专题05 三角形内接矩形型（解析版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题05三角形内接矩形型【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例题精讲】例．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【答案】甲同学【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．由勾股定理得：AC＝∵，∴设乙同学加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，即，∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同学的加工方法更好．【变式训练1】如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=．【答案】（1）；（2）．【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，设MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四边形DEFG为正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的边长为；（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案为．【变式训练2】一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x，在正方形EFHG中，EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴即，解得：x=48，即：正方形零件的边长为48；（3）设长方形的长为x，宽为y，当长方形的长在BC时，，，，当x=60时，长方形的面积最大为2400．【变式训练3】如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．【答案】【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC边上的高是3，∴AM=3，∵四边形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴，．∴．∴GF=．故答案为：．【课后训练】1．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．【答案】【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，∵四边形DEFG为正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，设正方形的边长为，∴，解得：，故答案为：．2．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．3．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．【答案】【详解】解：∵四边形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即解得：EH=∴EFGH的边长为4．如图,在中，，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点．(1)求证：；(2)设，当为何值时，矩形的面积最大?并求出最大面积；(3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动(当矩形的边到达点时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当x为时，矩形的面积有最大值5；（3）S=【详解】解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，∴EF∥BC，∴；（2）∵∴，即，∴HD=4-，∴S矩形EFPQ=EF•FQ=EF•HD=x（4-）=-x2+4x，该函数为开口向下的二次函数，故当x=时有最大值，最大值为5，即当x为时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交于点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD于K，由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，又∵RS=，∴R、S为AB、AC的中点，∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，又∵MN∥RS，∴，即，∴MN=-t，∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=t•t=，∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t，则AD′=4-t，∵PQ∥BC，∴，即，解得P′Q′=5-t，∴S=S△AP′Q′=P′Q′•AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；综上可知S=．5．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝；（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，综上所述，S与t之间的函数关系式为.（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，∵四边形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，