022•杭州模拟）下列各组中的M，P表示同一集合的是（）A．M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）} B．M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）} C．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1} D．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1}【答案】C【解答】解：A．M中有两个元素，P中有一个元素，∴M≠P；B．有序数对（3，1）≠（1，3），∴M≠P；C．M＝{y|y≥﹣1}，P＝{t|t≥﹣1}，∴M＝P；D．M的元素是实数，P的元素是有序数对，∴M≠P．故选：C．2．（2022秋•张掖月考）下列各组集合表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{x|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【答案】C【解答】解：对于选项A，M＝{（3，2）}中的元素为（3，2），N＝{（2，3）}中的元素为（2，3），故M≠N；对于选项B，M＝{（x，y）|x+y＝1}的元素为（x，y），N＝{x|x+y＝1}的元素为x，故M≠N；对于选项C，M＝{4，5}＝{5，4}＝N，故正确；对于选项D，M＝{1，2}的元素为1，2，N＝{（1，2）}的元素为（1，2），故M≠N；故选：C．3．（2022秋•沈河区校级月考）下面说法中不正确的为（）A．{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1} B．{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2 C．{x|x＞2}＝{y|y＞2} D．{1，2}＝{2，1}【答案】B【解答】解：对于A，∵{x|x+y＝1}＝R，{y|x+y＝1}＝R，∴{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}，故A正确；对于B，∵集合{（x，y）|x+y＝2}的元素为有序数对，而{x|x+y＝2}的元素为实数，两个集合的元素不同，故B错误；对于C，集合{x|x＞2}与{y|y＞2}都表示大于2的数形成的集合，∴{x|x＞2}＝{y|y＞2}，故C正确；对于D，由列举法表示集合知{1，2}＝{2，1}，故D正确．故选：B．4.（2022春•抚州期末）下列集合与集合{2021，2022}相等的是（）A．{（2021，2022）} B．{x|（x﹣2022）（x﹣2021）＝0} C．[2021，2022] D．{（x，y）|x＝2021，y＝2022}【答案】B【解答】解：{（2021，2022）}、{（x，y）|x＝2021，y＝2022}都表示一个元素的集合，给出的集合有两个元素，A、D不正确，[2021，2022]表示有无数个元素的集合，C也不正确，{x|（x﹣2022）（x﹣2021）＝0}＝{2021，2022}，故B符合题意，故选：B．【题型2空集的概念】【知识点】1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【典例2】（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是（）A．{x∈R|x2+1＝0} B．{∅} C．{0} D．0【答案】A【解答】解：对于A，∵方程x2+1＝0无实根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝∅，故A正确，对于B，∵集合{∅}中有一个元素∅，∴不是空集，故B错误，对于C，∵集合{0}中有一个元素0，∴不是空集，故C错误，对于D，0不是集合，故D错误，故选：A．【题型训练2】1．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝0．【答案】0．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝0．故答案为：0．2．（2022秋•河北期中）下列表述错误的是（）A．∅⊆{0} B．{0，1}⊆{1，0} C．{π}⊆R D．∅＝{∅}【答案】D【解答】解：对于A，∅⊆{0}，故A正确；对于B，{0，1}⊆{1，0}，故B正确；对于C，{π}⊆R，故C正确；对于D，∅∈{∅}，故D错误．故选：D．【题型3子集的概念及个数】【知识点】如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B，图形表示：【解题技巧】假设非空集合A中含有n个元素，则有：A的子集个数为；A的真子集的个数为；A的非空子集的个数为A的非空真子集的个数为。【典例3】（2023春•白云区校级期中）一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（）A．16 B．31 C．32 D．64【答案】C【解答】解：∵一个集合有5个元素，∴这个集合的子集个数共有：25＝32．故选：C．【题型训练3】1．（2023•南京二模）集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解答】解：∵A＝{2，3}，∴A的子集个数为22＝4．故选：B．2．（2023•广州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．3．（2022秋•长春期中）已知集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}，则集合M的真子集的个数为（）A．29﹣1 B．28﹣1 C．25 D．24+1【答案】A【解答】解：不等式0≤x﹣1≤8可化为1≤x≤9，集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以集合M中的元素个数为9，故其真子集的个数为29﹣1个．故选：A．4．（2023春•乐亭县校级期中）集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的子集个数为64．【答案】64．【解答】解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的子集个数为：26＝64．故答案为：64．【题型4真子集的概念及个数】【知识点】如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，则A⊊B。【典例4】（2022秋•襄城区校级期末）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解答】解：x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3；∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．【题型训练4】1．（2022秋•阳泉期末）已知集合，则集合A真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解：已知集合，解得：＝{x∈Z|﹣3＜x≤0}＝{﹣2，﹣1，0}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个，故选：C．2.（2023•开封三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解；由题意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．3.（2023•咸阳模拟）设集合A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，则集合A的真子集个数是（）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【解答】解：因为A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，所以A＝{1，2，3}，所以集合A的真子集个数是23﹣1＝7．故选：B．4．（2022秋•武陵区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则A的真子集共有个（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}，所以集合A的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【题型5非空（真）子集的概念及个数】【典例5】（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（）A．8 B．7 C．4 D．3【答案】B【解答】解：根据非空子集个数公式为2n﹣1＝23﹣1＝7．故选：B．【题型训练5】1.（2023•重庆模拟）数集{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为（）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【解答】解：数集{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为25﹣2＝30．故选：C．2．（2023•泰和县一模）已知A＝{1，2}，B＝{1，2，6，7，8}，且A⊈C⊆B，满足这样的集合C的个数（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】∵A⫋C⊆B，∴1∈C，2∈C，又∵c⊆B，除了1，2外，余下的元素构成的集合为{6，7，8}的非空子集，故满足条件的集合C的个数为23﹣1＝7，故选：B．【题型6集合间的关系判断】【典例6】（2022秋•葫芦岛期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（）A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A【答案】D【解答】解：由集合A＝{x|﹣1＜x＜6]，B＝{x|2＜x＜3}，选项A．A，B两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确．由条件可得B⊆A，A⊄B，且A≠B，所以选项B，C错误，选项D正确．故选：D．【题型训练6】1．（2022秋•阜南县校级月考）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，则下列说法正确的是（）A．A⊈B B．B⊆A C．A⊆B D．A∈B【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，∴A⊆B，故选：C．2．（2022秋•芦淞区校级期中）设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，则A与B的关系为（）A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A【答案】C【解答】解：∵集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，∴A⊆B．故选：C．3．（2023•东城区二模）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（）A．A⫋B B．A＝B C．B∈A D．B⊆A【答案】A【解答】解：集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A⫋B．故选：A．4．（2022秋•滨海县期中）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，则集合A与B的关系是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．不确定【答案】B【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，∴A⊆B．故选：B．5．（2022秋•秀峰区校级月考）集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则（）A．B∈A B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B【答案】C【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则B⊆A．故选：C．6．（2022秋•市南区月考）设集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}，N＝{x|x＝2n，n∈Z}，则（）A．M⫋N B．N⫋M C．M∈N D．N∈M【答案】A【解答】解：因为集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}表示的元素为4的倍数，集合N＝{x|x＝2n，n∈Z}表示的元素为2的倍数，则M⫋N，故选：A．7.（2021·北京）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】由图可知：，，由选项可知：，故选：D.【题型7根据集合间的关系求参数】【典例7】（2022秋•长寿区校级期中）已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，B＝{0，1}，且B⊆A，则a＝（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1或﹣1 D．0【答案】A【解答】解：∵B⊆A，∴a＝0或a2﹣1＝0，若a＝0，则集合A＝{1，0，﹣1}，符合题意，若a2﹣1＝0，则a＝±1，又元素的互异性，则a≠1，故a＝﹣1，此时集合A＝{1，﹣1，0}，符合题意，∴a＝0或﹣1，故选：A．【题型训练7】1.（2022秋•金溪县校级月考）已知集合A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或土4【答案】C【解答】解：∵A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x2＝16或x2＝4x，则x＝﹣4，0，4．又当x＝4时，4x＝16，A集合出现重复元素，因此x＝0或﹣4．故选：C．2．（2022秋•保定月考）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则a的取值范围是（）A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜2} D．{a|a≤2}【答案】B【解答】解：因为集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，当B⊆A时，则a≥2，故选：B．3．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a≤1 C． D．【答案】A【解答】解：∵，∵N＝{x|x＞a}，M⊆N，∴a＜1．故选：A．4．（2022秋•连云区校级月考）已知a为实数，A＝[1，4），B＝[a，+∞），若A⊆B，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【答案】C【解答】解：因为A＝[1，4），B＝[a，+∞），A⊆B，所以a≤1．故选：C．5．（2022秋•齐齐哈尔期中）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值构成的集合是（）A． B．{﹣2，0} C． D．【答案】A【解答】解：A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{2，﹣3}，①当a＝0时，B＝{x|ax﹣1＝0}＝∅，B⊆