2023-2024学年辽宁省朝阳市高一下学期3月份考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省朝阳市2023-2024学年高一下学期3月份考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以.故选：2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为与角终边相同的角是，，当时，这个角为，只有选项D满足，其他选项不满足.故选：D.3.已知向量，，且，则实数（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故选：B.4.已知，正整数能被整除，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题知命题表示正整数a能被2整除，而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出，而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出，故是的必要不充分条件．故选：B．5.在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设角a与β的终边分别与单位圆交于点、，因为它们的终边关于y轴对称，所以且，因为，所以，所以．故选：A.6.袋中共有5个除了颜色外完全相同球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、，则从袋中任取两球，有、、、、、、、、、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能，所以一白一黑的概率．故选：D.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，，所以，故C项正确.故选：C.8.函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，则，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A.有向线段就是向量 B.所有单位向量的模都相等C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量〖答案〗BD〖解析〗向量可以用有向线段表示，有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量，故A错误；单位向量是长度为1的向量，故B正确；零向量有方向，其方向是任意，故C错误；由平行向量定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确．故选：BD.10.下列转化结果正确的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是〖答案〗AD〖解析〗因为，所以选项A正确；因为，所以选项B不正确；因，所以选项C不正确；因为，所以选项D正确.故选：AD．11.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，且幂函数在上是减函数，故A正确；B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，且，则其在上单调递减，故B正确；C选项中，设，其定义域为，则，故是偶函数，且函数在上单调递减，函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减，故C正确；D选项中，设，是，且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.故选：ABC.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.在上单调递增D.不等式的解集为〖答案〗BD〖解析〗，故A错误；当时，，所以，故B正确；因为，，又，故C错误；当时，，解得；当时，，无解；当时，，所以不等式的解集为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数且过定点________．〖答案〗〖解析〗令，可得，，因此，函数的图象过定点.故〖答案〗：.14.桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，扇形的圆心角为，半径为，所以，该花园的护栏的总长度为.故〖答案〗为：.15.已知事件A，B相互独立，且，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，可得，又因为事件A，B相互独立，所以．故〖答案〗为：.16.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______．〖答案〗2〖解析〗如图所示延长AD，BE交于点P，∵，，E为CD中点，，又P，B，F三点共线，则，∴．故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）.（2）.18.（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.解：（1）∵，且，∴，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为.（2）∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴的最大值.19.已知函数是幂函数，且．（1）求实数m的值；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，，此时，，显然不符合题意：当时，，此时，，满足，符合题意，综上，.（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，由，得，解得，即实数a的取值范围为.20.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率100.2024nmp20.04合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）解：（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以，所以，解得，所以，.（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为.（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是，因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足：，解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，由，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3.21.已知函数（且）.（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；（2）解关于x的不等式.解：（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，解得或.（2）因为函数是上的减函数，所以，即，当时，，原不等式解集为；当时，，原不等式解集为.22.设，已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）若，判断并证明函数的单调性；（3）在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.解：（1）由函数为奇函数，有，有，有，有，有，得，①当时，，定义域为，，符合题意；②当时，，定义域为，，符合题意，由上知或1.（2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增，设上任意两个实数，，且，，而，，，∴，即得证，则在上单调递增.（3）由知，由知，所以，由（2）知在上单调递增，结合题意有得，即m，n是的两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，有可得，故实数的取值范围为.辽宁省朝阳市2023-2024学年高一下学期3月份考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以.故选：2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为与角终边相同的角是，，当时，这个角为，只有选项D满足，其他选项不满足.故选：D.3.已知向量，，且，则实数（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故选：B.4.已知，正整数能被整除，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题知命题表示正整数a能被2整除，而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出，而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出，故是的必要不充分条件．故选：B．5.在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设角a与β的终边分别与单位圆交于点、，因为它们的终边关于y轴对称，所以且，因为，所以，所以．故选：A.6.袋中共有5个除了颜色外完全相同球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、，则从袋中任取两球，有、、、、、、、、、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能，所以一白一黑的概率．故选：D.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，，所以，故C项正确.故选：C.8.函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，则，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A.有向线段就是向量 B.所有单位向量的模都相等C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量〖答案〗BD〖解析〗向量可以用有向线段表示，有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量，故A错误；单位向量是长度为1的向量，故B正确；零向量有方向，其方向是任意，故C错误；由平行向量定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确．故选：BD.10.下列转化结果正确的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是〖答案〗AD〖解析〗因为，所以选项A正确；因为，所以选项B不正确；因，所以选项C不正确；因为，所以选项D正确.故选：AD．11.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，且幂函数在上是减函数，故A正确；B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，且，则其在上单调递减，故B正确；C选项中，设，其定义域为，则，故是偶函数，且函数在上单调递减，函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减，故C正确；D选项中，设，是，且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.故选：ABC.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.在上单调递增D.不等式的解集为〖答案〗BD〖解析〗，故A错误；当时，，所以，故B正确；因为，，又，故C错误；当时，，解得；当时，，无解；当时，，所以不等式的解集为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数且过定点________．〖答案〗〖解析〗令，可得，，因此，函数的图象过定点.故〖答案〗：.14.桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，扇形的圆心角为，半径为，所以，该花园的护栏的总长度为.故〖答案〗为：.15.已知事件A，B相互独立，且，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，可得，又因为事件A，B相互独立，所以．故〖答案〗为：.16.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______．〖答案〗2〖解析〗如图所示延长AD，BE交于点P，∵，，E为CD中点，，又P，B，F三点共线，则，∴．故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）.（2）.18.（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.解：（1）∵，且，∴，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为.（2）∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴的最大值.19.已知函数是幂函数，且．（1）求实数m的值；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，，此时，，显然不符合题意：当时，，此时，，满足，符合题意，综上，.（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，由，得，解得，即实数a的取值范围为.20.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率100.2024nmp20.04合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次