2023年上海市高一开学分班考真题60题2函数与几何含详解

上海市高一开学分班考真题60题专练02函数与几何

【考点剖析】

一、单选题

1.（2023春•河南•高一河南省淮阳中学校联考开学考试）《九章算术》中方田篇有如下问题："今有田广十五步，从

十六步.问田为几何？答曰：一亩."其意思："现有一块田，宽十五步，长十六步.问这块田的面积是多少？答：

一亩.”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）

A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷

2.（2022秋•四川南充•高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）如图，将Rt.ABC绕点A按顺时针方向旋转一定

角度得到RL.ADE,点B的对应点。恰好落在3c边上，若AC=6,/8=60。，则CO的长为（）

C.也D.0.5

3.（2020•上海•高一开学考试）已知三角形的三边a、b、c满足〃-改=从-儿，判断三角形A8C的形状

()

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2020・上海•高一开学考试）下列说法中不正确的是（）

A.函数y=2x的图象经过原点

B.函数的图象位于第一、三象限

X

C.函数y=3x-1的图象不经过第二象限

D.函数y=-士的值随x的值的增大而增大

x

5.（2020•上海•高一开学考试）函数y=x-2的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.（2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考开学考试）二次函数丫=62+法+c的图象如图所示，则一次

函数y=6x+a与反比例函数、=丝比在同一坐标内的图象大致为（）

X

7.（2022秋•上海黄浦•高一上海市光明中学校考开学考试）如图，在矩形ABCO中，A3=10,BC=6,点、E是边

BC上一点，沿AE翻折AABE,点B恰好落在边上点F处，则CE的长是（）

8.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）函数y=。1到与y=x+。的图象恰有两个公共点，则

实数”的取值范围是（）

A.a>1B.—l<a<l

C.a>l^a<-\D.或a<-l

9.（2020秋•福建泉州・高一泉州五中校考开学考试）如图，已知矩形A8CD的四个顶点都在双曲线y=K（Z>0）

X

上，BC=2AB,且矩形ABC。的面积是32,则k的值是（）

A.6B.8C.10D.12

10.（2022秋•湖北武汉•高一华中师大一附中校考开学考试）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4

只，经过"次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则”的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

11.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数

的和不超过380元.那么一个人最多有（）元.

A.216B.218C.238D.236

二、填空题

12.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）若抛物线），=2/-夕氏+42+1中不管。取何值时都

通过定点，则定点坐标为.

13.（2022秋•湖南郴州•高一校考开学考试）如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直

径为1cm,按这种连接方式，50节链条总长度为cm.

14.（2022秋上海•高一开学考试）在和.A'fiV中，名=黑=枭=3,且A3+5C+C4=24cm,则

ABBCCA5

一AB'C的周长=cm.

15.（2022秋•上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）如图，矩形纸片ABC。，长AT>=9cm,宽4?=3cm,将其

折叠，使点。与点8重合，那么折叠后DE的长为

3

16.（2022秋•上海•高一开学考试）已知：点力3（1,。）在反比例函数y=-±的图像上，则ab

（用">""="、"<"填）.

17.（2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考开学考试）已知抛物线丫=奴2+公+0,经过点A（-l,5）、

8（7,5）、C（2,-6）,则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标为.

18.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）已知抛物线>=62+加+。的部分图象如图，则下列

说法：①对称轴是直线x=l;②当-l<x<3时，y<0；③方程以2+笈+C+5=0无实数根.其中正确的说法是

.（只填写序号）.

19.（2020秋•安徽蚌埠•高一蚌埠二中校考开学考试）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几

何知识作为定义和公理（公设），在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原

本》.它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑.在这本书中，欧儿里德

提出“三角形的内角和是18（）”这一定理，根据这一定理，我们可以得出"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角之和"的结论.进一步思考：多边形的一个外角和与它不相邻的内角之间又有怎样的关系呢？假设一个"边形的

某一个外角的度数是x",与它不相邻的所有内角的和是y,那么x与V的关系是.

20.（2022秋•安徽黄山•高一屯溪一中校考开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=经过点4作

ABLx轴于点B,将△AB。绕点B逆时针旋转60。得到△C8。，若点B的坐标为（2,0）,则点C的坐标为

2L（2。22秋・上海浦东新♦高-上海市实验学校校考开学考试）计算：同30-l|-2sin60+（cos60）°+—

22.（2021・湖北十堰•高一校考开学考试）观察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,，己

知按一定规律排列的一组数：.2",若2陋=〃?，用含机的代数式表示这组数的和是.

23.（2022秋•上海黄浦•高一上海市光明中学校考开学考试）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6

个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的

种数是—.

24.（2022秋•上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）一个三角形的边长分别为〃、6,另一个三角形的边长分

别为方、b、其中“>〃，若两个三角形的最小内角相等，/的值等于_____.

b

25.（2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考开学考试）若三角形A8C的面积为S,且三边长分别为

a、b、c,则三角形的内切圆的半径是;

26.（2022秋•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例

函数y=B（kwO）的图象交于8（々，力）两点，则,+%的值是.

27.（2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考开学考试）己知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数

2

>=一的图象在第一象限内的交点，点8在x轴的负半轴上，且。4=03（。为坐标原点），则AOB的面积为

X

28.（2022秋•江苏盐城•高一江苏省射阳中学校考开学考试）如图，在正方形A8CD中，E是A3上一点,

BE=2,AE=3BE,尸是AC上一动点，则P8+PE的最小值是

29.（2020秋•福建泉州•高一泉州五中校考开学考试）如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZDAB=60°,P是对角

线AC上一动点，E,尸分别是线段AB和8C上的动点，则EP+FP的最小值是

30.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）在平面直角坐标系xO），中，对于任意两点

6（4,凶）,巴（毛,％）的“破晓距离”,给出如下定义:若此―幻之（—为]，则点A与点鸟的“破晓距离"为打一引；若

|西一百<帆一力|，则点<与点一的"破晓距离"为|%-%].例如：点6（1，2）,点原3,5）,因为"3|<|2—5],所以点

《与点£的"破晓距离"为12-51=3,也就是线段PtQ与线段2。长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线片。与垂直

于x轴的直线2。的交点）.已知C（x,y）是直线>=上+3上的一个动点，点。的坐标是（0,1）,则当点C与点。的

4

"破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为.

31.（2021秋•上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、8C为边在

A8的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG,连接EG、8G、BE,当BC=1时，的面积记为豆；当3c=2时,

="时，aBEG的面积记为S“，则SQI-SZOZO的值为

32.（2022秋•上海•高一开学考试）如图，已知圆。的面积为3万，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角

的度数）为80。，弧的度数为20。，点P为直径A2上任一点，则PC+PD的最小值为

33.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）如图.在_45C中，ZACB=90,AC=BC,尸为三

角形内部一点，其PC=3,24=5,9=7.则“总的面积为

34.（2021秋•江苏无锡•高一无锡市市北高级中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，CA分别为x轴、丫

轴正半轴上的点，以O4、OC为边，在第一象限内作矩形OA8C,且S矩形叩c=4血.将矩形0ABe翻折，使点8与

原点重合，折痕为MN,点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y=［（kw0）,其图象恰好过MN

三、双空题

35.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高一哈师大附中校考开学考试）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会

沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两

种规格的图形，它们的面积之和E=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规

格的图形，它们的面积之和S?=180dm：以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为:如果

对折5次，那么SI+S?+S?+S4+S5=dm2.

36.（2019秋•福建厦门•高一厦门一中校考开学考试）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的

数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是,这2019个数的和是

四、解答题

37.（2022秋•湖南郴州•高一校考开学考试）为落实"双减"政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个

体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付）1元，去乙商店购买实付为元，其函数图象如图所

⑴分别求％，y2关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点A,求点A坐标；

⑶请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

41

38.（2020秋•福建泉州•高一泉州五中校考开学考试）如图，双曲线y=2与直线y=交于A8两点，点P（“,切

x4

4

在双曲线＞=—上，且0＜。＜4.

⑴设28交x轴于点E,若a=2,求点E的坐标;

（2）连接P4P8,得至U若4a="求43尸的面积.

39.（2020秋•重庆渝中•高一重庆复旦中学校考开学考试）如图，点尸、E、尸分别在正方形ABC。的对角线

AC、边AB、边BC的延长线上，直线EF，PD,垂足为点P,连接心、PD.

(1)若PD=2,求尸8的长;

(2)求证：EF=2PB.

40.（2022秋•安徽•高一合肥一中校联考开学考试）观察下列关于自然数的等式:

（1）1-3=代*1①

66

（2）2-9=2弋②

（3）3--=32X-（3）

8、

根据上述规律解决下列问题：

⑴写出第4个等式：=；

⑵写出你猜想的第"个等式（用含”的式子表示），并证明其正确性.

41.（2022秋・广东江门•高一校考开学考试）如图，抛物线（7：5=亦2+反+°（4=0）的对称轴为直线犬=-；,且抛

物线经过4-2,0）,8（0,2）两点，交x轴于另一点C.

⑴求抛物线的解析式；

（2）过点4作直线48的垂线交），轴于点力，平移直线4。交抛物线于点E,尸两点，连结E。，FO.若△EFO为以

EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式.

⑶设对称轴直线x=-g与x轴交于点尸为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q,点P关

于抛物线对称轴对称点从直线4Q交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定

值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围.

42.（2020秋•福建泉州•高一泉州五中校考开学考试）如图‘抛物线产］与'轴交于A'8两点（点、A在

点8的左侧），与y轴交于点C.直线/与抛物线交于A,。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为（4,-3）.

⑴请直接写出A,B两点的坐标及直线/的函数表达式；

（2）若点尸是抛物线上的点，点尸的横坐标为租（机20）,过点尸作轴，垂足为M.PM与直线/交于点N,

当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

⑶若点。是》轴上的点，且NA£>Q=45,求点。的坐标.

43.（2022秋,安徽黄山•高一屯溪一中校考开学考试）如图，在Rt.45c中，ZC=90,AC=4cm,BC=5cm,D

是8c边上一点，CZ）=3cm,点尸为边AC上一动点（点尸与4、C不重合），过点P作尸E//8C,交AO于点

E.点尸以lcm/s的速度从A到C匀速运动.

⑴设点尸的运动时间为r（s）,CE的长为y（cm）,求y关于f的函数关系式，并写出r的取值范围;

⑵当f为何值时，以PE为半径的。E与以。3为半径的。。外切？并求此时NOPE的正切值.

44.（2022秋・安徽黄山•高一屯溪一中校考开学考试）如图，直线y=-x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例

函数的图象交于点尸（2,1）.

⑴求该反比例函数的关系式；

⑵设PCJ_y轴于点C,点A关于>•轴的对称点为

①求二A'BC的周长和sin/54'C的值；

②对于常数m,当1<"?V2时，求x轴上的点M的坐标，使得sinNBMC='.

m

7

45.（2022秋•新疆和田，高一新疆维吾尔自治区和田地区第一中学校考开学考试）如图，对称轴为直线x=T的抛物

线经过点A（6,0）和B（0,-4）.

⑴求抛物线解析式及顶点坐标：

（2）设点E（x,y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边

形OE4尸的面积S与x之间的函数关系式；

⑶当（2）中的平行四边形OEA尸的面积为24时，请判断平行四边形。班尸是否为菱形.

46.（2020秋•安徽蚌埠•高一蚌埠二中校考开学考试）射影几何的奠基人之一，法国数学家庞斯莱（1788-1867）发

明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动.AF与A。等长，CD,DE,EF,FC等

长，并且8C<AD-DC,使用时，将A,8钉牢在平板上，并使A,8间的距离等于木棍8c的长，绕点8转动

C点，则点C在一个圆上运动，£点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”

等好玩的游戏.问题探究：爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩

具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具"，

在电脑上玩了起来，确实发现当点C在B上运动时，点E在一条直线上动，而且与AG垂直，垂足为//,怎么来

说明这个结论呢？小明百思不得其解时，聪明的考生请你帮帮小明.问题解决：

E

⑴求证：A,C,E在一条直线上;

(2)求证：点E在一定直线上运动.

47.(2020秋•重庆九龙坡•高一重庆市育才中学校考开学考试)如图1,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90，

AD1BC,E为A3的中点，连接OE.

(1)若CD=g，求的长度；

(2)若将图1中aACD绕点C顺时针旋转任意角度。(0<a<45)到.GCF,如图2所示，连接BG,E为BG上

的中点，连接AE、EF,请探究AE与EF的位置关系和数量关系，并证明.

48.(2022秋•湖南衡阳•高一衡阳市第六中学校考开学考试)正方形ABC。的边长为1,点M是对角线8。上一动

点.

图1

⑴如图1,过点M作垂足分别为点〃、G,

求证：HM=GM.

(2)如图2,点E是AB边上的点，连接EM、CM,/EMC=90,〒的值

EC

是否随点M的位置改变而改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由.

⑶如图3,求8W+2CW的最小值.

49.(2022秋•上海徐汇♦高一上海市南洋模范中学校考开学考试)如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于4(-1,

3

0),B(5,0)两点，直线y=-jx+3与)■轴交于点C,与无轴交于点。.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过

点P作Px轴于点凡交直线CD于点E.设点P的横坐标为近

⑴求抛物线的解析式；

⑵若PE=5EF,求，"的值.

50.（2022秋•上海黄浦•高一上海市光明中学校考开学考试）阅读下面的材料，然后解析问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做"倍三角形"为正实数）.

⑴请根据伙倍三角形"的定义填空（填"锐角"、"直角"或"钝角"）

①当A=1时，々倍三角形一定是_三角形；

②当人＜1时，2倍三角形一定是一三角形.

（2）探究：当无＞1时，已知RIAA8C为2倍三角形”，且他=2,BC=6，求所有满足条件的欠值.

⑶拓展：若RlAABC是7倍三角形"，且NC=90°,AB=c,AC=b,BC=a.当&=2时，求土女的值.

C

51.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）如图，已知平行四边形ABCQ,对角AC与8。交于

点O,以ARAB边分别为边长作正方形AOEF和正方形A8HG,连接FG

⑴求证：FG=2AO：

⑵若A8=6,A。=4,NBA。=60,请求出..AG/7的面积.

52.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）阅读理解：对于任意正实数ab,因为

（&-（血尸..0,所以a-2而+A.0,所以4+6..2＞/^,只有当a=b时，等号成立.结论：在a+b..2&ij均

为正实数）中，若而为定值则a+A.2）,只有当a=6时，a+b有最小值2）.根据上述内容，回答下列问

题:

(1)若加>0,只有当机=时，胆+,有最小值

m

(2)思考验证：如图1,AB为半圆。的直径，C为半圆上任意一点(与点不重合)，过点C作CDLAB,垂足

为r),AO=a,r>8=〃.试根据图形验证“+4.2，石，并指出等号成立时的条件.

17

⑶探索应用：如图2,已知4(-3,0),8(0,~9，2为双曲线丫="3>0)上的任意一点，过点P作轴，垂足为

轴，垂足为力.求四边形A8CD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状.

53.(2021秋•上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试)如图，点A(八4),巴-4,〃)在反比例函数y=[(Z>0)的

图象上，经过点A、8的直线与x轴相交于点C,与y轴相交于点。

(1)若加=2,求〃的值;

(2)求的值；

(3)连接。4、08,若tan/A8+tanNBOC=l,求直线A8的函数关系式.

54.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）一块三角形材料如图所示,

乙4=30,ZC=90,48=12用这块材料剪出一个矩形CDEF,其中，点E、尸分别在8GA氏AC.设4E的长为x,

矩形COEF的面积为S.

⑴写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

⑵当矩形COEF的面积为86时，求AE的长：

⑶当AE的长为多少时，矩形COE尸的面积最大？最大面积是多少？

55.（2022秋・贵州•高一校联考开学考试）抛物线乙:丫=/-2厩+。与直线。：了=区+2交于A、B两点，且

42,0）.

⑴求&和c的值（用含分的代数式表示，）；

⑵当b=0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C.

①求的面积；

②当时，则y的取值范围是.

⑶抛物线心）=/一2灰+。的顶点M（b,〃），求出〃与b的函数关系式；当匕为何值时，点〃达到最高.

⑷在抛物线Z,和直线“所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当人=-2（）时，直接写

出"美点"的个数；若这些美点平均分布在直线y=〃式的两侧，〃，的取值范围：.

7

56.（2022秋•江苏盐城•高一江苏省射阳中学校考开学考试）如图，抛物线y=』f-2x与x轴的负半轴交于点

m

A,对称轴经过顶点B与x轴交于点M.

⑴求抛物线的顶点8的坐标（用含根的代数式表示）；

（2）连结B。，若80的中点C的坐标为（-|，|）,求抛物线的解析式；

⑶在（2）的条件下，。在抛物线上，E在直线BM上，若以A、C、。、E为顶点的四边形是平行四边形，求点。

的坐标.

57.（2022秋•安徽黄山•高一屯溪一中校考开学考试）如图，抛物线卜=-r+6》交x轴正半轴于点A,顶点为

M,对称轴MB交x轴于点8.过点C（2,0）作射线CD交MB于点。（。在x轴上方），OEHCD交MB千点、E,EFUx

轴交CO于点F,作直线

⑴求点A,M的坐标；

(2)当8。为何值时，点F恰落在该抛物线上？

⑶当30=1时，

①求直线M尸的解析式，并判断点A是否落在该直线上;

②延长0E交于点G,取CF中点P,连接尸G,FPG,四边形OEGP,四边形O8E的面积分别记为耳，

"2：

邑，S3,则邑.

58.(2019秋•福建厦门•高一厦门一中校考开学考试)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德・欧拉

是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现

的一个定理：在AfiC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，。和/分别为其中外心和内心，则

Ol2=R2-2Rr.

如图1,.。和/分别是,A3C的外接圆和内切圆，/与A8相切分于点尸，设：。的半径为R,/的半径为

「，外心。（三角形三边垂直平分线的交点）与内心/（三角形三条角平分线的交点）之间的距离0/=d,则有

d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长加交，。于点。，过点/作O的直径MN,连接DM,AN.

ND=NN,ZDMI=ZNAI（同弧所对的圆周角相等）.

/.MDSANI.

,IM_ID

"1A~7N'

：.IAID=1MIN,①

如图2,在图1（隐去AN）的基础上作0的直径DE,

如图2,动手连接BE,BD,BI,IF.

DE是O的直径，所以"3E=90。.

/与AB相切于点F,所以乙4/7=90。，

:.NDBE=Z1FA.

ZBAD=NE（同弧所对的圆周角相等），

AIFs-EDB，

•，A//

"诟一而，

.-.IABD=DEIF（2）

⑴观察发现：IM=，IN=（用含R,d的代数式表示）;

⑵请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.

59.(2022秋•浙江金华•高一浙江金华第一中学校考开学考试)如图1,己知为半圆。的直径，45=2,线段

AI1AB,延长AB至点G,使BG=AB,以点B为圆心，线段AG为直径作半圆8,点。是半圆8上一点，过点

。作OF_L4于点F,连接AO,8。，其中AD交半圆。于点£连接EF.

⑴求证：AE=DE.

(2)设EF=x,OF=y,求>关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

⑶如图2,以BG为直径作半圆。',8。交半圆。或半圆。'于点J,连接FB交AO于点K,连接K/,当点K将线

段月3分为2:3两部分时，求与一R/K的面积之差.

60.(2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线

的抛物线片“+法+池皿与彳轴交于相两点，其中点A的坐标为(-4,0),与>'轴交于点C,-4石)，作直

(2)如图，点。是直线AC下方抛物线上的一个动点，连结口4、DC.当AZMC面积最大时，求点。的坐标;

(3)如图，在(2)的条件下，过点。作于OE1AC点E,交V轴于点尸，将ACEE绕点E旋转得到△CEF',在旋转

过程中，当点C'或点F落在y轴上（不与点C、F重合）时，将ACER沿射线OE平移得到在平移过程

中，平面内是否存在点G,使得四边形OF"GC"是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G的坐标；若不存

在，请说明理由.

上海市高一开学分班考真题60题专练02函数与几何

【考点剖析】

一、单选题

1.（2023春•河南•高一河南省淮阳中学校联考开学考试）《九章算术》中方田篇有如下问题："今有田广十五步，从

十六步.问田为几何？答曰：一亩."其意思：”现有一块田，宽十五步，长十六步.问这块田的面积是多少？答：

一亩.”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）

A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷

【答案】A

【分析】根据亩和顷的定义计算可得结果.

【详解】依题意可得该田有萼等=1200亩，

16x15

则该田有哥=12顷.

故选：A

2.（2022秋•四川南充•高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）如图，将Rt.ABC绕点A按顺时针方向旋转一定

角度得到Rt点B的对应点。恰好落在BC边上，若AC=石，ZB=60°,则CO的长为（）

A.1B.1.5C.0D.0.5

【答案】A

【分析】解直角三角形ABC,求得根据旋转后图形的几何特点，判断△AC。的形状，即可求得CD的长

度.

【详解】在直角三角形ABC中，48=60。，则/4CD=30。，又sin6（T=器，则8c=2,由勾股定理可得

AB=\IBC2-AC2=74^3=1；

又4）=43=1,故△A3D为等边三角形，则043=6（）。，故NC4Z）=30。，

则△AS为等腰三角形，故8=4）=1.

故选：A.

3.（2020•上海•高一开学考试）已知三角形ABC的三边a、b、c满足〃-改=从一儿，判断三角形ABC的形状

（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】对已知等式分解因式，根据三角形的三边关系，即可判断.

【详解】对原式分解因式，得：（a-b）（a+fa-c）=0,

因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c>0,

所以a=b,故三角形为等腰三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及三角形的三边关系以及因式分解.

4.（2020•上海•高一开学考试）下列说法中不正确的是（）

A.函数y=2x的图象经过原点

B.函数y=L的图象位于第一、三象限

X

C.函数y=3x-1的图象不经过第二象限

D.函数y=-±的值随x的值的增大而增大

x

【答案】D

【分析】利用一次函数和反比例函数的图像和性质分析即可

【详解】A、函数y=2x的图象经过原点，正确，不合题意；

8、函数y=’的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；

X

C、函数y=3x-l的图象不经过第二象限，正确，不合题意；

3

D、函数y=-'的值，在每个象限内，y随x的值的增大而增大，故错误，符合题意.

x

故选：D.

【点睛】此题考查初等函数（一次函数、反比例函数）的图像和性质，属于基础题.

5.（2020•上海•高一开学考试）函数y=x-2的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由一次项系数的正负判断首先过一三象限还是过二四象限，然后由常数的正负确定所过的第三个象限,

确定出图象不经过的象限.

【详解】一次函数y=x-2,

*=1>0,

二函数图象经过第一三象限，

。=-2<0,

•.・函数图象与y轴负半轴相交，

・.・函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数的图象，通过一次项系数和常数项的正负判断，最简单的方法是作出函数图象.

6.（2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考开学考试）二次函数>法+c的图象如图所示，则一次

函数y=bx+a与反比例函数丫=空打上在同一坐标内的图象大致为（）

X

【分析】根据二次函数图象可得力<0,a+匕+c<0,从而可判断出一次函数和反比例函数的图象.

【详解】解：•••二次函数图象开口方向向上，...GO,

•.•对称轴为直线4一二>0,

2a

：.h<09

当时，y=a+/?+c<0,

...y»x+“的图象经过第二四象限，且与j，轴的正半轴相交，反比例函数广叱"图象在第二、四象限，只有D选

X

项图象符合.

故选：D.

7.（2022秋•上海黄浦•高一上海市光明中学校考开学考试）如图，在矩形ABCO中，AB=10,BC=6,点E是边

8c上一点，沿AE翻折一ABE,点B恰好落在8边上点尸处，则CE的长是（）

【答案】B

【分析】在AAO厂中利用勾股定理求出E>F=8,则CF=10-OF=2,设CE=x,则所=6-x,在△€£产中利用

勾股定理解出x即可.

【详解】矩形A3CD中，AB=CD=\0,AD=BC=6,

由翻折的性质可得AF=AB=1（）,EF=BE,

在RtADF中。尸=RAF2-AD2=V102-62=8,所以CF=CD—QF=10—8=2,

设CE=x,则EF=3E=BC-CE=6—x,

Q

在RtACEF中EF。=CF2+CE2即（6-x）2=22+x2解得x=~.

故选：B.

8.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）函数》=。|幻与y=x+。的图象恰有两个公共点，则

实数”的取值范围是（）

A.a>1B.-1<a<l

C.或a4-lD.”>1或。<一1

【答案】D

【分析】y=4|x|的图象为过原点的折线，关于y轴对称，y=x+a的图象是直线，斜率为1,按。的正负分类作

出图象后，分析可得.

【详解】y=a|x|的图象为过原点的折线，关于y轴对称，

分两种情况讨论，①当〃>0时，尸烟的图象过第一、二象限，直线产x+a斜率为1,

当。>0时，直线y=x+。过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1,必有。>1；

②当。<0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2,必有

67<—1,

故选：D.

y

ya\x\

图1

图2

9.（2。2。秋・福建泉州•高一泉州五中校考开学考试）如图，已知矩形ABCZ）的四个顶点都在双曲线y=§Q。）

则上的值是（）

c.10D.12

【答案】A

【分析】先过点5作直线/JLx轴，作AE，/,CF11,易证△A3ESZXBW,得至lj8F=2AE；设A（a,勺,（a>0）,

a

由矩形和双曲线的对称性表示出点8、点C和AE、CF,列式整理得％=3〃，再根据两点间的距离公式用〃表示

出A8的长，利用矩形的面积可求得。的值，即可得出攵的值.

【详解】如图，过点B作直线无轴，分别过点A、C作直线/的垂线分别交直线/于点E、F,

则NAEB=NB/C=90。，

:.ZABE+NBAE=90。,

四边形ABC。是矩形，

/.ZABC=90°,则NA3E+NC3E=90。,

/BAE=/CBF,

ABEsBCF,

.AEBEAB

^F~~CF~~BCf

AR1

BC=2AB,则「；=一,

BC2

ApRF1

---=---=—，即BF=2AE,CF=2BE,

BFCF2

kk

矩形ABCD的四个顶点都在双曲线y=勺(k>0)上，设4(。二),3>0),

xa

k

由矩形和双曲线的对称性可得：3(一,〃)((-〃,-一)，

aa

kk

则AE=——a,BF=a+—,

aa

kk

「.〃+—=2(—a),整理得：k=3ci2,

aa

则A(a,3a),B(3a,a),

由两点间距离公式可得：AB=yl(a-3a)2+(3a-a)2=2y/2a,

「矩形ABC。的面积是32,

/.ABBC=2AB2=32,即2・(2缶产=32,解得：a=6.

k=3a2=6»

故选：A.

10.（2022秋・湖北武汉・高一华中师大一附中校考开学考试）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4

只，经过〃次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则"的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由条件可得杯口朝上的茶杯需经过奇数次翻转才可变为杯口朝下，根据所有杯子的翻转的次数和为4〃，

通过分析确定结果.

【详解】设6只杯子的编号依次为1,2,3,4,5,6,

设"次翻转后，杯子L2,3,4,5,6分别翻转《,出，/，4，%，4次，

由已知可得4+电++%+%+%=4〃，

因为〃次翻转后这6只杯子的杯口有全部朝上变为全部朝下，

所以4，。2，%，4，。5，。6均为奇数，且4，出，03，/，%，％都小于等于“，

当”=2时，显然无法满足条件；

当〃=2时，因为4吗，03，。4，。5，。6都小于等于2,。1,。2，6，。4，。5，。6均为奇数，故4，%，6，。5，%都为1，与

q+%+%+/+%+%=8矛盾，故”h2,

当〃=3时，取4=3,%=3,a}=3,a4=1,%=1,4=1满足条件，

对应的过程可以为：第一次翻转第1,2,3,4只杯子，第二次翻转1,2,3,5只杯子，第三次翻转第1,2,3,6只杯子，此

时6只杯子的杯口全部朝下，故〃的最小值为3,

故选：B.

11.（2022秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考开学考试）100人共