二次函数图象和性质

关于二次函数图象和性质知识回顾1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数？①⑤④③②第2页,共44页，2024年2月25日，星期天探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…-3-2-1012

3…y=x2……9411049第3页,共44页，2024年2月25日，星期天xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?第4页,共44页，2024年2月25日，星期天二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.第5页,共44页，2024年2月25日，星期天

议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？第6页,共44页，2024年2月25日，星期天当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.第7页,共44页，2024年2月25日，星期天(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？

做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…在学中做—在做中学第8页,共44页，2024年2月25日，星期天做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?第9页,共44页，2024年2月25日，星期天当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.

y

当x=-2时,y=-4

当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.第10页,共44页，2024年2月25日，星期天画一画

在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象第11页,共44页，2024年2月25日，星期天1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.

当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质归纳第12页,共44页，2024年2月25日，星期天做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,

在对称轴

侧,y随着x的增大而增大；在对称轴

侧,y随着x的增大而减小,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方(除顶点外).(2)抛物线在x轴的

方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的

；在对称轴的右侧,y随着x的

,当x=0时,函数y的值最大,最大值是

,当x

0时,y<0.第13页,共44页，2024年2月25日，星期天第14页,共44页，2024年2月25日，星期天第15页,共44页，2024年2月25日，星期天第16页,共44页，2024年2月25日，星期天第17页,共44页，2024年2月25日，星期天第18页,共44页，2024年2月25日，星期天第19页,共44页，2024年2月25日，星期天第20页,共44页，2024年2月25日，星期天(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是

。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是

。(2)将函数y=-3x2+4的图象向

平移

个单位可得

y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向

平移

个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向

平移

个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀第21页,共44页，2024年2月25日，星期天对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？在同一坐标系内,抛物线与抛物线是关于x轴对称的.第22页,共44页，2024年2月25日，星期天1、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

，在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=

时，函数y的值最小，最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方（除顶点外）。（2）抛物线在x轴的

方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的

；在对称轴的右侧，y随着x的

，当x=0时，函数y的值最大，最大值是

，当x

0时，y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0课堂练习第23页,共44页，2024年2月25日，星期天第24页,共44页，2024年2月25日，星期天第25页,共44页，2024年2月25日，星期天

当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧,y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

；当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧,y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k观察思考第26页,共44页，2024年2月25日，星期天（4）抛物线y=-3x2+5的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。6.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为

。若点C(-2,m),D（n,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为

点D的坐标为

.（5）抛物线y=7x2-3的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀第27页,共44页，2024年2月25日，星期天y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时，y随着x的增大而减小。当x<0时,y随着x的增大而增大。x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,归纳小结当x>0时，y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。抛物线的开口就越小.|a|越小,抛物线的开口就越大.第28页,共44页，2024年2月25日，星期天1、二次函数y=ax2的图象是什么？2、二次函数y=ax2的图象有何性质？3、抛物线y=ax2与y=-ax2有何关系？小结第29页,共44页，2024年2月25日，星期天归纳二次函数的图象及性质：1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点。第30页,共44页，2024年2月25日，星期天归纳二次函数的图象及性质：2.当a>0时，开口向上，顶点是最低点，a值越大，抛物线开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。第31页,共44页，2024年2月25日，星期天归纳二次函数的图象及性质：3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点，a值越大，抛物线开口越大；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。第32页,共44页，2024年2月25日，星期天巩固1、说出下列函数图象的性质：第33页,共44页，2024年2月25日，星期天2、已知二次函数的图形经过点(-2，-3)。(1)求a的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；巩固第34页,共44页，2024年2月25日，星期天巩固3、若抛物线的开口向下，求n的值。第35页,共44页，2024年2月25日，星期天巩固4、若抛物线上点P的坐标为(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点P’的坐标为

。第36页,共44页，2024年2月25日，星期天巩固5、若m>0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、

y1、y2、y3的大小关是

。(m+3，y3)在抛物线上，则第37页,共44页，2024年2月25日，星期天练习1.把抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线

，再向上平移5个单位，可以得到抛物线

；2.对于函数y=–x2+1，当x

时，函数值y随x的增大而增大；当x

时，函数值y随x的增大而减小；当x

时，函数取得最

值,为

。＜0＞0=0大0第38页,共44页，2024年2月25日，星期天3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1＜x2＜0，则y1

y2(填“＜”或“＞”)5.已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？C第39页,共44页，2024年2月25日，星期天大显身手(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1),B(x