2020-2021学年朔州市怀仁市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年朔州市怀仁市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1,若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是1,贝g=（）

A.±1B.±2C.±4D.±8

2.命题p：%,ye/?,x2+y2<2,命题q：x,yER,|x|+|y|<2,则p是勺的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

3.设魏史密，函数,械=/普雌尸的导函数是jT斛，且“俨盛是奇函数，若曲线般=利疝的一

条切线的斜率是:，则切点的横坐标为（）

4.已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,双曲线的一个焦点与抛物线./=4x的焦点重合，则

抛物线的准线与双曲线的两交点为力，B,则旧到的长为（）

A.2B.4C.逑D.也

55

5.已知函数/'（久）=cos（学久）+（a-l）sin（"）+a,g（<x'）=3X-x,若/'（g（久））W0对任意的xe

[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.（-oo,-\/3-1]B.（-8,0]C.[0,V3-1]D.（-co,1-V3]

6,某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

A.圆台B.圆锥C.三棱柱D.三棱锥

7.椭圆提+3=l（a>b>0）的两个焦点&,尸2,点M在椭圆上，且Ma1FrF2,\MFr\=p\MF2\=

y，则离心率e等于（）

A.包B吏c.渔D.渔

8634

2

8.已知实数1,m,9成等比数列，则圆锥曲线高+y2=i的离心率为（）

A.渔B.2C.渔或2D./或2

33

9.已知|相=2,旧|=3,向量/与3的夹角为/则方•@-了）的值为（）

A.1B.-1C.7D.-7

10.下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()

v-2寸2-.2-,2v,2

A.--y2=1,--^=1B.--y2=1,y2--=1

3J933JJ3

v12-,2-.2.,2,,2

C.y2---=1,/----=1D.---y2=1,------=1

/33339

11.直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其短轴长的;，则该椭圆的离心

4

率为()

A-iB.[C.1D.|

12.当a>0且a41时，函数f(x)=a"——3必过定点()

A.(0,-3)B.(2,-2)C.(2,-3)D.(0,1)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

22

13.已知双曲线二-匕=1的渐近线方程为5%±3y=0,则此双曲线的离心率为.

mn

14.已知双曲线5-9=1的一条渐近线方程为y=Rx，则该双曲线的实轴长为.

15.设函数f(久)=/一3%,则曲线y=/(久)在点(0,0)处的切线方程为；函数f(久)的极大值

点为•

16.命题p“若一一3久—4=0,则刀=4或x=-1”否定为_

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知命题p：函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R；命题q：函数g(久)=2吐。1在区间(3,+8)

上单调递增.

(1)若P为真命题，求实数a的取值范围；

(2)如果命题“pVq”为真命题，命题“pAq”为假命题，求实数a的取值范围.

18.函数/(x)—(m—l)Znx+mx2+l(meR)

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若对任意的久i>二>0，总有/(%)-f(x2)>2(。1一小)恒成立，求实数m的取值范围.

19.如图,曲线q：y2=2px(p>0)与曲线C2：(x—6/+*=36只有

三个公共点0,M,N,其中。为坐标原点，且南.丽=0.

(1)求曲线q的方程；

(2)过定点M(3,2)的直线/与曲线q交于4B两点，若点M是线段4B的中点，求线段AB的长.

20.如图，四棱锥P-4BCD中，底面力BCD为矩形，PA_L底面2BCD,PA=

AB=V6，点E是棱PB的中点.

(I)求证：直线ZD〃平面PBC；

(口)求直线与平面PBC的距离；

(IH)若4。=3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

22

21.设椭圆C：京+£=l(a>b>0)的一个顶点与抛物线久2=4&y的焦点重合，尻，F2分布是椭

圆的左、右焦点，离心率e=g，过椭圆右焦点F2的直线/与椭圆C交于M,N两点,。为坐标原

点.

(I)求椭圆C的方程；

(口)当丽・丽=—1时，求直线I的方程；

(HI)若是椭圆C经过原点。的弦，MN//AB,是否存在常数九使|4用=/1/丽7?若存在，求出4

的值；若不存在，请说明理由.

22,设/(%)=ax+cosx(x6R).

(1)若a=|,试求出函数/(x)的单调区间;

(2)若对任意久>0,都有％+sin2x+cosx</(%)成立，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查抛物线的简单性质，是基础题.

利用抛物线的方程，求出p,即可求出结果.

解：抛物线必=a尤的焦点到其准线的距离是1,可得p=l,则口=±2「=±2.

故选:B.

2.答案：A

解析：解：如图不：

命题+y2V2”对应的图象为半径为近

的圆的内部，

命题“|x|+|y|<2"对应的图象为正方形的

内部，

则p是q的充分不必要条件，

故选：A.

作出不等式对应的图象,根据充分条件和必要

条件的定义进行判断即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利

用数形结合是解决本题的关键.

3.答案:C

解析:试题分析：函数例点=靖'书:施•中的导函数是“题前且“题曲是奇函数,所以同点=蛾’书商中

是偶函数,a=1.即舒'斓=/书犷,，由切线的斜率为函数在切点的导数值，所以豺，产.=2，产=2,

x=ln2,故选Co

考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义，函数的奇偶性。

点评：小综合题，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。切线的斜率为函数在切点的导

数值。

4.答案:D

解析：

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的性质.

解：双曲线的一条渐近线的方程为J=2x,可知双曲线的方程为1一工=2,

4

可知抛物线f=4x的焦点为0,0,可知双曲线的焦点为2+4%=1一/=±,

双曲线的方程为=2,抛物线的准线为x=-1,

4

、5,

>-=14在

可知4：/(T-/(T喳」网=半

5、5

x=-l

故选D

5.答案：A

解析：解：g(x)=3X-x,x6[0,1],g'(%)=3%,3-1在[0,1]上为增函数，

贝iJg'Q)>g'(0)=Zn3-l>0,

则函数g(%)在[0,1]上单调递增，

・・・g(%)在％G[0,1]上的值域为[1,2],

令力=g(%),贝1C[L2],

.•./[?(%)]<。对%E[0,1]恒成立,

・•・/(t)<0对任意t6[1,2]恒成立，即cos(gt)+(a-l)sin(^t)+a<0对任意te[1,2]恒成立,

2nt

..、一...»‘rsin.—7tT—,cos—jr

分离参数a,得a<---.yr3=2sin-t—1,

l+sin-t3

3

令h(t)=Zsingt-1,t6[1,2],

则W)m讥=2s呜-1=V3-1,

•*'ciW—1,

则实数a的取值范围是(-8,百-1],

故选：A.

利用导数求出函数g(x)的单调区间，得到函数在[0,1]上的值域，令t=g(x),贝Me[1,2],把问题转

化为f(t)<0对任意t£[1,2]恒成立，即cos(争)+(a-l)sin(^t)+a<0对任意te[1,2]恒成立，

.Ti2nt

分离参数a，得a<s吗厂=2sin-t-1,由三角函数的性质求出g)=2sin^t-l,te[1,2]的

1+sin-t331■」

最小值得答案.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是

中档题.

6.答案：A

解析：解：圆台的正视图为梯形，

故选：A.

显然圆台的正视图为梯形，结合答案的唯一性，确定答案为4

此题考查了三视图，属容易题.

7.答案：C

解析：

本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

由题意，|&尸2|=J(y)2-(1)2=2V5=2c,2a="昔=6,即可求出椭圆的离心率.

解：由题意，I&F2I==2而=2c,即。=遮，

2a=:+g=6,即a=3,

cVs

J.Q^3—.

a3

故选：c.

8.答案：C

解析：

解：已知实数1,m,9成等比数列

m2=9解得m=±3,

(1)当m=3时，

圆锥曲线?+y2=i是椭圆

解得a=V3>c=/则离心率为：手，

(2)当m=-3时,

圆锥曲线杵+必=1是双曲线，

解得Q=l，c=2则离心率为：2.

故选：C.

首先根据等比中项求出m的值，然后把方程进行分类讨论通过建立方程求得相应的结果.

本题考查的知识点：等比数列的比例中项，圆锥曲线的方程，椭圆方程及双曲线方程和相关的运算.

9.答案：A

解析：

本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题.

根据数量积定义计算N.1，再将方.(a-易展开计算.

解：a-K=2X3xcosg=3,

a2=4，

•••a•(a—b)=a2—a-b=4—3=1-

故选A.

10.答案：A

解析：解：？-y?=i,--—=i,离心率分别为：亚I,—；渐近线分别为：x=+V3y»x=+V3y.

3J9333

满足题意.

22

白_y2=i,y2_1.=i,两条双曲线的离心率不相同；

22

/--=1,/—匕=1,两条双曲线的渐近线不相同；

y33

--y2=1,"—亡=1,两条双曲线的离心率不相同；

3z39

故选：A.

求出双曲线的离心率以及渐近线方程，即可判断结果.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

1L答案：C

27

解析：解：根据题意，设椭圆的方程为三+4=1,a>b>0,

a2b2

若直线I经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线的方程为:+看=1,

若椭圆中心到I的距离为其短轴长的%则有一5,

即4=%+前，

变形可得：号=3,即接=3。2,

C2

则小=b2+c2=4c2,即a=2c,

则椭圆的离心率6=£=3

a2

故选：C.

根据题意，设椭圆的方程为马+¥=1,进而可以设出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可

a2b2

求解椭圆的离心率.

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，

12.答案：B

解析：解:因为屋=1,故/(2)=-2,所以函数f(x)=ax-2-3必过定点(2,-2)

故选：B.

由a。=1可以确定％=2时，/(2)=-2,即可得答案.

本题考查指数型函数恒过定点问题，抓住a°=1是解决此类问题的关键.

13.答案：叵或返

35

解析：

本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于中档题.

讨论rn>0,且几>0时，由双曲线的渐近线方程求出小、九的关系，再计算双曲线的离心率；同理求

出爪<0,且71<0时由双曲线的渐近线方程求出它的离心率.

解：双曲线次—日=1,

mn

当TH>0,且九>0时，双曲线的渐近线方程为y=士焉％,

由5%±3y=0,得半=三，

yjm3

.九_25

"m~9，

设TH=9k,n=25k,其中々>0,

••・a=3y/kfb=c=、34k，

・••双曲线的离心率为e=匕=卑=叵;

a3Vfc3

当机<0,且71<0时，双曲线的渐近线方程为尢=土弃y,

-7—n/

由5%±3y=0,得=I，

,m_9

"n—25，

设m=9k,n=25k,其中k<0,

•••a=鼠—k,b=3、—k,c=7—34k,

・•・双曲线的离心率为e=|=若=等；

综上，该双曲线的离心率为四或叵.

35

故答案为身或道.

35

14.答案：4V3

(b_点

解析：解：由题意可得展=行，解得a=2g,则该双曲线的实轴长为2a=4b.

(匕2_4

故答案为：4V5.

利用双曲线的渐近线方程以及双曲线方程，求出。即可得到结果.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.

15.答案：3x+y=0-1

解析：解：因为函数/(%)=一3%,所以((%)=3/一3,

所以尸(0)=-3,

所以曲线y=/(%)在点(0,0)处的切线方程为y=-3%,

由/'(%)=3/-3<0,得一1V%<1,所以函数/(%)=%3-3第在(一1,1)上是减函数，

由/'(%)=3——3>0,得x<一1或久>1,

所以函数〃%)=/一3%在(一8,-1),(1,+8)是增函数，所以函数的极大值点是一1.

故答案为：3%+y=0；-1.

求出/'(%)=3%2-3,从而((0)=-3,由此能求出曲线y=/(%)在点(0,0)处的切线方程；再由

/'(%)=3%2—3<0,得—1<%V1,由/'(%)=3x2—3>0,得％<一1或%>1,由此能求出函数

的极大值点.

本题考查曲线的切线方程、函数的极值点的求法，考查导数的几何意义、函数的单调性、最值等基

础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题.

16.答案：若%2一3%-4=0则%区4且久凶—1

解析：试题分析：因为命题的否定只否定结论，因此命题P“若工2—3乂—4=0,则久=4或x=-1

否定为“若/-3x-4=0则x区4且x区T”。

考点：本题考查命题的否定。

点评：注意命题的否定和否命题的区别。

17.答案：解：(1)若p为真命题，则a久2一4久+a>0对VxeR恒成立，

即K42…，解得a>2；

(2)g(x)=2l>a|=若q为真命题，则a<3,

又“pvq”为真命题，“pAq”为假命题，则p,q一真一假，

当p真q假时，则｛：；：，故a>3；

当p假q真时，贝故aW2；

综上可得，a<2,或a>3.

解析：(1)/(%)的定义域为R,贝即可求出a的取值范围；

(2)首先求出命题q为真命题时a的取值范围，再由条件pVq为真命题，pAq为假命题，可知命题p与

q必然一真一假，分类讨论即可.

本题主要考查复合命题真假关系的应用以及指数函数与对数函数的性质，根据条件求出命题的等价

条件是解决本题的关键.

18.答案：解：(1)/(%)=(m—l)lnx+mx2+1,mER,%>0,

2mx2+m-l

，•/'(%)=+2mx=

X

①m>1时/'(%)>0,/(%)是增函数;

②0<m<l时［⑺=2m,

x

当0<久<(弁，是减函数;

当x2J弁时，fO>°，是增函数;

③rnW0时/(%)<0,fO)是减函数.

(2)令h(x)=/(x)—2x,

,对任意的>%2>0，总有/'。1)_f(.X2)>2(乂1-乂2)恒成立，

h(x)=/(x)-2x在(0,+8)上单调递增,

・•・当X>0时，h'(久)="二+—2=2M-2x+m-lN0恒成立，

•••2mx2—2%+m—1>0恒成立，

(2m>0即p?i>0

•••[(-2)2-4x2m(m-1)<0?1(2m2-2m-1>0?

解得：m>^.

2

实数小的取值范围为[萼,+8).

解析：(1)依题意，可求得((K)=+2式久=?租"对?n分mW0,0<m<1与mN1三类

讨论，即可研究/(乃的单调性；

(2)令/i(%)=/(x)-2%,则h(x)=/(%)-2%在(0,+oo)上单调递增,于是当久>0时,h'(x)=

-2X+"'-：Lno恒成立=2mx2—2x+m-1>0(x>0)恒成立，从而可求得实数ni的取值范围.

本题考查函数恒成立问题，着重考查函数单调性的判定，突出分类讨论思想、函数方程思想的综合

应用，考查导数法与构造法，属于难题.

19.答案：解：(1)由对称性知MN,久轴于点(6,0),且|MN|=12

所以M(6,6),...(3分)

所以62=2px6[)_

所以p=3...(4分)卜tJ

所以曲线为必=6%…(5分)

(2)设4(打,%),8(%2，丫2)

因为(3,2)是4B中点

所以久1+x2=6,%+火=4...(6分)

则由点差法得k=泠=|…(8分)

%2一刀1Z

所以直线Z：3%—2y—5=0

由gqn得V_4y_10=0

(,3x—2y—5=0

所以由韦达定理=:“io分)

所以MB|=J(l+》(16+40)=亚券…(12分)

解析：(1)由对称性知MNlx轴于点(6,0),且|MN|=12,可得M的坐标，代入抛物线方程，即可求

曲线q的方程；

(2)利用点差法求出直线4B的斜率，可得的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式，可求线段4B

的长度.

本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题.

20.答案：(I)证明：在矩形2BCD中,AD//BC,

又力DC平面PBC,BCu平面PBC,

所以4。〃平面PBC

(II)解：如图，以2为坐标原点，射线2B、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐

标系4-xyz.

设。(0,a,0),则8(遥,0,0),C(V6,a,0),P(0,0,连)，E片,03

因此荏=(',0,净，BC=(0,a,0),PC=(V6,0,-V6).

则荏友=0，AE-PC=0,

因为BCnPC=C,

所以AE_L平面PBC.

又由AD//8C,知40//平面PBC,

故直线4。与平面P8C的距离为点4到平面PBC的距离，即为|旗|=百.

(皿)解：因为|而|=百，所以。(0,8,0),C(V6,V3,0).

设平面4EC的法向量元=Qi，yi，Zi),则可•前=0，4•荏=0.

(V6%!+V3y1=0

又刀=(伤,V5,o),用=(率,0,净,故彳伤,V6_

—XiH----Zi-0

I2,21

所以%=一/%1，Z]=—

可取久1=-y/2,则设=(-V2,2,V2).

设平面DEC的法向量局=(%％?)，则正.比=0，退•话=0,

又玩=（痣0,。），加=（彳,一旧净，故《犯：何2+%2=0

所以汽2=。，z?=V2y2,可取为=L则底=（0,1/V2）.

故cos<4,刘”黑=净

解析：（I）证明直线平面PBC,只需证明8c即可；

（□）建立空间直角坐标系，求直线力D与平面PBC的距离，转化为点4到平面PBC的距离；

（HI）若4。=3,求出平面2EC、平面DEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角4-也-。

的平面角的余弦值.

本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题

的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.

21.答案：解：（I）由已知得6=鱼，又e=£=宜，

a3

a2=2+c2,解得a?=3,

工椭圆C的方程为次+加=L

32

（n）由题意知直角的斜率存在，设直线［的方程为x=my+1,

22

代入勺+/=1'得（2血2+3）y2+4my-4=0,

设”（久1，月），可（%2，%），则%+光=一^^，①

为力=一高,②

=771

又％1=myr+1,x2y2+1，

OM-~ON=%1%2+=（小力+1）（W2+1）+>1%

=（m2+1）（乃丫2）+M（%+%）+1=—1，③

将①②代入③得加=土日，

,V2「

・•・X=±力+1，

直线I的方程为2x-V2y-2=0,或2x+V2y-2=0.

22

（川）设直线I的方程为x=my+1,代入手+3=1,

得（2m2+3）y2+4my-4=0,

设MQi，乃），N（x2,y2）,则有：

TTI/x4/

%+.%=一4赤,①'为%=一去,②

\MN\=J（冷一久1）2+（光一月）2

=J1+m2J（、2+-1）2—4yly2

/-------4mc4

=J1+-2（-,）2+4­.2,.

[27nz2+372mz+3

_4V3（l+m2）

—2m2+3'

29

设力B的直线方程为X=my,代入二+匕=1,

得好=-7?设力（乂3，%），8（%4，”），

|4B|2=（Jl+m21y3-％1）2

=（1+m2）4y2=24（1："）,

vJ>2m2+3

.."2=IW=2遮=V12,

\MN\

A=V12.

解析：(1)由已知得6=/，又e=£=且，由此能求出椭圆C的方程.

a3

22

(II)设直线/的方程为％=zny+1,代入^■+/=1,得(2/+3)y2+4my-4=0,由此利用韦达

定理、向量数量积和已知条件能求出直线1的方程.

(HI)设直线［的方程为％=my+1,代入卷+y=1，得(2m2+3)y2+4?71y—4=0,由此利用弦长

公式结合已知条件能求出常数人

本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真

审题，注意弦长公式的合理运用.

y

-1

-I-I

解