2024届四川省部分名校高三上学期期末联合考试数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024届高三上学期期末联合考试数学试题（文）一、选择题1.集合的一个真子集可以为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．故选：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故选：D5.某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．故选：C6.若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设该圆锥的高为，依题意有，则，解得.故选：A7.已知向量，满足，，且，则（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，且，则，，所以．故选：C.8.在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是边长为3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，则．故选：B.9.设，满足约束条件其中．若的最大值为10，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（阴影部分），当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．故选：A10.若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数图象关于直线对称，所以，得．又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为．故选：C11.已知为定义在上奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意作出的大致图象，如图所示，令，得，当时，，又时，，易知在区间上单调递增，又，所以时，，又为奇函数，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，故选：D.12.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D二、填空题13.若，则______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.已知圆经过抛物线的焦点，点A在上，若点A到的距离为6，则点A的纵坐标为______．〖答案〗〖解析〗依题意可得，由焦半径公式可得，解得故〖答案〗为：15.函数的极大值为______．〖答案〗〖解析〗，当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为．故〖答案〗为：16.在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．〖答案〗〖解析〗在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，结合，可得，所以该长方体外接球的半径为，表面积．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次时间/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；（2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．解：（1）甲这10次百米短跑的时间的平均数为，方差为．（2）因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好．因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛．18.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．（1）证明：平面．（2）若，求四棱锥的体积．（1）证明：连接，交于点，连接，因为底面为矩形，所以为线段的中点．又为线段的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解：记的中点为，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，则．又，，所以平面，则．因为四边形为矩形，所以，则，即，解得．因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，所以四棱锥的体积．20.已知椭圆长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．（1）求的标准方程；（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．解：（1）由题意可得，解得，所以的标准方程为；（2）点到直线的距离，设，联立方程组，整理得，则，即，，所以，则的面积，得，又，（由三点不共线可得），所以的取值范围是．21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.（1）解：，则，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：的定义域为，要证明，只需证.设函数，则.当时，；当时，.所以.设函数，则，所以恒成立，从而，故（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程．解：（1）由，得，则，所以，所以直角坐标方程为；（2）点的极坐标为，，所以点的直角坐标为．设，则，得，因为在曲线上，所以，所以，即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为．[选修4-5：不等式选讲]23.已知．（1）若，证明与中至少有一个小于0；（2）若均为正数，求的最小值．（1）证明：假设与中没有一个小于0，即，因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立，所以与中至少有一个小于0；（2）解：，因为均为正数，所以由柯西不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．四川省部分名校2024届高三上学期期末联合考试数学试题（文）一、选择题1.集合的一个真子集可以为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．故选：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故选：D5.某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．故选：C6.若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设该圆锥的高为，依题意有，则，解得.故选：A7.已知向量，满足，，且，则（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，且，则，，所以．故选：C.8.在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是边长为3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，则．故选：B.9.设，满足约束条件其中．若的最大值为10，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（阴影部分），当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．故选：A10.若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数图象关于直线对称，所以，得．又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为．故选：C11.已知为定义在上奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意作出的大致图象，如图所示，令，得，当时，，又时，，易知在区间上单调递增，又，所以时，，又为奇函数，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，故选：D.12.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D二、填空题13.若，则______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.已知圆经过抛物线的焦点，点A在上，若点A到的距离为6，则点A的纵坐标为______．〖答案〗〖解析〗依题意可得，由焦半径公式可得，解得故〖答案〗为：15.函数的极大值为______．〖答案〗〖解析〗，当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为．故〖答案〗为：16.在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．〖答案〗〖解析〗在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，结合，可得，所以该长方体外接球的半径为，表面积．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次时间/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；（2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．解：（1）甲这10次百米短跑的时间的平均数为，方差为．（2）因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好．因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛．18.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．（1）证明：平面．（2）若，求四棱锥的体积．（1）证明：连接，交于点，连接，因为底面为矩形，所以为线段的中点．又为线段的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解：记的中点为，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，则．又，，所以平面，则．因为四边形为矩形，所以，则，即，解得．因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，所以四棱锥的体积．20.