2020-2021学年常州市溧阳市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年常州市滦阳市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设a,b是两条直线，a,/?是两个平面，且a1a,b1贝!J"a1夕”是“a1b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知等差数列除/*中，%开/-%；=1虬漓也一逸=4,记虱=：%#蜘-H-…H■迎，S3=（）

A.78B.68C.56D.52

3.不等式一2/+%+3〈0的解集是（）

qq

A.{x|-1<x<-}B.{x\x<-1或x>-}

C.{x\x<-1或x>1}D.{x\-^<x<l}

4.“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停

的吞食沿途的每一个格点（不包括原点）.已知贪吃蛇的初始长为0,并且每吞食一个格点，长度就

增加1个单位，如它头部到达点22（2,2）,其长度增加到12,若当它头部到达点Pg（9,9）时，则它

的长度增加到（）

5.已知正四棱锥S-28C。的侧棱长与底面边长都等于2,点£■是棱SB的中点，则直线4E与直线SD

所成的角的余弦值为（）

A农B."C.但D.如

2323

6.已知6、尸2为椭圆的两个焦点，以线段居尸2为一边的正方形4BF2a与椭圆交于M，N两点，且M,

N分别为边的中点，则椭圆的离心率为（）

A.V3-1B.V5-1C.旦D.红

22

22

7.设双曲线C：土—匕=1的左、右焦点分别为Fi、F,过FI的直线与双曲线C交于M,N两点，其

8m=2

中M在左支上，N在右支上.若乙F2MN=LFzNM,则|MN|=（）

A.8B.4C.8V2D.4A/2

8.设点P是圆C：（x+4）2+（y—2）2=5上的动点，则点P到原点距离的最大值为（）

A.V5B.2V5C.3V5D.4遮

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知a>0,b>0,a+b=l,对于代数式（1+今（1+》，下列说法正确的是（）

A.最小值为9B.最大值是9

C.当a=b=衬取得最小值D.当a=b=封取得最大值

10.下列结论正确的是（）

A.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB

B,在锐角三角形ABC中，不等式庐+c2-a2>0恒成立

C.在△ABC中，若acosB—bcosA=c,则△ABC是直角三角形

D.在AABC中，若b=3,A=60°,S&ABC=35则△ABC的外接圆半径为当

22

11.已知4B是双曲线C：京—翥=l（a>03>0）上关于原点对称的两点，点P是双曲线C的右支

上位于第一象限的动点，记P4PB的斜率分别为七，k2,且满足自42=9,则下列说法正确

的是（）

A.双曲线C的离心率为2

B.双曲线C的渐近线方程为、=土号光

2

C.若依用的最小值为4,则双曲线方程为9—V=1

4

D.存在点P,使得闷+|句=）

12.已知等比数列｛5｝公比为q,前几项和为分,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是（）

A.q=2B.衿9

C.S3,S6,S9成等比数列D.Sn=2an+ar

三、单空题（本大题共4小题，共20・0分）

13.设平面上向量为=(cosa,sina),(0<a<TT),b=(-py)j若|b五+3|=|五一则角

a的大小为.

C-i

14.在AABC中，2H为BC边上的高,tan]=m，则过点C,以4H为焦点的双曲线的离心率为.

15.设椭圆盘+箕=l(a>b>0)的焦点为0,F2,P是椭圆上一点，且乙F/F2=5,若ABPa的

外接圆和内切圆的半径分别为R，r,当R=4r时，椭圆的离心率为.

2

16.数列｛%J,an=n-An,若为递增数列，贝"的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.若数列2：cii，a2>厮何>3)中心6N*(l<i<n)且对任意的2<k<n-1,ak+1+ak_r>

2以恒成立，则称数列4为“U—数列”.

(1)若数列1,x,y,7为“U-数列”，写出所有可能的x、y；

(2)若“U—数列”4：的，a2,厮中，的=1,an=2017,求九的最大值；

(3)设他为给定的偶数，对所有可能的"U-数列"A：的,a2,ano,=max｛a1,a2,,anQ],

其中max｛久i，尤2,表示Xi，%2，…，/这s个数中最大的数，求M的最小值.

18.如图，P—4BD和Q—BCD为两个全等的正棱锥，且4B,C,D四点共面，其中4B=1,4APB=

90°.

(I)求证：BD1平面APQ；

(□)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值.

19.已知数列｛即｝是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n项和为•as=81,S2,a3,

。4-S3成等差数列.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)若,求｛斯•.｝的前几项和七，并求6的最小值.

从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题.

①数列｛%｝满足：仇=|,3%+1=2r.(neN*)；

②数列｛,｝的前n项和七=n2(nGN*)；

③数列｛小｝的前几项和心满足：6Tn-bn=5(nGN*).

20.如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，侧面PAD是正三角形,

且侧面PAD1底面4BCD,E为侧棱PD的中点.

(1)求证：〃平面瓦4C；

(2)若AD=2AB=2,求直线PB与平面4BCD所成角的正切值；

(3)当称为何值时，PB1AC?

22

21.已知椭圆胃+'=1的两个焦点为a(-c,0)、F2(C,0),是与匕2的等差中项，其中心氏。都

是正数，过点4(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为当

(1)求椭圆的方程；

(2)过点4作直线交椭圆于另一点M,求|4M|长度的最大值；

(3)已知定点E(-1,0),直线y=/cc+t与椭圆交于C、。相异两点.证明：对任意的t>0,都存在实

数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.

22

22.已知F],尸2是椭圆氏京+今=l(a>b>0)的两个焦点，抛物线

y2=4%的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y=%+百上到焦点F「

F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，过点S(0,-｝的动直线I交椭圆于4、B两点，是否存在定点M,使以2B为直径的圆恒过这

个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由a1a,bLB，aJ_0na_Lb,

若a_La,b1p,alb,可得a与/的二面角为直角，a10,

可得a，a,bl。，贝lj“aJ.段'是“a的充要条件，

故选：C.

利用线面、面面垂直的性质与判定即可判断出关系.

本题考查了线面、面面垂直的性质与判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

2.答案：D

■f=4

解桁、#%办桁J嗨#维一嚓=(©|颜-目IMS,...

解析：试题分析：•••,;八，••1?门，••得怜=工,耐I界------娘;=弗.

:痴F=琳|,/=1鬟

考点：1.等差数列的通项公式；2,等差数列的前几项和公式.

3.答案：B

解析：解：不等式式一2x2+%+3<0,即2/-%-3>0,即。+1)(2%-3)>0,解得汽<一1或

O

故不等式一2x2+%+3<0的解集是｛%[%<一1或汽>

故选：B.

将不等式变形为。+1)(2%-3)>0,由一元二次不等式的解法得出答案.

本题考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是掌握一元二次不等式的求解步骤，属于基础题.

4.答案：B

解析：解：根据题意，设贪吃蛇的头部到达点(几,九)时的长度为斯，

则臼=2,

+10，即—=10,

。3=。2+18,即%—。2=18,

以此类推：an-an_r=8n-6,

——2

贝!J有Cln=(Cln—Cln-])+(Gn-1On-2)+……+(。2。1)+的=4n—271,

当n=9时，有cig=306；

故选:B.

根据题意，设贪吃蛇的头部到达点(心冗)时的长度为与，归纳分析可得Cln-anT=8践-6,由累加

法分析可得a“的值，将n=9代入即可得答案.

本题考查归纳推理的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：如图,

连接AC,BD,交于0,连接E0,

.­.E0//SD,贝!)直线2E与直线SD所成的角为NAE。.

••・正四棱锥S-的侧棱长与底面边长都等于2,

A0—V2,AE-V3>

在RtA40E中，E0=y]AE2-AO2=(V3)2-(V2)2=1.

,〃cE01V3

・•・cosZ-AE17O=—=-p=—•

AEy/33

故选：D.

由题意画出图形，连接AC,BD,交于0,连接E。，可得E0〃SD,则N4E。为直线4E与直线SD所成

的角，求解直角三角形得答案.

本题考查异面直线所成的角，关键是由异面直线所成角的定义找出角，是中档题.

6.答案：D

解析：解：连结MF2,如图，则正方形28尸2&

的边长为2c,

M,N分别为边ZFi，的中点，；•MF1=

c,

由勾股定理可知：MF2=JM母+FH=

yjc2+(2c)2=V5c,

由椭圆定义可知：2a=MF1+MF2=(1+

V5)c，

一、+CcV5-1

二用心率6=二再凝=才，

故选：D.

通过连结MF2，易得MFI=C,利用勾股定理及椭圆定义计算即得结论.

本题考查求椭圆的离心率，涉及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.

7.答案：C

解析：

根据双曲线的定义得出|F】M|和|6N|的大小关系即可.

本题考查抛物线的定义性质的应用，结合图形性质是解决问题的方法之一.

解：由双曲线的性质可知：|尸2阳=2a=4企，

|&N|-\F2N\=2a=4>②

•••|F2M|=\FrM\+4VL=\F2N\+4vL

v乙F2MN=乙F2NM,：.\F2M\=

=\F1M\+8&,

.一.|MN|=\F±N\-\FrM\=8V2.

故选：C.

8.答案：C

解析：

本题考查圆的方程，考查|0P|的最大值，正确利用圆的图形的特殊性是关键，属于较易题.

求出圆心与半径，即可求出|0P|的最大值.

解：圆C：(%+4)2+(y—2)2=5的圆心坐标为C(—4,2),半径为r=时，

•・•点。为坐标原点，

•••|0P|的最大值为|0C|+「=，16+4+遮=3V5.

故选c.

9.答案：AC

解析：解：因为。>0,6>0,

所以？>0,->0,

ba

又。+b=1,

则(1+》(1+》

=(1+等)(1+，

=(2+今(2+)

2a_2b

{a+b=1

所以（1+》（1+》的最小值为9,故选项A正确，选项B错误；

当a=b=之时取得最小值，故选项C正确，选项。错误.

故选：AC.

利用“1”的代换将所求式子进行变形，然后再利用基本不等式求解最值，由此判断四个选项即可.

本题考查了利用基本不等式求解最值的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求

解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题.

10.答案：ABC

解析：解：对于A：在中，若4>8,故a>6,利用正弦定理：sinA>sinB,故A正确；

对于B：在锐角△ABC中，0<4<所以cosA>0,故cosA=史二^幺>0,所以b2+c2-a2>0

22bc

恒成立，故8正确；

对于C：在^ABC中，若acosB—bcosA=c,整理得：sinAcosB—sinBcosA=sinC,所以2—B=C,

由于4+B+C=〃，解得4=壬则△ABC是直角三角形，故C正确；

对于D：在AABC中，若b=3,2=60。,三角形面积S=3百,所以S=^bcs讥A=^x3xcx?=3>/3,

解得c=4,

ccc___ccaV132V39

所以a?=b2+c2-2bccos4=13,所以a=g,贝必氏=诉=苫=三一，故。错误;

2

故选：ABC.

直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用判断4、B、C、D的结论.

本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题.

11.答案：BC

解析：解:设P(s,t),A(m,n),则B(-m,-n),

两式相减可得号=字

a2b2

222

即有t-n__b

s2-m2a2

产一九2_眩_1

则k他t-nt+n

s-ms+ms2-m2a24,

双曲线的渐近线方程为丫=±：x，故B正确;

若|4B|的最小值为4,即有2a=4,即a=2,

由b=：1a,可得b=l,则双曲线的方程为2二—V=1,故C正确；

24,

由卜1k2=可得|七|+|/^2|>2，牝1左2|=1>而?<1,故不存在点P,使得|自I+%2I=故。

错误.

故选：BC.

由点差法和直线的斜率公式，推得a,b的关系，可得双曲线的离心率，可判断4求得渐近线方程，

可判断8；由|2B|的最小值，可得a=2,求得b,可判断C；由基本不等式可判断D.

本题考查双曲线的方程和性质，以及基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属

于中档题.

12.答案：AB

解析：解:根据题意，等比数列｛册｝中,

对于4若a6=8&3，则有q3=渠=8,解可得q=2,A正确，

u3

ai(l-q6)

对于B,由q=2,则||=就勒=彳=9,8正确，

1-q

对于C,由q=2,则S3="式：]，)=7a、,S6=写手=63a「S9=当尹=511a「S3,S6,S9不

是等比数列，C错误，

n-1n-1

对于D,由q=2,贝!]S71a工；_：)=(2.-1)的,an=arxq=2a1,=2ci"+的不成立，D

错误，

故选：AB.

根据题意，由等比数列的性质依次分析4个选项，综合即可得答案.

本题考查等比数列的前n项和的计算，涉及等比数列的通项公式和性质，属于基础题.

13.答案：£

解析：W：•••\V3a+b\=\a-V3b\，

3a2+K2+2V3a-K=a2+3K2-2V3a-K>

a=(cosa,sina),b=(—|,—),

***3+1+2V3五•b=1+3—2y/3五♦b，•,•方•b=0,

--cosa+—sina=sinfcr--)=0,且0Wa<7i,-y<a—y<^-,

22k6y666

71

•••a——冗=c0,・•・a=-

66

故答案为：?

o

根据条件对(g有+&2=@一百52进行数量积的运算即可得出五苇=0,然后即可得出sin(a-

5=0,然后根据a的范围即可求出a的大小.

本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属

于中档题.

14.答案：2

Q

解析：解：如图所示，由tang=3得tcmC=-^=[.

NN1-tan2-§

2

由题可知a”_LBC,以4"为焦点的双曲线的离心率e=1a

AC—Ln

•••A4HC为直角三角形，且tcmC=芸=：,

Ln3

・•・可设/H=4a,CH=3a,贝！JAC=5a,所以离心率e="=工~—=2.

AC-CH5a-3a

故答案为2

先利用二倍角公式由tang=g得tcmC=震=g再设/"=4a,CH=3a,则AC=5a,最后利用

乙ZCn3

双曲线定义知离心率为厂，，代入计算即可

AC—Cn

本题考察了双曲线的定义和几何性质，离心率的意义和求法，二倍角公式的运用.

15.答案：|

解析：

本题考查三角形的正余弦定理的应用，三角形面积相等的应用，椭圆的性质，属于中档题.

由正弦定理可得三角形的外接圆的半径R的值，由余弦定理可得IP&IIPF2I的值，再由三角形的面积

相等可得内切圆的半径r的值，再由R与r的关系求出a,c的关系，求出离心率的值.

解：AfiPF2的外接圆的半径R，由正弦定理2R=£^第=施，

所以R=4^C,

3

又由于R=4r,所以7=3c,

6

2

在^^尸尸2中，由余弦定理可得|a尸2『=|PF1|2+\PF2\-2\PF1\\PF2\­cos乙F1PF2,

IT

而N&PF2=-)

2

所以4c2=4a-3\PF1\\PF2\,

22

所以可得：\PF1\\PF2\=^a-c),

由三角形的面积相等可得：*|PFi|+\PF2\+\FrF2\)-r=l\PF1\\PF2\sinAF1PF2,

所以(2a+2c)r=1(a2—c2)•今,

所以2(a+c)fc=g(a2—c2)•

整理可得：3?2-^-2=0,解得或e=-l,

故答案为：|.

16.答案：(-8,3)

解析：解：•・・数列｛&J的通项公式为%=层一加，

对于任意自然数纵n>1)都是递增数歹U,

二根据二次函数的性质可得?<|,

解得4<3,

故答案为：(-8,3).

利用数列的通项公式，结合数列的单调性进行求解即可.

本题主要考查数列的函数性质的应用，利用数列的单调性是解决本题的关键.

17.答案：解：(l)x=l时，所以y=2或3；

x=2时，［2+7所以好生

心3时，I；?；禽，无整数解；

所以所有可能的％,y为后二；，后二;或［；二；

(2)相的最大值为65,理由如下：

a

一'方面，注意到：。上+1+Qk-1>2aze=。上+1—G/c>Q/c-k-l•

对任意的1<i<n-1,令加=ai+1-a”则瓦GZ且瓦>bk_r(2<fc<n-1),故瓦>b”i+1对

任意的2WkWzi-l恒成立.(*)

当％=1,an=2017时,注意到瓦=a2-a1>1-1=0,得瓦=(瓦-瓦-)+(b1-瓦-2)T---卜

1+1+---+1

(。2—瓦)+瓦2i—1个+0=i—1(2WiWn-1)

a=

即加之i—1,止匕时a九一a1=(a九—dn-i)+(a九一］—dn-2)+…+(如—i)bn_1+bn_2+…+

>0+1+2+-+(n-2)=|(n-l)(n-2),(**)

即:(ri-1)(71—2)W2017—1,解得：—62WnW65,故nW65.

另一方面，为使(**)取到等号，所以取仇=»—1(1Wi<64),则对任意的2<kW64,bk>bk_1,

故数列｛%J为“U-数列”，

此时由(**)式得。65-%,=0+1+2+…+63=更尹=2016,

所以。65=2017,即几=65符合题意.综上，门的最大值为65.

(3)M的最小值为正炉，证明如下：

当几o=2m(m>2,mEN*)时，

一方面：由(*)式，瓦+i-bk>1,bm+k-bk=Qbm+k-6m+fc-i)+(bm+k-l~bm+k-2)----(瓦+1一

bk)>m.此时有：

(al+a2m)~(am+am+l)=(a2m-am+l)一(am一al)

b-b

=(%+l+m+2----12m-l)一(瓦+厉+…+6m-i)

=(%+1—瓦)+(%+2一》2)+…+(^2m+l—bm-l)

>m+m+—\-m=m(m—1).

即(由+a2m)>(am+am+1)+m(m-1)

故M>%+。2崔>=+=+1+皿徵-1)>l+l+mQ-l)

因为馆=:，所以M>l+计.既f=诟-2g+8,

另­.方面，当瓦—1—TiTyb?=2—772,…，^rn-1=-1，=0，^m+1=1，^2m-l=血—1时，

以+i+ak_r-2ak=(以+i-/)-(纵一纵_1)=bk-bk_r=1>0

=1，贝U&n+1=1，>。2>。3>…，％?1+1<^m+2<…<。27?1，

a

且电=am-(瓦+与+…+6m-i)=-m(m-1)+la2m=m+l+(^m+1+bm+2+…+^2m-l)=

1m(m—1)+1

此时M=a=a=-m(m—1)+1=沏-2几。+8.

r2m28

综上，M的最小值为"Hno+8.

8

解析：(1)根据“u—数列”的定义可得：x=l时，［；：；］：”；x=2时，A：；；：”；xN3时，

g+7>2/解出即可得出.

(2)九的最大值为65,理由如下：一方面，注意到：%+i+以_1>2以=以+i-以>a上一对

任意的1<i<n-1,令氏=ai+1-at,可得加GZ且瓦>h/c_1(2<fc<n-1),故瓦>bk_r+1对

任意的2<k<n-1恒成立.当电=1,an=2017时，注意到瓦=^-^>1-1=0,利用裂项

求和方法可得灰>i-1.(2<i<n-1).即瓦>i-1,此时即-ar=(an-an_x)+(a71T-an_2)+

11

aa

…+(2—i)=bn—+bn_2+…+瓦>-(n—l)(n—2),BP-(n—1)(n—2)<2017—1,解得n<

65.另一方面，取仇=i-1(1Wi<64),可得对任意的2</c<64,bk>bk_r,故数列｛即｝为“U—

数列”，进而得出.

(3)M的最小值为暗一2"+8,分析如下：当几0=2m(m>2,meN*)时，一方面：由(*)式，瓦+1一员之1,

8

b

bm+k_bk=(bm+k-bm+k-i)+(bm+k-1-m+k-2)----(M+l-玩)>m.此时有：的+a2m-

(am+cim+1)2租(租—1)，即a+a2m)>(am+am+1)+m(m-1)可得M>之十一厂。.又m=y,

可得M>1+1+^T)=诟-2%+8,

~28

另'万面，当瓦=1-771fZ72=2—TTLf...jbm-1~-1，=0，^m+1=1，^2m-l=血一1时，

Qjc+i+Q/c-i—2耿=(耿+i—Q/c)—9k—。上-1)=bk—bk—i=1>0,取a7n=1,则a/n+i.=1，a]>

1

mm

a2>a3>…>am,am+1<am+2<•••<a2m,且的=am-(瓦+历■1----^m-i)=-(-D+L

此时M=%=a2m=-m(m—1)+1=迎卫吐^即可得出.

28

本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理

能力与计算能力，属于难题.

18.答案：（I）证明：由P—ABD,Q—BCD是相同正三棱锥，且

4APB=90°,

分另IJ过P、Q作PE1平面28。，QF1平面BCD,垂足分另U为E、F,

则E、F分别为底面正三角形28。与BCD的中心.

连接EF交BD于G,则G为BD的中点，连接PG、QG,贝l]PG1BD,

QG1BD,

又PGCQG=G,；.BD1平面PQG,则BD1PQ,

再由正三棱锥的性质可得P21BD,

又PQnPA=P,BD_L平面4PQ；

（U）••,正三棱锥的底面边长为1,且乙4PB=90。,

：.PQ=EF=2EG=2^AG=2X^^,

=J（¥）2_（q）2=]

PE

11V3V6.V2

则Vg_pQQ-x-X—X——X1

323636

△POQ底边PQ上的高为j*-(/=等

1V3V15V5

-X-X—=

S〉PDQ—23612

设B到平面PQD的距离为％,贝壮x渔八=也，得八=叵.

312365

Vio厂

.•・直线PB与平面PDQ所成角的正弦值为量=等.

2

解析：本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练

了利用等积法求多面体的体积，是中档题.

（I）由题意分另IJ过P、Q作平面ABD,QF1平面BCD,可得E、F分另U为底面正三角形4BD与BCD

的中心.连接EF交BD于G,可得PG1BD,QG1BD,由线面垂直的判定及性质可得BD1PQ,再

由正三棱锥的性质可得PA1BD,则8。，平面2PQ；

（II）由已知求得PQ,PE的长，求得四面体B—PQD的体积，利用等积法求出B到平面PQD的距离，

则直线PB与平面PDQ所成角的正弦值可求.

19.答案：解：（1）设数列｛即｝的公比为q,则由即＞0,%-as=81,所以退=81,

因为即＞0,所以=9,

因为52，a3，。4一S3成等差数列，所以2a3=$2+—S3,

即3a3=a4，所以q=,=3,所以的_=1,

所以a九=371T.

(2)选择①：因为瓦=53fon+1=^-bn(nGW*),

所用=\二£N*),

/ZI7

bn3n+2、

llt、r匕211

所以丁=£X鼻；

匕3_1*2

^-3X4；

^4_13

———X—•

匕335'

bn1n-lbbb12

。—x___2____3x——■X•••nX。—____x________

n_1

bn_13几+1瓦b2bn_i3n(n+1)

1i

所以狐=布,诉p

当九=1时也成立.

所以Cn=an•bn=/1、=------,

小八九nnn（n+i）nn+1

所以4=（1+（3_+）=1_右=公,

因为七是递增的，

所以七的最小值为Pi=1,

选择②：由〃可知：

当n=1时，b]=7\=1,

22

当n>2时，bn=Tn-Tn-i=n-(n-l)=2n-1,验证当n=1时亦满足此关系,

所以酊=2n-l

n-1

所以％=anbn=(2n-1)-3

所以6=1x1+3x3+5x32+.••+(2n-1)x311-1,

3/^=1X3+3X32+5X33+…+(2n-1)X3n,

所以匕=(n—1)-3.+1,

因为6是递增的，所以发的最小值A=1,

选择③：因为6〃—.=5(neN*),所

以67n一1—生_1=5(几22),

两式相减得6(〃-rn_j-(bn-bn_j=o,

即5b7+bn_1=0(n>2),

所以产=一式/122)

Dn-15

而6Tl—瓦=5,即瓦=1

所以数列｛,｝是以1为首项，为公比的等比数列，

所以g=(一｝nT,

所以“=anbn=(一|尸,

所以匕=三仁="1一(—6"]，

当几为奇数时，由于(一|)九V0,

故心>

当n为偶数时，由于(一|严>0,

故4<|，

由匕=I[1-(-|用在葭为偶数时单调递增，

o5

所以当71=2时，6的最小值为"号=|.

o255

解析：⑴利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式;

（2）选①时，利用叠乘法的应用和数列的单调性的应用求出结果；选②时，利用乘公比错位相减法

求出结果.选③时，利用数列的单调性求出结果.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，数列的单调性的

应用，叠乘法，乘公比错位相减法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

20.答案：（1）证明：连接BD交4C于0,连接E0,

因为。、E分别为BD、PD的中点，

所以E0〃P8,…（2分）

因为EOu平面E4C,PBC平面EAC,

所以PB〃平面E4C.…（4分）

（2）解：设N为4D中点，连接PN,BN,贝l]PN14D...（5分）

又面PAD_L底面ABCD,

所以PN_L底面4BCD…（6分）

所以NPBN为直线PB与平面ABCD所成的角，...（7分）

又AD=2AB=2,贝UPN=百,NB=五，…（8分）

所以tan/PBN=盘=乎，

即PB与平面2BCD所成角正切为值日...（9分）

（3）由（2）知，NB为PB在面4BCD上的射影，要使PB12C,需且只需NB，4C.（10分）

在矩形4BCD中，设4D=LAB=x,AN=|,

由N4NB=^BAC,得Rt△NAB®△CBA,...（11分）

ANAB.,-.7AKTr-»z-»71

AB2=AN'BC=>x2=-

一AB=—BC=2

解之得：久=芋，...（13分）

所以，当胎=加时，PB1AC…,（14分）

解析：（1）要证PB〃平面E4C,根据线面平行的判定定理，只需证明PB平行于平面区4c中的一条直

线.连接BD交4C于。，连接E。，因为。、E分别为BD、的中点，根据三角形的中位线的性质，

可知EO〃PB,从而问题得证；

（2）设N为AD中点，连接PN,BN,则PNJ.4D,从而可得NPBN为直线PB与平面4BCD所成的角，

进而可求PB与平面4BCD所成角正切值；

(3)由(2)知，NB为PB在面ABC。上的射影，要使P8,4C,需且只需N8LAC,mRtANAB^RtA

CBA,可求得空=&时，PB_L4C.

AB

本题考查的重点是线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角，解题的关键是正确运用线面垂直的

判定，正确作出线面角，有综合性.

21.答案：(1)解：在椭圆中，由已知得02=£12-匕2=手(1分)

过点4(0,-b)和B(a,0)的直线方程为，+[=1,即bx-ay-ab=0,

该直线与原点的距离为攻，由点到直线的距离公式得：点力=@(3分)

2y/a2+b22ky