人教版八年级数学下册知识点总结归纳

第十六章二次根式

1.二次根式：一般地，式子布，(aNO)叫做二次根式.

注意：(1)若aNO这个条件不成立，则而不是二次根式；

(2)4是一个重要的非负数，即；W20.

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

3.重要公式：(1)(4)2=a(a>0),(2)行=|a|={\(^<o);注意使用a=(指尸(a>0).

⑶积的算术平方根：Vab=V^-Vb(a>0,b>0),

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

4.二次根式的乘法法则：五.网=弧(a>0,b>0).

5.二次根式比较大小的方法:

（1）利用近似值比大小;

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;

（3）分别平方，然后比大小.

6.商的算术平方根:(a>0,b>0),

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

7.二次根式的除法法则:

鲁氐20,b>0)；(2)Va-5-Vb=Ja+b(a>0,b>0)；

(1)

b

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化;

具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.

8.常用分母有理化因式：&与&,而与6+而，+nVU与-n石，它们也叫

互为有理化因式.

9.最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，

①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母;

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10.二次根式化简题的几种类型：

（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.

11.同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

12.二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理

数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除

法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

13数学口诀.

平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首土尾括

号带平方，尾项符号随中央。

第十七章勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c）

2.勾股定理逆定理:

222

如果三角形三边长a,b,c满足a+b=co,那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,

那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)

4.直角三角形的性质

(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：ZC=90°=>ZA+ZB=90°

(2)、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°}

可表示如下：ZC=90°=>BC=-AB

2

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90°]

可表示如下：D为AB的中点nCD=lAB=BD=AD

2

5、常用关系式(等面积法)

由三角形面积公式可得：AB.CD=AC.BC

7、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系/+〃=°2,那么这个

三角形是直角三角形。

8、命题

（1）、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

Y

命题假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

（2）原命题、逆命题

题设与结论正好相反（互逆命题）

6、证明的一般步骤

(1)根据题意，画出图形。

(2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第十八章平行四边形

1.

2.四边形的内角和与外角和定理：几何表达式举例：

(1)四边形的内角和等于360。；AAZ(1)VZA+ZB+ZC+ZD=360°

(2)四边形的外角和等于360°.

BCBC

(2)VZl+Z2+Z3+Z4=360°

2.多边形的内角和与外角和定理：几何表达式举例：

(1)n边形的内角和等于(n-2)180°；略

(2)任意多边形的外角和等于360°.

3.平行四边形的性质：几何表达式举例：

.(D两组对边分别平行；(1)VABCD是平行四边形

(2)两组对边分别相等；

，AB〃CDAD〃BC

因为ABCD是平行四边形？(3)两组对角分别相等；

(4)对角线互相平分；

(2)VABCD是平行四边形

(5)邻角互补.

.\AB=CDAD=BC

(3)VABCD是平行四边形

・•・NABONADC

ZDAB=ZBCD

(4)VABCD是平行四边形

.\OA=OCOB=OD

(5)VABCD是平行四边形

AZCDA+ZBAD=180°

4.平行四边形的判定：几何表达式举例：

(1)两组对边分别平行'(1)VAB/7CDAD/7BC

(2)两组对边分别相等

...四边形ABCD是平行四边形

(3)两组对角分别相等ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等

(2)VAB=CDAD=BC

(5)对角线互相平分

D_____________C

四边形ABCD是平行四边形

AB⑶..........

5.矩形的性质:几何表达式举例:

[(1)具有平行四边形的所有通性;⑴

因为ABCD是矩形？⑵四个角都是直角；

(2)VABCD是矩形

⑶对角线相等.

.,.ZA=ZB=ZC=ZD=90a

⑵(1)(3)

(3)VABCD是矩形

.,.AC=BD

6.矩形的判定:几何表达式举例:

(1)VABCD是平行四边形

(1)平行四边形+一个直角

(2)三个角都是直角，？四边形ABCD是矩形.

XVZA=90°

(3)对角线相等的平行四边形

四边形ABCD是矩形

(1)(2)

(2)VZA=ZB=ZC=ZD=90°

四边形ABCD是矩形

7.菱形的性质:几何表达式举例:

因为ABCD是菱形⑴

(2)VABCD是菱形

(1)具有平行四边形的所有通性;

?.(2)四个边都相等；

.*.AB=BC=CD=DA

(3)对角线垂直且平分对角.

(3)VABCD是菱形

.-.AC±BDZADB=ZCDB

8.菱形的判定:几何表达式举例:

(1)VABCD是平行四边形

(1)平行四边形+一组邻边等'

(2)四个边都相等一?四边形四边形ABCD是菱形.

,ZDA=DC

(3)对角线垂直的平行四边形D

，四边形ABCD是菱形

B

(2)：AB=BC=CD=DA

四边形ABCD是菱形

(3)：ABCD是平行四边形

VAC1BD

四边形ABCD是菱形

9.正方形的性质：几何表达式举例：

因为ABCD是正方形⑴..........

'⑴具有平行四边形的所有通性；(2),・,ABCD是正方形

?-(2)四个边都相等，四个角都是直角；

.\AB=BC=CD=DA

(3)对角线相等垂直且平分对角.

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

口因

(3)・・・ABCD是正方形

/.AC=BDAC±BD

AB⑴AB(2)(3)

10.正方形的判定：几何表达式举例：

(l)VABCD是平行四边形

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角.

(2)菱形+一个直角门四边形ABCD是正方形.

又•.•AD=ABNABC=90°

(3)矩形+一组邻边等

□

四边形ABCD是正方形

(2)VABCD是菱形

AB

XVZABC=90"

四边形ABCD是正方形(3)VABCD

是矩形

又；AD=AB

，四边形ABCD是正方形

14.三角形中位线定理：A

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

BC

一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，

平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，三角形中位线，

二定理：中心对称的有关定理

※上关于中心对称的两个图形是全等形.

X2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图

形关于这一点对称.

三公式：

1.S菱形='ab=ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，h为c边上的高）

2

2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

四常识:

1.若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：型=2.

2

2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

平行四边形

3.如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4.常见图形中，

仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、

仅是中心对称图形的有：平行四边形

是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、注意：线段有两条对称轴.

X5.梯形中常见的辅助线：

X6.几个常见的面积等式和关于面积的真命题:

BEC

CB

如图：若ABCD是平行四边如图：若AABC中，ZACB=90°,且如图：若ABCD是菱形,

形，且AE_LBC,AF_LCD那么:CD1AB,那么：

且BE_LAD,那么：

AE•BC=AF•CD.AC•BC=CD•AB.

AC-BD=2BE•AD.

如图：若AABC中，且BE如图：如图：若AD〃BC,那么：

±AC,AD±BC,那么：

(1)SAABC=SABDC；

S,_BD

AD•BC=BE•AC.S7-DC,

(2)SAABD=SAACD.

第十九章一次函数

一.常量、变量:

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每

一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的

函数.

三、函数中自变量取值范围的求法:

(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

(3)用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是被开方数a20。

(4)若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其

公共范围，即为自变量的取值范围。

(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值

分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数

的图象.

五、用描点法画函数的图象的一般步骤

1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。)

注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描

出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：

（1）列表法（2）图像法（3）解析式法

七、正比例函数与一次函数的概念：

一般地，形如y=kx（k为常数，且kWO）的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系

数。

一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且kWO）的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

八、正比例函数的图象与性质：

（1）图象：正比例函数y=kx（k是常数，kWO））的图象是经过原点的一条直线，我们

称它为直线y=kxo

（2）性质:当k>0时,

直线y=kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;

当k<0时,

直线y=kx经过二，四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

九、求函数解析式的方法：

待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，

从而具体写出这个式子的方法。

1.

2.一次函数与一元一次方程：

从“数”的角度看x为何值时函数尸ax历的值为0.

3.

4.求ax+Z?=0（a,6是常数，aWO）的解，

从“形”的角度看，求直线尸ax+6与x轴交点的横坐标

5.

6.一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+6>0（a,力是常数，aWO）.

从“数”的角度看，x为何值时函数班的值大于0.

4.解不等式ax+6>0（a,8是常数，aWO）.从“形”的角度看,求直线尸ax班在x

轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围.

十、一次函数与正比例函数的图象与性质

一次函数[y=kx+b（k、b是常数,kWO]

如果y=kx+b（k、b是常数，kWO）,那么y叫x的一次函数

概念

.当b=0时，一次函数y=kx（kWO）也叫正比例函数.

图像一条直线

k>0时，y随x的增大（或减小）而增大（或减小）；

性质

k<0时，y随x的增大（或减小）而减小（或增大）.

（1）k>0,b>0图像经过一、二、三象限；

直线y=kx+b

（k#O）的位（2）k>0,bVO图像经过一、三、四象限；

置与k、b符号

之间的关系.（3）k>0,b=0图像经过一、三象限；

(4)k<0,b>0图像经过一、二、四象限；

(5)k<0,bVO图像经过二、三、四象限；

(6)k<0,b=0图像经过二、四象限。

一次函数表求一次函数y=kx+b(k、b是常数，kNO)时，需要由两个点来

达式的确定确定；求正比例函数y=kx(kWO)时，只需一个点即可.

一次函数重点知识归纳：

1、自变量的取值范围考虑因素：

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

2、一次函数的定义

一般地，形如产履+)(3〃是常数，且心。)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

当时，一次函数)'=依，又叫做正比例函数。

(1)

⑵次函数的解析式的形式是>="+匕，

要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.

⑵当b=o,心o时，卜="仍是一次函数.

⑶当6=0,左=0时，它不是一次函数.

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，厚0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零

(1)

(2)解析式：y=kx(k是常数，kWO)

(3)

(4)必过点：(0,0)、(1,k)

(5)

(6)走向：k〉0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(7)

(8)增减性：k〉0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

(9)

(10)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，修0),那么y叫做x的一次函数.

当b=0时，y=kx+l^Ry=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数

一次函数丫=1«^4)的图象是经过(0,b)和0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,

K

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，koO)(2)必过点：(0,b)和0)

k

(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限

b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限

k>口k>0

O直线经过第一、二、三象限O直线经过第一、三、四象限

/?>0[/?<0

k<0<0

O直线经过第一、二、四象限。直线经过第二、三、四象限

b>0,<0

(4)增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小.

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;

4、一次函数丫=1«+1）的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线,

所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.

一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0,b）,〔一至即横坐标或纵坐标为o的点.

b>0b<0b=0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

kX)

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

经过第二、四象限

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限

k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数一次函数

概念一般地，形如y=kx（k是常数，k，0）的函一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k#0）,那么y叫做

数叫做正比例函数，其中k叫做比例系x的一次函数.当b=0时，是丫=1«,所以说正比例函数

数是一种特殊的一次函数.

自变量X为全体实数

范围

图象一条直线

必过点(0,0)、(1,k)b

(0,b)和0)