2022年吉林省长春市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022年吉林省长春市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

椭圆JS为参数)的焦点是

1.3M()

A.A.(-5,0),(5,0)

B.(0,-5),(0,5)

C.CL(-T7.0).(V7,0)

D."二

2.已知函数八*=5?+6的图像经过点(1,2),且其反函数的图像

经过点(3,0),则函数f(x)的解析式是

A./(j)=4/+?B./(x)=一/+3

C./(X)=3工2+2D./(x)=x24-3

3.

函数)

A.为奇函数且在(0,+与上为增函数

B.为偶函数且在(-*0)上为减函数

C为奇函数且在(0,+与上为减函数

D.为偶函数且在(-*0)上为增函数

4.如果二次m数y=x?+px-q的图像经过原点和电(-4,0),则该二次函

数的最小值为()

A.A,-8B.-4C.0D.12

设a,b为实数且a>2,则下列不等式中不成立的是

(A)a2>>2b(B)2a去a

(C)—-<(D)a2>2a

<a

6.设某项试验每次成功的概率为则在2次独立重复试验中，都不成

功的概率为()

A.A.4/9B.1/3C.2/9D.1/9

7.函数八"刁促^^一工十口的单调增区间是。

A.B.[o.1]C.(-1.+«)D.(0修)

8.

已知a,b为任意正实数，则下列等式中恒成立的是()

A.ab=ba

B.

Da1*'=A”

设甲：x=l,

乙：x:=l,

则

(A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分必要条件

(C)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

9(D)甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

10.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则点P坐标是

()

A.A.(9,6)B.(9,±6)C,(6,9)D.(+6,9)

11.曲线Y=x2-3x-2在点(-1,2)处的切线斜率是()

A.A.-1

巨

B.

C.-5

D.-7

12.

已知两直线"/+济，和乙：P一跖7+&Z.则际=必是人〃/2的)

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

13.等比数列｛%｝中，已知对于任意自然数n有ai+a2+...an=2n-l,则

22

ai+a2+…aj的值为()

A.(2n-1)2

B.1/3(27)2

C.1/3(47)

D.4M

14.已知向量a=(3,4),向量b=(0,-2),则cos<a,b>的值为

A.4/5B.-4/5C.2/25D.-2/25

下列函数中，为减函数的是

]5(A)y-x3(B)y=sinx(C)y=-^(D)y=8sx

16.曲找—・/・*”-I・。关于■级«-y=0或*对殊的曲线的方程为

A.Bex*-y*♦«-y+1>0

C.*’■，♦*一,-l=0-I«0

17.已知函数f(x)=ax?+b的图像经过点(1,2),且其反函数fi(x)的图像

经过点(3,0),则函数f(x)的解析式是()

A.f(x)=l/2x2+3/2

B.f(x)=-x2+3

C.f(x)=3x2+2

D.f(x)=x2+3

18.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某项目比赛，其中至少有

一名女生入选的组队方案数为()

A.100B.110C.120D.180

[9()

B.y=3log*(1)

C*.y=3lo&«r+l

D.春+1

A.A.AB.BC.CD.D

20.两个盒子内各有3个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有

1,2,3三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个

球上所标数字的和为3的概率是（）

A.A.1/9B.2/9C.1/3D.2/3

21.”&+（曰尸的值等于

A.2B.-2C.0D,4

99已展开式中各项系数的和等于512.那么n=)

A.A.10B.9C.8D,7

直线3x+y-2=0经过

（A）第一、二、四象限（B）第一、二、三条限

23：c）第二三、四曾限（D）第一、三、四致限

函数/(x)=l+cosx的最小正周期是

(A)-(B)n(C)-it(D)2n

24.22

c〈已知播既上N+g=।的焦点在）轴上.则m的取值范附是

ZJ.一。m

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.m>3或?<m<2

(2)设函数,财人x+2)・

(A)//4*.5(B)?+4«+3

26.(C)/f5(D)?♦2«♦3

一枚硬币连续抛掷3次，至少有两次正面向上的概率是

(A)|(B)y

(C)-“(D)|-

27.4<5

下列四组中的函数/(x).g(x)表示同一函数的是

(A)/(x)=1,g(x)=x°(B)/(x)=z,g(x)=—

X

28(C)f(x)=x\g(x)二(石)，(D)〃±)=J,g(x)=淤

29.已知点A(1,1),B(2,1),C(—2,3),则过点A及线段BC中点的直线方

程为()。

A.x-y+2=0B.x+y-2=0C,x+y+2=0D.x-y=O

已知卜+十］展开式中各项系数的和等于512,那么n=()

(A)10(B)9

30.1S(D)7

二、填空题(20题)

31化筒祕+而+而_N=______.

32.f(u)=u-Lu=(p(x)=Igx,则f{(p(10)]=.

33*11+丁+『乂1一i)的勺(部为•

34.

35.抛物线y2=6%上一点A到焦点的距离为3,则点4的坐标为------

36.设离散型随机变量自的分布列如下表所示，那么己的期望等于

1009080

P0.20.50.3

37(21)不等式124+11〉1的解集为

38.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

21.曲线y=至；.七］在点（-1,0）处的切线方程____________.

39.x+2

40.

41.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则aOAB的周长为

42.设离散型随机变量的分布列如下表，那么的期望值等于

0

e65.454

0.060.04

P0.70.10.1

Q）51（1+工/+*4中,3a..■2a..那么（1+1/的展开式

43.中•中间网膜依次

44.从一批相同型号的钢管中抽取5根，测其内径，得到如下样本数据

（单位：mm）：

110.8,109.4,111.2,109.5,109.1,

则该样本的方差为mm2。

45.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下，（单位：克）

76908486818786828583则样本方差等于

46.

47.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

48.过点(2,D且与直线y=*+1垂直的直线的方程为

49.球的体积与其内接正方体的体积之比为

50.设a是直线Y=-x+2的倾斜角,则a=

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

(2)过这些点的切线与直线y=x平行.

(23)(本小题满分12分)

设函数/(*)=x4-2x2+3.

(I)求曲线-2d+3在点(2,11)处的切线方程；

52(D)求函数，幻的单词区间.

53.(本小题满分12分)

设数列1a.I满足％=2,az=3a.-2(”为正■数),

a।-1

⑴求一1丁；

a,-1

(2)求数列ia.l的通项•

54.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

55.

(本小题满分13分)

如图.巳知楠画IG：4+/=I与双曲线G：^-/=1（«>1）.

aa

（|）设6分别是c,.G的离心率.证明<i；

（2）设4H是c长轴的两个端点/（*0,九）（1工。1>a）在G上，直线P4与G的

另一个交点为Q,直线尸4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

56.

（本小题满分13分）

已知圜的方程为f+/+ax+2y+『=0'一定点为4（1,2）.要使其过良点4（1,2）

作B8的切线有两条.求a的取值范闱.

57.

（本小题满分12分）

已知函数/（x）=x_lnx,求（1）〃幻的单沟区间；（2）〃工）在区间1方,2］上的最小值.

58.

（本小题满分12分）

已知参数方程

x=--（e,+e"）cosd,

J«2?（01~底’）3加。・

（1）若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

（2）若山”eN.）为常量.方程表示什么曲线?

（3）求证上述两个方程所袭示的曲线有相同的焦点.

59.

（本小题满分12分）

已知函数“X）=/-3/+m在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

60.

（24）（本小题满分12分）

在△48C中*=45。,8=60。,48=2,求A4BC的面积.（精确到0.01）

四、解答题（10题）

61.

62.

设sina是aiM与coa0的等是中项足咱是sin®与coM的等比中项，求co。策

的值.

63.

（本小题满分12分）

Sa=£2"（4*—八1）,

已知数列｛an｝的前n项和

（1）求｛an｝的通项公式；

⑵若ak=128,求k。

64.已知J（H）=2cos，z+2Qsinzcosj：+a（aWR,a为管数）,（I）若x《R,求f（x）的

最小正周（04人工）在［一营号］上的最大值与最小值之和为3,求a的值，

65.已知椭圆x2/a2+y2/b2=l和圆x2+y2=a2+b2,M、N为圆与坐标轴的交

点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线.

KH2X1+/=98内有一点4（-5,0）,在椭圆上求一点8,使IAB\最大•

66.

I

在数列（oj中，ai=l,S产囚+a：4-----t-a.,a.=2S<-i（rtGN*.fi仑2）,

（【）求证，数列（SJ是等比数列।

67.

68.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3,并且经

过点(-3,8)

求：（I）双曲线的标准方程；

（II）双曲线的焦点坐标和准线方程。

已知等比数列（U」的各项都是正数.a>=2.的3项和为14.

（I）求<%）的通项公式：

69.

70.

已知函数/（H）=方52工+«）82上+《~$10£«）5求：

（1）八公的最小正周期；

（II），（工）的最大值和最小优

五、单选题（2题）

71.下列函数中，最小正周期为兀的偶函数是（）

A.y=sinx

B.y=cosx/2

C.y=sin2x+cos2x

D.y=（l-tan2x）/（l+tan2x）

72.喊=P+9'+3x-9,已知人.）在“-3时取网t值，则。=A,2B,3C,4D,5

六、单选题（1题）

73.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，三个灯泡在使用

1000小时以后最多只有-个坏的概率为（）

A.0.008B.0.104C,0.096D.1

参考答案

1.C

参数方程化成标准方程为<+(=1.«=Ji17可■77,

故焦点是(一々,03(4,0).(答案为C)

2.B

人工)过(1・2),其反函数厂,(工)过

(3.0),则八外又过点(0,3),

(a+b=2

所以有/(1)=2./(0)=3.<

laX0+b=3

a=-1

0’♦

,6=3

.,./(x)=*x2+3.

3.B

4.B

5.A

6.D

巳知某项试验每次成功的概率为I•.剜试验期次不成功的依率为I-,=4.

JJJ

由于每次成验是相互独立的.所以根据相互独立事件同时发生的微率计算公式有在2次

独立重复出验中.那不成功的概率为

?=孑乂。=看.(答案为D)

7.A

•・・。=十＜1,・・・要求人工）增区・

必须使且（l）=12-工十1是成区间,由函数爪工）

的图像（如图）可知它在（一8,；［上是成函

数，且g（H）＞0恒成立.

.•.人工）在（一8,即是堆函数.

8.D

9.C

10.B

抛物线y=4工的焦点为F（1,0）.设点P坐标是Q.y）.则有|

I》

解方程组.得x=9.y-=±6.即点P坐标是（9,±6）.（等案为B）

11.C

12.B

B山心得八〃人或9（也合，

ifiirii/i//ii-Ar=*?.

【分析】充要能停某历年号诚的必考金.理解概.

念•分清题中的两个命题,用学过的知识可得到正

确答案.

nnn1n12n

13.C*.*已知Sn=ai+a2+...an=2-l,an=Sn-Sn-i=2-l-2-+l=2-,ann=(2-

22

1)2再『=1再22=4再32=16,a42=64,即：a/,a2,...,a"是以q=4的等比数

222nn

列,Sn=ai+a2+...ann=(1-4)/(1-4)=1/3(4-l)

求cos〈a,b>,可直接套用公式cos(a.b>=-~；——工

al,\b

a•b=(3,4)•(0,-2)=3X0+4X(-2)=-8,

cos<o.h>=

々+4?•5/02+(-2):10

14.B

15.C

16.A

A修新:x求彼■线美于直线财■弊的est.aiawKjjifS点的♦棹(x，)忖化为•即将

原向线中的*拄亶，.，接力^放逢V

“工)过(1,2),其反函数f'(x)it<3,0),»,)又过点

(0,3),所以有f(1)=2,f(0)=3,得j“x0+6=3"=3'

17.BT+3.

18.B

B■杨：10人中任/3人的flta方案为u.・120；没痴女生入选的=10.依得公•忒加

组队方案欧为IO«1W

19.A

由¥=[,2*-i.海h一】一lo&(3y),即工*=10g(3y)+l.

Wl

所以所求的反函数为yulo&(3x)+lGr>0).(答案为A)

20.B

21.A

22.B

23.A

24.D

25.D

26.B

27.B

28.D

29.B

该小题主要考查的知识点为直线方程的两点式.【考试指导】

线段比的中黑坐标为(二言，亨)，

即(0,23则过(1,1),(0.2)点的近段方程为

X—1

yzryni+y-2=o.

30.B

31.

32.0

*/(p(x)=Igxcp(l0)=IglO=Lf[(p(l0)]=(p(i0)-l=l-l=0.

33.

34.

答案：89解析：E(1)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

(21)(-00,-l)U(0,+00

答案：60。【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC〃

A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的角.

又4AB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A'C'与B'C成

60。的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示出

该角，再求解.

4,

21./=(x+1)

39.

40.

41.

42.答案：5.48解析：E化)=6*0.7+5.4*0.1+5*0.4+4*0.06+0*0.04=5.48

43.

44.0.7

**HO8+1094+1112+1095+1091,,f投*士”,

样本平均(fl*-----------------------------11A0'故样本方差S1-

(110》一】10)2+(10941心+1112T10/+(]O95710)2+(109ITIO)，”

45.

46.

47.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

T+3

0),(3,0),故其对称轴为X=一，fmin(l)=l+b+C,而f(-l)由1-

b+c=O,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(l)=l-2-3=-4.

,X+y-3=0

48o.

49.

设正方体检长为1，则它的体积为1.它的外接球农径分公•半径为:

球的体积丫=4加34双争」£.（惨案为岑R）

50.

51.

（1）设所求点为（%.%）・

<=-6父+2，=-6x©+2

由于*轴所在直线的斜率为0,则-6%+2=0,与=/.

1+4

因此y0=-3•（j）+2•j=p

又点（上•号）不在x轴上'故为所求.

（2）设所求为点（与，。）.

由（l）,y'j=-6x,+2.

I•・4

由于y=x的斜率为1.则-6»o+2=I.与=/

因此%=-3*+2•/+4耳

又点（高为不在直线>=x上•故为所求.

(23)M：(I)f(«)=4?-4z,

52,(2)=24,

所求切线方程为y-11=24(x-2),BP24x-y-37=0.……6分

(11)令/(X)=0.解得

=-19x2=0,欠3=1・

当X变化时/（幻/（幻的变化情况如下表:

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r（*）-0♦0-0

M2z32z

«了）的单调增区间为（+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

53.解

⑴Q..t=3°.-2

a..1-1=3a.-3=3(a.-1)

a.-»

(2)|a.-1|的公比为q=3.为等比数列

J.a.-l=(%-l)qi=尸=3-t

a.=3-'+1

54.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500—10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

55.证明：(1)由已知得

将①两边平方.化简得

由②(3)分别得y：=-«2),y：=*7(aJ-m：).

a*a

代人④整理得

同理可得巧胃.

所以凡=问'0,所以QR平行于，轴.

56.

方程/+/+3+2y+a[=0表示圈的充要条件是“+4-4a2>0.

即Jv,所以-守后<a<三心

4(1,2)在W1外，应满足：l+21+。+4+aJ>0

即<?+a+9>0.所以awR

综上,。的取值范圉是(-早，早).

(I)函数的定义域为(0,+8).

f(x)=1~Y-令/住)=0,得，=l.

可见,在区间(0.1)上<0;在区间(1,+8)上/(X)>0.

则/(工)在区间(0/)上为城函数;在区间(I.+8)上为增函数•

(2)由(I)知，当x=l时4工)取极小值，其值为｛I)=1Tnl=1.

又〃；)=y-Inr-=y+ln2^(2)=2-ln2.

57[!:JIn、<•<In?<Ine,

即1<ln2Vl.则/(；>>/(1)42)>〃1).

因留(x)在区间i；,2]上的最小值是1.

58.

(I)因为"0.所以e'+c-V0,e'-e^0.因此原方程可化为

,■产二产CO80,①

。+e

~r^~T；=sin®»②

le-e

这里6为参数.(V+(2人消去参数8.得

4at’4y2.„n/y'_____.

(e'+e")2(e'-e-')''三豆IT在土Y，

44

所以方程表示的曲线是桶圆.

(2)由8K竽.keN.知€»2&~(),si/lMO.而，为参数,原方程可化为

②1.得

因为2e4e-=2J=2,所以方程化简为

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(1)知，在椭圆方程中记=

(%二4Y.〃=金六4'>

则c'=1-b、1,c=1,所以焦点坐标为(±1.0).

由(2)知,在双曲线方程中记炉=而)匕

■则JnJ+b'l,C=1.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

59.

/*(»)=3x2-6x=3x(x-2)

令/(x)=0,得驻点阳=。,盯=2

当x<0时/(x)>0；

当。<工<2时/⑺<0

.•.x=0是“*)的极大值点.极大值人。)="»

.-./(0)=E也是最大值

/.m=5,X/[-2)=m-20

/X2)=m-4

.-./(-2)=-15jX2)=l

二函数〃工)在1-2,2]上的最小值为〃-2)=-15.

(24)解：由正弦定理可知

BCAB

，则

sinAsinC

2x4

sm75°用+G

-4~

5△皿=—xBCxABxsinB

-yx2(^-l)x2x^

=3-5

60.*1.27.

61.

(r)证明：连结AC,因为四边形4BCD为正方形，灰以

又由巳知PA1底而ABCD铅BD±FA.所以«L平面

PACtBD1PC.

因为平而成与BD共而，所以Rb/jMN.

MN_LFC.……5分

〈11)因为A/W_LPU又巳知A0J,FC,MN与AQ相交.

所以PCJ>平面八MQM因此P<?±QW,乙FM。为所求的角.

因为HI，平而MCD.AB1比\

所以PB1M

因为AOGBC=。.AC^PA=发4,

所以抬=2"，,

所以乙PC4=60».

因为RSFECsRtAPQM.

所以Z.PMQ=£PC柠=6丁.

所以尸8与平面4AIQW所成的#1为60".

62.

*tfiOA.BTfllf1~7"^***1*.-2"^"l»21I-n»2a)-(t•l.W

17

2cot2a«

则cc»4^-4ea»4a=2c^2fl-1-4(2cw'la.1),»•eiZiTe»'2a.3«3.

63.

9

(DSi=等(L-D,

J

则a.=S.-Si

22

=^-(4--l)--f-(4^*-1)

<3o

=2i.

(2)a,=2Al

=128

=2，，

•'•2k—\—7,

：.k-4.

64.

【参考答案】-1tco&2N+yJsinZr+0

=2011(2工+彳)+Q+1.

<1)/(小的最小正周期T=^=x.

<n）*x€:一去。]知"胃4一小卷】

所以一"^<sin（2x+-1-）<l.

—lC2sin（2x+-^-）42.

闪此/Q）最小值为一l+a+1,最大值为2+a+1.

由-l+a+l+2+a+l=3硼a=0.

65.

VM.N为m与坐标,的交点.不妨取M、N在外工轴的正方向.

々+y).N(v/PIV.O),

由直校的微距式可知•弦MN的方程为，

--->」…

直蚊方