2024届江苏省无锡市四校高三下学期期初学期调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省无锡市四校2024届高三下学期期初学期调研数学试卷一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B.2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为能与，构成基底的向量与，不共面.又，，，则，，都分别与，共面，故ABC错误；假设与，共面，则存在，使得，则，所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立，所以与，不共面，可构成基底，故D正确.故选：D.3.若直线：与直线：互相垂直，则的值为（）A. B. C.或 D.1或〖答案〗D〖解析〗因为直线：与直线：互相垂直，所以，解得或.故选：D4.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）．A.30 B.29 C.28 D.27〖答案〗B〖解析〗奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．5.如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意可得圆锥的体积，又（其中h为圆锥的高），则cm，则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．故选：A．6.某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.A.18 B.36 C.60 D.72〖答案〗B〖解析〗因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；③在4号位置，有5号一种选择，有种；故共有种.故选：B.7.双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（）A.24 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线的，，，设圆与三角形三边相切于点,则，又，所以，因此轴，因此,，,所以,因此,故三角形面积为．故选：C8.已知函数，若方程的实根个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，，，，令，解得或，又在同一平面直角坐标系中画出与的图象，由图象观察可知与有个交点，不妨设为且，则，当时，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，综上的实根个数为．故选：C二、选择题9.在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.D.若，且，则△为等边三角形〖答案〗ACD〖解析〗A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD10.设a为常数，，则（）A.B.成立C.D.满足条件的不止一个〖答案〗ABC〖解析〗对A：对原式令，则，即，故A正确；对B：对原式令，则，故，对原式令，则，故非负；对原式令，则，解得，又非负，故可得，故B正确；对C：由B分析可得：，故C正确；对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.故选：ABC.11.如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（）A.直线与直线相交B.当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C.不存在点，使得直线与直线所成角为D.三棱锥的体积为定值〖答案〗CD〖解析〗A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C正确；D：如图，由等体积法可知，又，定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：CD.三、填空题12.已知，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，，,又因为，所以所以,所以,.故〖答案〗为：.13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．〖答案〗〖解析〗设直线与曲线和分别相切于因为，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因为，所以故〖答案〗为：14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．（1）求角的大小；（2）若时，求面积的最大值．解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.16.数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若时，时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：依题意，以为原点，分别以、、方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.依题意，，，从而，所以；（2）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（3）解：依题意，．由（2）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.18.已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．（1）若．（ⅰ）求的渐近线方程；（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为,,，，求证：；（2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（1）（ⅰ）解：由题意得，，所以，又，解得，故双曲线的渐近线方程为，（ⅱ）证明：设直线AB的方程为，则消元得，，，且，所以，故，又直线的方程为，所以，同理，所以，故；（2）解：设两个切点，，由题意知，斜率存在，直线的方程为，联立由得，所以，同理直线方程为，由，过P点可得可得直线的方程为，不妨设，直线与双曲线两渐近线交于两点，，则围成三角形的面积，因P在双曲线上，，则为定值.19.已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：①；②对任意，存在，使得，则称为数表．（1）判断是否为数表，并求的值；（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；（3）证明：对任意数表，存在,使得．（1）解：是数表，（2）解：由题可知.当时，有，所以.当时，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各数之和，当时，各数之和取得最小值.（3）证明：由于数表中共个数字，必然存在，使得数表中的个数满足设第行中的个数为当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，所以横向有向线段的起点总数设第列中的个数为.当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，则该列有条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数所以,因为,所以.所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在使得，所以，则命题得证.江苏省无锡市四校2024届高三下学期期初学期调研数学试卷一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B.2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为能与，构成基底的向量与，不共面.又，，，则，，都分别与，共面，故ABC错误；假设与，共面，则存在，使得，则，所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立，所以与，不共面，可构成基底，故D正确.故选：D.3.若直线：与直线：互相垂直，则的值为（）A. B. C.或 D.1或〖答案〗D〖解析〗因为直线：与直线：互相垂直，所以，解得或.故选：D4.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）．A.30 B.29 C.28 D.27〖答案〗B〖解析〗奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．5.如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意可得圆锥的体积，又（其中h为圆锥的高），则cm，则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．故选：A．6.某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.A.18 B.36 C.60 D.72〖答案〗B〖解析〗因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；③在4号位置，有5号一种选择，有种；故共有种.故选：B.7.双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（）A.24 B.12 C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线的，，，设圆与三角形三边相切于点,则，又，所以，因此轴，因此,，,所以,因此,故三角形面积为．故选：C8.已知函数，若方程的实根个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，，，，令，解得或，又在同一平面直角坐标系中画出与的图象，由图象观察可知与有个交点，不妨设为且，则，当时，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，综上的实根个数为．故选：C二、选择题9.在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.D.若，且，则△为等边三角形〖答案〗ACD〖解析〗A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD10.设a为常数，，则（）A.B.成立C.D.满足条件的不止一个〖答案〗ABC〖解析〗对A：对原式令，则，即，故A正确；对B：对原式令，则，故，对原式令，则，故非负；对原式令，则，解得，又非负，故可得，故B正确；对C：由B分析可得：，故C正确；对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.故选：ABC.11.如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（）A.直线与直线相交B.当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C.不存在点，使得直线与直线所成角为D.三棱锥的体积为定值〖答案〗CD〖解析〗A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C正确；D：如图，由等体积法可知，又，定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：CD.三、填空题12.已知，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，，,又因为，所以所以,所以,.故〖答案〗为：.13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．〖答案〗〖解析〗设直线与曲线和分别相切于因为，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因为，所以故〖答案〗为：14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．（1）求角的大小；（2）若时，求面积的最大值．解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.16.数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若时，时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：依题意，以为原点，分别以、、方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.依题意，，，从而，所以；（2）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（3）解：依题意，．由（2）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.18.已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．（1）若．（ⅰ）求的渐近线方程；（ⅱ）过点