（挑战压轴）专项28.4 锐角三角函数实际应用-拥抱型（解析版）

（挑战压轴）专项28.4锐角三角函数实际应用-拥抱型【方法技巧】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下：特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边1．（2022•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．2．（凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF＝6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）【解答】解：由题意可知∠BAD＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝6米，在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝，∴BF＝＝5（米），∴PG＝BD＝BF+FD＝5+6（米），在RT△PCG中，∵tanβ＝，∴CG＝（5+6）•＝5+2（米），∴CD＝（6+2）米．3．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；（2）求电视塔的高度．【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴AD＝AB＝24（m），答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24m；（2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，∴CD＝AD＝×24＝72（m）．答：电视塔的高度为72m．4．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．5．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），答：办公楼的高度EB为12m．6．（2022•淮滨县三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：由题意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，在Rt△ABD中，∵tan30°＝，∴AD＝＝162（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．7．（2022•睢阳区模拟）数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔AB的高度，小明在地面C处观测到塔尖A的仰角为58°，塔的另一侧有一斜坡DE（D，B，C在同一直线上），坡度i＝1：，小亮在E处测得塔尖A的仰角为45°，已知斜坡DE＝15米，CD＝20米，求古塔AB的高度．（精确到0.1米．参考数据：sin58°≈0.8480，cos58°≈0.5299，tan58°≈1.600）【解答】解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△EDF中，∵山坡AB的坡度i＝1：，∴tan∠EDF＝＝1：＝，设EF＝3k，DF＝4k，∴DE＝5k＝15，∴k＝3，∴EF＝9米，DF＝12米，过E作EG⊥AB于G，则EG＝BF，BG＝EF，∵∠AEG＝45°，∴AG＝EG，设EG＝AG＝BF＝x米，∴AB＝AG+BG＝（x+9）米，在Rt△ABC中，∠C＝58°，∴tan58°＝＝≈1.6，∴BC＝，∵CD＝20米，∴EG+BC＝DF+CD，∴x+＝12+20，解得：x≈16.23，∴AB＝x+9＝25.23≈25.2（米），答：古塔AB的高度约为25.2米．8．郑州人民公园有一座摩天轮，天天很喜欢坐，某日天天突然想测量这座摩天轮的高度，于是他先走到摩天轮AB对面小山上的E点处，在E点测得摩天轮最高点A的仰角为34°，沿着坡度i＝1：2.4的山坡向下走了26米到达C处，再往前走了77米到达了B处，请帮天天算出摩天轮AB的高度．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，结果精确到米）【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC的延长线于点F，作EH⊥AB于点H，在Rt△