2023-2024学年山西省忻州市高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山西省忻州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，故该数列的一个通项公式可以为，故选：D2已知直线，直线.若，则（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即，得或.当时，，，符合题意；当时，，，，重合.故.故选：A.3.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，当时，，可得，当时，，因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D.4.若数列满足，，则（）A. B.11 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为.所以数列周期为3的数列.所以，，所以，故.故选：D5.函数的极大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，当时，，当时，.所以的极大值为.故选：B.6.过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A.7.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为平面，都在面内，所以，又，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则所以取，得．设直线与平面所成的角为，所以．故选：B8.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，即.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.〖答案〗ACD〖解析〗设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确故选：ACD10.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.有2个极大值点D.只有1个极小值点〖答案〗ABD〖解析〗由图可知，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，A，B均正确.当时，，当时，，当时，，所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确.故选：ABD.11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．12.已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法正确的是（）A.当时，B.在上单调递减C.的取值范围是D.的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗由指数函数的图象和性质可知当时，，当时，，A正确；因，令解得，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，B正确；又当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，当时，，故可作的草图如图，令，则，即方程的两根为，若是方程的根，则，显然不符合题意，因为方程有3个不等实数根，所以或，当时，解得，所以，即异号，不满足题意；当时，即有解得，即的取值范围为，C错误，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.物体位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.14.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_______．〖答案〗〖解析〗设双曲线与直线交于两点，由消去整理得，则，解得，且，所以．由，解得，所以．故〖答案〗为：15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．〖答案〗1〖解析〗由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，易知圆心与的距离为，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．故〖答案〗为：116.在数列与中，已知，则________．〖答案〗1〖解析〗由题意知，，所以为常数列，即，所以．故〖答案〗为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在上的最值.解：（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得或，由，得，显然当时，恒有，当且仅当时取等号，因此在上单调递增，在上单调递减，而，，，所以在上的最大值为16，最小值为.18.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，.符合，所以的通项公式为.（2）由（1）可得，则，所以数列的前项和.19.已知直四棱柱的底面是菱形，且，分别是侧棱的中点．（1）证明：四边形为菱形．（2）求点到平面的距离．解：（1）取的中点，连接,因为底面是菱形且，所以为等边三角形，所以，又，所以，易知两两垂直．以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由，可得，．证明：由上可得，所以，且，所以四边形为菱形．（2）设平面的法向量为，因为，所以，即，取，得．又，所以点到平面的距离．20.已知正项数列满足，数列的前项和为，且，.（1）求，的通项公式；（2）证明：.解：（1）因为，，且，所以，所以，即.当时，，所以.因为，所以，所以.也符合上式，所以.当时，.因为，所以当时，，所以当时，，即，所以当时，数列是以为首项的常数列，即，所以，所以的通项公式为（2）因为，所以，两式相减得，所以.因为，，所以，故.21.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆和双曲线的离心率；（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．解：（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距，则，整理得，从而，，故椭圆的离心率，双曲线的离心率．（2）由（1）可知，椭圆，因为，所以直线的方程为．联立方程组，整理得，则，则，可得，即，因为，，，则，，故．22.已知函数，.（1）讨论的单调性.（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.解：（1），当时，，在上单调递减.当时，令，得.，，则在上单调递增，，，则在上单调递减.（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.因为，所以，即，即，因为，为正整数，所以.当时，，因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.当时，因为，，所以，所以，得，即.经检验，当，时，不符合题意，当，时，符合题意，当，时，因为，所以，当时，，，所以.综上，仅存，满足条件.山西省忻州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，故该数列的一个通项公式可以为，故选：D2已知直线，直线.若，则（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即，得或.当时，，，符合题意；当时，，，，重合.故.故选：A.3.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，当时，，可得，当时，，因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D.4.若数列满足，，则（）A. B.11 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为.所以数列周期为3的数列.所以，，所以，故.故选：D5.函数的极大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，当时，，当时，.所以的极大值为.故选：B.6.过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A.7.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为平面，都在面内，所以，又，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则所以取，得．设直线与平面所成的角为，所以．故选：B8.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，即.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.〖答案〗ACD〖解析〗设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确故选：ACD10.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.有2个极大值点D.只有1个极小值点〖答案〗ABD〖解析〗由图可知，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，A，B均正确.当时，，当时，，当时，，所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确.故选：ABD.11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．12.已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法正确的是（）A.当时，B.在上单调递减C.的取值范围是D.的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗由指数函数的图象和性质可知当时，，当时，，A正确；因，令解得，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，B正确；又当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，当时，，故可作的草图如图，令，则，即方程的两根为，若是方程的根，则，显然不符合题意，因为方程有3个不等实数根，所以或，当时，解得，所以，即异号，不满足题意；当时，即有解得，即的取值范围为，C错误，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.物体位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.14.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_______．〖答案〗〖解析〗设双曲线与直线交于两点，由消去整理得，则，解得，且，所以．由，解得，所以．故〖答案〗为：15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．〖答案〗1〖解析〗由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，易知圆心与的距离为，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．故〖答案〗为：116.在数列与中，已知，则________．〖答案〗1〖解析〗由题意知，，所以为常数列，即，所以．故〖答案〗为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在上的最值.解：（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得或，由，得，显然当时，恒有，当且仅当时取等号，因此在上单调递增，在上单调递减，而，，，所以在上的最大值为16，最小值为.18.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，.符合，所以的通项公式为.（2）由（1）可得，则，所以数列的前项和.19.已知直四棱柱的底面是菱形，且，分别是侧棱的中点．（1）证明：四边形为菱形．（2）求点到平面的距离．解：（1）取的中点，连接,因为底面是菱形且，所以为等边三角形，所以，又，所以，易知两两垂直．以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由，可得，．证明：由