2024高考数学解题技巧-教师用书-2

2024高考数学解题技巧——教师用书-2

目录

1.集合与常用逻辑用语.........................................................1

2.复数与平面向量............................................................18

3.不等式及线性规划..........................................................39

4.函数的图象与性质..........................................................65

5.导数及其应用..............................................................86

6.导数的热点问题...........................................................111

1.集合与常用逻辑用语

「考情研析」1.集合多以给定的集合、不等式解集为载体，以集合语言和

符号语言为表现形式，考查集合的交、并、补运算，常利用韦恩(Venn)图或数轴

表示集合的关系及运算.2.常用逻辑用语部分多与其他知识结合，考查含有逻

辑联结词的命题的真假判断，及充分、必要条件.主要以选择题或填空题形式出

现，分值一般为5分.

核心知识回顾

1.集合的运算性质及重要结论

⑴AUA=[W1,/1U0=[O2]A.AUB=8UA；

⑵4门4=画4,AC0=画巴AQB=BnA-

⑶40([以)=画巴AU([M)=[^U；

⑷AC8=A0画心旦AUB=A㈡网8UA.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题

若原命题为“若P，则4"，则其逆命题是画若4,则“否命题是阿若

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㈱〃，则㈱4；逆否命题是画惹罐幺_则也.

(2)四种命题间的关系

3.命题0八八pVq、㈱p的真假判断

PqpAqpvq

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

4.充分条件与必要条件

(1)如果，今/则〃是q的画充分条件,4是〃的画必要条件.

(2)如果0=＞q,沪p,则〃是〃的画充要条件.

(3)充分条件与必要条件的三种判定方法

正、反方向推理，若。=4,则P是＜?的充分条件(或q是P的

定

必要条件)；若P=q,且q干P，则，是4的充分不必要条件(或＜7是

义法

P的必要不充分条件)

集利用集合间的包含关系.例如，若则A是8的充分条

合法件(8是A的必要条件)；若A=8,则A是8的充要条件

等

将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题

价法

热点考向探究

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考向1集合的概念及运算

例1(l)Q020•河北省衡水中学一模)设集合4={1,2,4},8={小2-以+〃?=

0).若403={1},则8=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

答案C

解析集合A={1,2,4},8={4?-4x+/”=0},ACB={1},.•.x=l是方程

『-4x+机=0的解，即1-4+m=0,.../??=3,={x*—4x+"z=0}={x*-

4X+3=0}={1,3}.

(2)(2020.湖南省顶级名校高三第七次大联考)已知全集U=Z,A={1,2,3,4},

B={x|(x+1)(x-3)>0,xCZ},贝ljAQ([u8)=()

A.{1,2}B.{2,3}

C.{1,2,3}D.[1,2,3,4)

答案C

解析由于{x[(x+l)(x—3)W0,xWZ}={x|-1WXW3,x€Z}={-

1,0,1,2,3},则An([u3)={l,2,3},故选C.

(3)已知集合M=3y=b|-x},N={My=ln(/—x)},则MCN=()

A.RB.{#r>l}

C.{A|A<0}D.或X<0}

答案B

解析-：M={y|y=W-JC}={y\y^0},N={x|y=ln(x2-》)}={x|P-x>0}=

{x|x>l或尤<0},.,.MnN={4r>l},故选B.

(4)(2020.湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)已知集合A={A-IA-2-

2xW0},5={x|l<3x<81},C={x\x=2n,H€N},则(4UB)CC=()

A.{0,2,4}B.{2,4}

C.{0,2}D.{2}

答案C

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解析由f—2xW0,得0WxW2,，A={x|0WxW2}.由1<3y81,得0a<4,

：.B=[x\Q<x<4},：.AUB={x\Q^x<4],XC={x\x=2n,n€N},.\(AUB)nC

={0,2}.

方法指导

正确理解集合中元素的含义，确定集合的元素，理清运算顺序，尤其是含有

补集的混合运算，应先求补集，有些集合是可以化简的，应先化简再研究其关系

并进行运算.

■对点精练

1.设集合A={x*+3x—4W0},B={x|log3xW0},则ACB=()

A.[-4,1]B.[-4,3]

C.(0,1]D.(0,3]

答案C

解析由题意得人=[-4,1],8=(0』],所以AnB=(0,l].故选C.

2.(2020・山东省烟台市高三适应性训练汜知集合加={旌凶后6},4={-

2,-1,0,1,2},B={y\y=x1,x£A},贝北/3=()

A.{2,5,6}B.{2,3,6}

C.{2,3,5,6}D.{0,2,3,5,6}

答案c

解析根据题意，B=(y\y=x2,x€A}={0,1,4},所以={2,3,5,6}.

3.已知集合A^xlF—Zx+lX)},B=f+则AC8=()

A.+°°JB.(1,+8)

C.I，1)D.I，1)U(1,+8)

答案D

解析,/A={XIA2-2X+l>0}=1},B==x2+|'r=,：,AOB

=乃田23且1)U(1,+8).故选D.

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考向2命题及逻辑联结词

例2(1)(2020•山东师范大学附中月考)已知命题p：a3xo€R,e'o-xo-

1W0”，则命题㈱〃为()

A.Vx€R,e1-x-1>0B.Vx$R,ev-x-1>0

C.Vx€R,e'-x-1^0D.3xo€R,e'o-xo-l>0

答案A

解析.••特称命题的否定是全称命题，并且改量词，否结论，二命题P："3

xo€R,e'o-xo—1W0”的否定为“Vx€R,e'-x-l>0"，故选A.

(2)(2020•陕西西安中学3月线上考试)已知命题p：若。>步|,贝命题

q:〃是直线，a为平面，若能//a,〃Ua,则机//〃.下列命题为真命题的是

()

A.p/\qB.pA(㈱/

C.(㈱p)AqD.(㈱p)A(㈱/

答案B

解析对于命题P，由。>以20,可得到标>从，故命题〃为真命题；对于命

题以由直线机//a,〃u*可得直线加，〃可能为异面直线，也可能为平行直

线，故命题q为假命题，所以㈱4为真命题，利用真值表可知"A(㈱4)为真命

题，故选B.

方法指导

⑴看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性.

(2)看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命

题的否定，要改变的两个地方.

(3)看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义.

(4)已知含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围的步骤：

①求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围；

②根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性；

③根据命题P，4的真假情况，利用集合的交集、并集和补集的运算求解参

数的取值范围.

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r对点精练

1.若命题P：mxoWR,使得x8+axo+lWO为真命题，则实数。的取值范

围是（）

A.[2,+°°）B.（-00,-2]

C.[-2,2]D.（-oo,-2]U[2,+8）

答案D

解析解法一：（间接法）因为命题P：三迎6R,使得看+ow+1W0为真命

题，所以㈱0：Vx€R,^+ax+1>0为假命题，而“VJCWR,/+仪+1>0”的

充要条件为层-4<0,即-2<”2,所以要使，为真命题，只需aW-2或

故选D.

解法二：（直接法）令7W=x2+tu+1,由于mxoCR,使得向+OW+1W0为

真命题，故只需i=/一420,解得aW-2或。22,故选D.

2.（2020.湖南长沙明德中学3月月考）下列说法正确的是（）

TT1TTI

A.“若0£=不则sina=「"的否命题是“若a=不则sina#/"

B.若命题p,㈱q均为真命题，则命题pAq为真命题

C.命题p：u3xo€R,x^i-xo-5>0w的否定为㈱p：“VxWR,x2-x-

5WO”

TT

D.在△ABC中，“C=5”是“sinA=cosB”的充要条件

答案C

TT1TT!

解析“若。=不则sina=y'的否命题是“若a%,则sinf,所以

A不正确；若命题p,㈱q均为真命题，则q是假命题，所以命题〃A<7为假命

题，所以B不正确；命题p:"mxo£R,需-&-5〉0”的否定为㈱p：

R,f—x—5W0”，所以C正确；在△ABC中，。=尹4+3=*4=]—30

sin/l=cosB,反之，sinA=cosB^A+B=A=^+B,贝Ijc/不一定成立，所

7T

以“C=2”是“siiM=cosB”的充分不必要条件，所以D不正确.故选C.

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考向3充要条件的判断

例3(1)(2020.山东省聊城市高三联考)已知两个平面a,夕，直线/U%则

“///尸”是％//夕”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由lua”一定得到“///4”，即必要性成立；反之，根据平

面与平面平行的判定定理，可知由“///夕，lUa”不一定得到“a///?”，即充

分性不成立.所以“III。”是“a11/3”的必要不充分条件.

(2)“a=0”是“函数式x)=sinx-；+a为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析危)的定义域为{小W0},关于原点对称，当a=0时，,/W=siiuT，

八一x)=sin(-幻一々=一siiu+；=-(siar-一«r),故兀¥)为奇函数；反之，

当式x)=sin%--+a为奇函数时，式-x)+外)=0,又.穴-x)+,*x)=sin(-x)--

人-X

+asinx-~+a=2a,故a=0,所以"a=0"是“函数/(x)=siax-,+Q为奇函

数”的充要条件.故选C.

(3)已知条件p：|x-4|W6;条件夕：(*--机2・0(机＞0).若〃是夕的充分

不必要条件，则机的取值范围是()

A.[21,+8)B.[19,+8)

C.[9,+8)D.(0,+8)

答案C

解析由题意，得P：-24W10,夕：1-.由〃是q的充分不

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］一—2

必要条件，得T』5「加，1+叫所以］+*］。’且等号不可以同时

取得，所以加29,故选C.

方法指导

(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件和结论；第二步，判断“ng及

q0P的真假；第三步，下结论.

(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题，一般地，这

类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真

假.

(3)集合法：写出集合A=｛x|p(x)｝及8=｛x0(x)｝,利用集合之间的包含关系

加以判断.

■对点精练

1.设等比数列仅〃｝的公比为凡则是“｛&｝是递减数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

nn］

解析an+\-an=a\q-a\q~=a\(f^\q-1),而ai的正负性未定，故无法

判断数列｛。〃｝的单调性，因此"0<4<1”是“｛0”｝是递减数列”的既不充分也不必

要条件.

2.(2020•辽宁省沈阳市三模)设函数加)=cos2x+bsinx,则“=0”是"於)

的最小正周期为兀”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

-、1+cos2x

解析当〃=0时，函数於)=cos2x+Asinx=cos2x=，所以函数的

2兀_1+cos2x

最小正周期为受=兀，7U)=cos2x+bsiru=----2-----+bsinx,当。W0时，函数的

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最小正周期为无和2兀的最小公倍数，即为2兀，当函数的最小正周期为兀时，可

得6=0,故函数/U）=cos2%+加inx,则»=0"是"段）的最小正周期为兀”的

充要条件.故选C.

3.（2020.河南六市第二次联合调研）南北朝时期的伟大科学家祖晅在数学上

有突出贡献，他在实践的基础上提出祖唯原理：“黑势既同，则积不容异”，其

含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意

平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为％,V2,被平行

于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S,S2,则“S,S2不总相

等”是“4,以不相等”的（）

/脸a/

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析如果“S,S2不总相等”，那么“0,丫2不相等”的等价命题是：如

果“斗，上相等”，那么“Si,S2总相等"，根据祖唯原理，当两个截面的面积

51,S2总相等时，这两个几何体的体积0,%相等，所以逆命题为真，则是必

要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平行平面之间时，此时体积相等，

但截得截面面积未必相等，故不是充分条件，所以“Si,S2不总相等”是“0,

L不相等”的必要不充分条件.故选B.

真题收押题

『真题检验』

1.（2020・新高考卷I）设集合A={x|l«3},5={x[2<x<4},则AU5=（）

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A.{川2<七3}B.{x|2«}

C.{x|K<4}D.{x|l<x<4}

答案c

解析AU8=[1,3]U(2,4)=[1,4),故选C.

2.(2020・全国卷11)已知集合(7="2,-1,0,1,2,3},4={-1,0/},8={1,2},

则[u(AUB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,0,3)D.{-2,-1,0,2,3)

答案A

解析由题意可得AUB={—1,0,1,2},贝比u(AU8)={-2,3}.故选A.

3.(2020•全国卷川)已知集合4={(”,y)\x,y€N*,y^x},B=[(x,y)\x+y

=8},则ACB中元素的个数为（）

A.2B.3

C.4D.6

答案C

y^x,

解析由题意，ACB中的元素满足且尤，y6N*,由x+y=

j+y=8,

822x,得为4,所以AA5中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个.故选

C.

4.(2020・全国卷I)设集合Au&lf-dWO},8={x|2x+aW0},且ACB=

3-2«},贝lja=()

A.-4B.-2

C.2D.4

答案B

解析,.,A={x*—4W0}={x|—2WxW2},B={x|2x+aWO}

AQB={x\-2^x^l],■1--f=l,解得。=-2.故选B.

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5.（2020.天津高考）设aWR,则是“储〉的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析求解二次不等式标>凡可得。>1或据此可知，“a>l”是

“/>/'的充分不必要条件.故选A.

6.（202。全国卷II）设有下列四个命题：

p\两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

“4：若直线/U平面叫直线加1平面a,贝

则下述命题中所有真命题的序号是_______.

①piA“4,（2）/21A/?2,③幺弟p2Vp3,④幺弟p3V㈱P4.

答案①③④

解析对于命题Pl,可设与/2相交，这两条直线确定的平面为a,设/3与

/I,/2的交点分别为A,8（如图），贝IjAWa,BWa,所以ABUa,即AUa,命题

pi为真命题；

对于命题P2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题P2为假命

题；

对于命题P3,空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题P3为

假命题；

对于命题P4,若直线机1平面%则〃?垂直于平面a内所有直线，因为/U

平面a,所以〃?！/,命题P4为真命题.

综上可知，pi/\p4为真命题，pi八户为假命题，

㈱p2Vp3为真命题，㈱p3V㈱P4为真命题.

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『金版押题』

k(x+2),xWO,

7.已知函数加)="，则Z<1”是"段)单调递增”的()

(2x+k,x>0.n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

解析若以)单调递增，则心>0且网0+2)W20+3解得。<代1,因为“k<l”

与“04W1”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.

8.已知函数/U)=e\g(x)=x+1.则关于_/U),g(x)的语句为假命题的是()

A.Vx€R,於)〉g(x)

B.3x1,x?€R,/(xi)<g(x2)

C.3xo6R,7(xo)=g(xo)

D.mxoWR,使得VxWR,犬xo)-g(xo)W«x)-g(x)

答案A

解析依题意，记F(x)=於)-g(x),则尸(尤)=.[(x)-g'(x)=1.当x<0

时，F'«<0,Rx)在(-8,0)上单调递减；当x>0时，F(x)>0,尸(x)在(0,+

8)上单调递增，Fa)=/U)-g(x)有最小值&0)=0,即«r)2g(x),当且仅当％=

0时取等号，因此A是假命题，D是真命题；注意到/(())=l<g(l)=2,因此B是

真命题；注意到的)=1=观0),因此C是真命题.综上所述，选A.

专题作业

一、选择题

1.(2020•全国卷II)已知集合A={x||x|<3,x€Z},8={x[R>l,x€Z},则

AAB=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

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答案D

解析因为A={刈卫<3,x€Z}={-2,-1,0,1,2},B={x\\x\>\,x£Z}=

{x|x>l或xv—l,xWZ},所以AnB=[2,-2}.故选D.

2.命题“存在实数xo,使lnxo<x8-1”的否定是()

A.对任意的实数x,都有lnx<x2_i

B.对任意的实数x,都有lnx2f-l

C.不存在实数次,使lnxo21

D.存在实数xo,使lnx()2看-1

答案B

解析存在量词命题的否定是全称量词命题，将存在量词改为全称量词后

还要对结论否定，故选B.

3.已知集合4={2a,3}和8={a,b},若AC8={2},贝ljAUB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

答案C

解析由A={2a,3}及AA8={2},得2a=2,解得。=1；由8={1,切及

4nB={2},得b=2,所以AUB={1,2,3},故选C.

4.已知集合A={卫/-3x+2=0,x€R},B={x|0<x<5,x€N},贝满足

条件的集合C的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析因为A={1,2},B={1,2,3,4},AGCCfi,则集合C可以为{1,2},

(1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4),共4个.

5.已知全集。=11,集合4={1卜=1082(-r+2%)},B={y\y=1+^},那

么AA([M)=()

A.{x[0<x<l}B.{X|A<0}

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C.{x\x>2}D.{x|l<x<2}

答案A

解析由-f+2x>0得0<x<2,所以集合A={邓）<x<2},因为集合8为函

数y=l+"的值域，所以B={x|x21},贝{小<1},所以An（[uB）=

{^|0<Y<1},故选A.

6.（2020.广东华附、省实、深中、广雅四校联考）原命题为“若zi,Z2互为

共辗复数，则|Z1|=|Z2|"，其逆命题，否命题，逆否命题的真假性依次为（）

A.真，假，真B.真，真，假

C.假，假，真D.假，假，假

答案C

解析原命题：“若Zl,Z2互为共辆复数，则回|=0|"是真命题，因此其

逆否命题为真命题，而其逆命题：“若|zi|=[Z2|,则ZI与Z2互为共柜复数”不是

真命题，如Zi=2+i,Z2=l-2i,尽管|Z1|=|Z2|=小，但Z1与Z2不互为共拆复数，

因此逆命题为假命题，从而原命题的否命题也为假命题，故选C.

7.对于直线相，〃和平面a,B，"2_La成立的一个充分条件是（）

A.777±n,nIIaB.m///?,J_a

C.m邛，n邛,n]_aD.mX_n,夕J_a

答案C

解析对于c,因为加14，〃1色所以m"〃,又〃la,所以〃zla,故选

C.

8.已知集合4={。。）斤+产或3,%€2~£2},则4中元素的个数为（）

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析由f+y2W3知，一小WxW仍，一小WyW下.又xWZ,yWZ,

所以X€{-1Q1},y€{-1,01},所以A中元素的个数为C3C3=9,故选A.

9.（多选）（2020.衡阳一中模拟）下列命题中，真命题是（)

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A.Vx€R,ev>0

B.Bx€

c.。+匕=0的充要条件是£=一1

D.%>1,b>l”是“">1”的充分条件

答案ABD

解析因为y=e、>0,x€R恒成立，所以A正确；因为当x=-5时，2-

5<(-5)2,所以B正确；“*=-1”是“。+人=0”的充分不必要条件，C不正

确；当。>1,。>1时，显然必>1,D正确.故选ABD.

10.(2020・吉林长春质量监测二)命题p：存在实数次，对任意实数》,使得

Q+X

sin(x+尤o)=-sint恒成立；q:Vtz>0,f(x)=\n-—；为奇函数，则下列命题是

U-A

真命题的是()

A.p/\qB.(㈱p)V(㈱/

C.pA(㈱q)D.避明f\q

答案A

解析对于命题P，由于sin(x+7i)=-sinx,所以命题〃为真命题.对于命

a+xa-x(a+x\,

题q,由于a>0,由>0,解得-。4<凡且x)=ln—■—=In；-=-

CI'-XCl-rXI。-X)

In-Ax),所以./W是奇函数，故g为真命题・所以”/\q为真命题，(㈱

CI-X

P)V(^q),pA(㈱办(㈱p)Aq都是假命题.故选A.

11.(2020•北京市门头沟区高三3月综合练习)向量0,♦满足⑷=。=1,且

7T

其夹角为仇则“手一例=1”是“。=丁的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由M—m=1得|。-b\2=l,得⑷2+步F—2ab=1,即1+1—2ab=1,

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1

得2a力=1,即。仍=1],贝Icose=j(L^hj=n^2Y=21，即。=]成立.反之，当。=]

时，“功=g,贝"|a—勿2=闻2+步|2-2。仍=1+1-2*；=1+1—1=1,即|a—例=1

成立.

7T

综上，"=1”是“，=1'的充分必要条件，故选C.

12.已知S”是等差数列｛a〃｝的前n项和，贝「5<〃a”对心2恒成立”是

“数列｛。，｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

〃(〃-1)

解析Sn<nan对〃22恒成立，.'.na\+2'd<n[a\+(»-1)</],化为〃(〃

-l)J>0,••.4>0.二数列｛呢｝为递增数列，反之也成立.二"S<〃a”对〃22恒

成立”是“数列｛⑧｝为递增数列”的充分必要条件.故选C.

二、填空题

13.(2020•“皖江名校”高三联考)已知命题p：Vx€(0,目，x-sinxNO,

则㈱p为.

答案三》6(0,W)，x-sinx<0

解析根据全称量词命题否定的特点，可知㈱p为mx€(O,Sx-sinx<0.

14.已知於)是R上的奇函数，则”xi+X2=0"是“/»)+♦功=0”的

条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充

分也不必要”)

答案充分不必要

解析,函数«x)是奇函数，二若Xl+X2=0,则Xl=-X2,则兀V1)=_A-X2)

=-/(X2),即加1)+/2)=0成立，即充分性成立；若/U)=0,满足/W是奇函

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数，当X1=X2=2时，满足人尤1)=/(X2)=0,此时满足y(Xl)+7(X2)=0,但Xl+X2=

4W0,即必要性不成立.故“用+股=0”是饮n)+兀⑵=0”的充分不必要条件.

15.设集合A={0,-4},B={x\jr+2(a+l)x+a2-1=0,xWR}.若AC8

=B,则实数a的取值范围是_______.

答案(一8,-1]U{1}

解析因为AC8=B,所以因为A={0,-4},

所以8包A分以下三种情况：

①当3=A时，B={0,-4},由此可知，0和—4是方程/+2(a+l)x+/

-1=0的两个根，由根与系数的关系，

p=4(«+l)2-4(a2-1)>0,

得《-2(。+1)=-4,解得。=1；

、层_1=0,

②当8W。且8A时，8={0}或8={-4},并且/=4(a+-4(/-1)=

0,解得。=-1,此时B={0}满足题意；

③当8=0时，J=4(a+1)2-4(«2-1)<0,解得a<—l.

综上所述，所求实数。的取值范围是(-8,-1]U{1}.

16.设全集U={123,4,5,6},且U的子集可表示由0』组成的6位字符串，

如：[2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为

0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.

(1)若加={2,3,6},则[uM表示的6位字符串为；

(2)已知A={1,3},BNU,若集合AUB表示的字符串为101001,则满足条

件的集合B的个数是_______.

答案(1)100110(2)4

解析(1)由已知得，CuM={1,4,5},则CuM表示的6位字符串为100110.

(2)由题意可知AU8={1,3,6},而A={1,3},3=U,贝1J8可能为{6},{1,6},

{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合8的个数是4.

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2.复数与平面向量

「考情研析」1.复数是高考必考内容,主要考查复数的概念与四则运算.多

为选择题、填空题，难度为中低档.

2.高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的基本定理及

基本运算，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难

度为中低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；

③向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式等知识结合考查.

核心知识回顾

1.复数

(1)复数的有关概念

虚数:场］辰0日纯虚数:国"=0./*0I

z^=a+b\

模:3=跑返亚

⑵运算法则

加减法：(a+历)±(c+di)=(〃士c)+(b土d)i.

乘法：(Q+Z?i)(c+泊)=I。71(4。-bd)+(ad+、c)i.

人、Q+bi(a+bi)(c-di)।——।+bd)+(be-〃，/)i

除法：—d+&—=幽-

2.平面向量的数量积

⑴若。，分为非零向量，夹角为氏则4力=回⑷依-COS。.

(2)设a=(xi,yi),b=(X2,yi),则a-b=位］xix2+yiy2.

3.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(xi,yi),b=(%2,”)，贝

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⑴a//(0画a=W>WO)台画%iy2一七yi=Q

⑵aJ_03|a7>=0t>|04|xix2+yiV2=0.

4.利用数量积求长度

(1)若a=(x,y),则闻=回~|\/^=画'/f+M

⑵若A(XI,>'l),5(X2,J2),则|丽=

-X1)2+(V2-VI)2.

5.利用数量积求夹角

若a=(xi,yi),b=(X2,»),。为a与8的夹角，

则cos。=画瑞=画、谈

6.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为AABC所在平面上一点，角A,B,。所对的边分别为a,h,c,则

(1)0为aABC的外心台画画三函三J函三云徐.

⑵。为△ABC的重心台南改+浜+走=0.

⑶。为△A3C的重心、台厨秋•第三曲・灵京灵•,.

(4)0为4ABC的内心台画“豆+1麻+c旄=0.

热点考向探究

考向1复数的概念及运算

例1(1)(2020.山东省淄博市高三一模)复数(a-i).(2-i)的实部与虚部相等,

其中i为虚数单位，则实数。=()

A.3B.-g

C.—2D.—1

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答案B

解析因为(a-i)(2-i)=2a-l-(a+2)i,若此复数的实部与虚部相等，则

2a—1=—(6?+2),解得a=-

a+2i

(2)(2020.辽宁省渤大附中、育明高中五模)若复数yySWR)为纯虚数，则

|3-出|二()

A.gB.13

C.10D.V10

答案A

a+21(a+2i)(l-i)a+22-aa+2i

解析由复数的运算法则，有777(i+i)(i-i)=F+，复数i+i

a+2=0,----------

(〃WR)为纯虚数，则2一e0,即。=-2,13-.1=后心仃.故选A.

71

⑶已知复数zi,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若Zl=l-2i,则1

=()

34.B3+4

A.B-+

551-551

34.D.|+1i

C.

答案D

解析由题意可得，zi=l-2i,Z2=-1-2i,

1-2i(1-2i)(-1+2i)34

则菅-1-2i=(-1-2i)(-1+2i)=5+m・故选D-

(4)若复数z满足2z-5=3+12i,其中i为虚数单位，5是z的共柜复数,

则复数|z|=()

A.3小B.2小

C.4D.5

答案D

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解析设复数z=a+历，a,6R/.02z-z=3+12i,

2。一a=3,

・・.2（〃+历）一（〃一6）=3+12）即J

[2b+b=12,

解得。=3,b=4,「.z=3+4i,.\\z\=^32+42=D.

方法指导

(1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，即分子、分母

、1+i1-i

同乘分母的共也复数.对一些常见的运算，如(1土i)2=±2i,—=i,T—=-i等

1—11+1

要熟记.

(2)与复数z的模团和共柜复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形

式2=。+砥凡人CR),再代入条件，用待定系数法解决.

■对点精练

2

1.若复数z=7u，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.z的虚部为—iB.|z|=2

C.z2为纯虚数D.z的共柜复数为-l-i

答案c

22(1-i)

解析由题意得2=丁%=/一.由z=l-i得复数z的虚部为

-1,所以A不正确.3=|1-0=6，所以B不正确.由于z2=(l-i)2=-2i,

所以z2为纯虚数，所以C正确.z=l-i的共柜复数为5=l+i,所以D不正

确.故选C.

1+Z

2.设复数z满足一=i,则|z|=()

A.1B.也

C.小D.2

答案A

i-1(i-I)2

解析由题意知1+Z=i-zi,所以z==n=i,所以|z|=i,故

1-r1(1十］八1-i)

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选A.

3.在复平面上，设点O,A,B对应的复数分别为0,-l+2i,-2-i,若

过点。，A,8作平行四边形0AC3,则点。对应的复数是()

A.-4+2iB.1-2i

C.-3-iD.-3+i

答案D

解析由题意，得次=(-1,2),於=(-2,-1),则应=/+防=(-3,1),

即。(-3,1),对应复数为-3+i,故选D.

考向2平面向量的概念及运算

例2(1)(2020.黑龙江省哈尔滨模拟)向量a,b,c在正方形网格中的位置如

图所示.若向量助+)与c共线，则实数2=()

A.-2B.-1

C.1D.2

答案D

解析根据图形可看出2a+5=c,满足2a+8