专转本模拟试题与解析(四)

第第页专转本模拟试题与解析(四)江苏省2022年一般高校“专转本”统一考试模拟试卷〔四〕解析

高等数学

考前须知：

1.考生务必将密封线内的各项填写清晰。

2.考生需要要钢笔或圆珠笔将答案径直写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，总分值150分，考试时间120分钟。

一、选择题〔本大题共6小题，每题4分，共24分，在每题给出的四个选项中，只有

一项为哪一项符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内〕。1、以下极限存在的是〔〕

*311

limln*D、limsin4B、lim3A、limC、**1*3*1*0*1

*

2、函数y*在那么*1处〔〕

A、连续B、不连续C、可导D、可微3、函数f(*)*sin*在闭区间0,1上的最大值为〔〕

A、0B、1C、1sin1D、4

、不定积分

2

f〔〕

A

、fB

、fCC、f(*)D、f(*)C5、方程y2yyesin*的特解形式为〔〕A、Aesin*B、A*e

*

2*

*

sin*

C、e*(Asin*Bcos*)D、A*2(sin*cos*)6、直线

*1yz1

与平面的*yz1的位置关系是〔〕211

A、垂直B、平行C、夹角为

D、夹角为43

二、填空题〔本大题共6小题，每题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上〕。

a*2b*2

3,那么a_____,b_______。7、已知a,b为常数，lim

*2*1

8、d_____________

3

2

1

d*。1*

9、y*3*5的拐点是。10

、定积分

2

*3)d*___________。

n

*n

的收敛域是__________________。11、幂级数(1)nn1

z

ze*y，那么12、设

z

_______________________。y

三、计算题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕。13、求极限lim

1cos*

。

*0*sin*

*a(tsint)d2y

14、已知摆线的参数方程，求2。

d*ya(1cost)

15、求不定积分

16

、计算定积分17、计算

1

1e*。

2。

(*y)d*dy，其中D由y*,y*在第一象限所围的区域。

D

2

z2z,18、已知函数zf(*y,*y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求。**y

2

2

19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2*y，并且曲线通过原点。

20、求过点2,1,1，平行于直线平面方程。

*2y1z2

且垂直于平面*2y3z50的321

21、证明：当*0时，ln(1*)*。

22、设f(*)在[a,b]上有连续导数，且f(a)f(b)0，

ba

f2(*)d*1，证明：

1

*f(*)f(*)d*a

2

b

23、计算ye*与直线y0之间位于第一象限内的平面图形绕*轴旋转一周所得的旋转

体体积。

24、在半径为R的半圆内作内接梯形，何时面积最大？

江苏省2022年一般高校“专转本”统一考试模拟试卷解析〔四〕

高等数学

一、选择题〔本大题共6小题，每题4分，共24分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内〕。1、以下极限存在的是〔〕

*311

limln*lim4limsinlimA、*B、*3C、*0D、*1

*13*1

*

解析：求极限时，先判断极限类型，假设是以转化为

0

或型可以径直运用罗比达法那么，其余类型可0

0

或型。不过，在求极限时应敏捷运用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大0

量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。极限存在是指它的极限为一个有限的数值，无穷或振荡均属极限不存在状况。

*311lim3〔最高次系数比值〕,故此题答案选B*3*13

2、函数y*在那么*1处〔〕

A、连续B、不连续C、可导D、可微

解析：此题考查可导与连续之间的关系。也可从几何直观上加以说明。连续是指曲线在该点没有断开，可导是在连续的基础上考查曲线在该点的光滑性〔“尖”点处没有导数〕。连续是可导的须要而非充分条件。故此题答案选A

3、函数f(*)*sin*在闭区间0,1上的最大值为〔〕

A、0B、1C、1sin1D、

2

解析：此题考查闭区间上连续函数最值求法。先求区间内部的可能极值点〔驻点、不可导点〕，再将它们所对应的函数值与区间端点的函数值进行比较即可。

又f(*)1cos*0，f(*)在闭区间0,1上单调递增，故f(*)在*1处取得最大值，

最大值f(1)1sin1，故此题答案选C4

、不定积分

f〔〕

A

、fB

、fCC、f(*)D、f(*)C

解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。

求f(*)的不定积分就是找那些导数为f(*)的全部函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。

ffC,故此题答案选B

5、方程y2yye*sin*的特解形式为〔〕A、Aesin*B、A*e

*

2*

sin*

C、e*(Asin*Bcos*)D、A*2(sin*cos*)解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。〔1〕齐次方程ypyqy0，其中p,q为常数。

求解步骤：1〕特征方程

2pq0，求根1,2。

1*

2〕1,2互异实根，yc1e

1

c2e2*，

12，yc1e*c2*e*；

2

1,2i(0)，ye*(c1cos*c2sin*)。

〔2〕非齐次方程ypyqyf(*)，通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y。第一种：f(*)ePm*，其中Pm*表示m次多项式。

*

解结构：y齐次方程通解特解y形式设定如下：〔1〕识别,m；

特解y。

〔2〕考查作为特征根的重数个数k；〔3〕特解可设为y**eQm*，

k*

0,不是特征根；

是单根；其中Qm*表示m次多项式。k1,

2,是二重根；

第二种：f(*)e

*

P*cos*P*sin*，

m

n

其中Pm*，Pn*表示m,n次多项式。解结构：y齐次方程通解特解y形式设定如下：〔1〕识别,,m,n；

特解y。

〔2〕计算i，k和特征根1,2相等个数，lma*m,n。〔3〕特解可设为y**e

k*

*sin*，

Q*cos*Q

l

l

其中Ql*,Ql*为l次多项式。

0，i不是特征根；

其中k故此题答案为C:e*(Asin*Bcos*)，其中A,B

1，i是特征根；

待定系数。6、直线

*1yz1

与平面的*yz1的位置关系是〔〕211

A、垂直B、平行C、夹角为

D、夹角为43

解析：考查直线与平面之间的位置关系，主要是平面的法向量与直线的方向向量之间的关系。直线的方向向量为s2,1,1，平面的法向量为n1,1,1；

显着，sn0，即sn，故直线平行于平面或在平面内。又直线上点1,0,1不满意平面方程，所以，该直线平行于已知平面。故此题答案选B

二、填空题〔本大题共6小题，每题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上〕。

a*2b*2

3,那么a_____,b_______。7、已知a,b为常数，lim

*2*1

解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限lim

Pm*

，只需比较分子与分母的次数即可，

*P*n

先判断极限类型，假设是

00

或型可以径直运用罗比达法那么，其余类型可以转化为或型。00

0,mn

Pm*lim,mn；故a0,b6,故此题答案选B*P*n分子与分母最高次系数之比值，mn

8、d_____________

1d*1*。

1

d*。1*

解析：该题考查微分的形式不变性，常规凑微分方法。dln(1*)

32

y*3*5的拐点是。9、

解析：曲线上凹凸性发生转变的界点称为拐点。它可能涌现在f(*)0的点或f(*)不存在的点。由于多项式函数到处二阶可导，故拐点处的二阶导数肯定为零。然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。令y6*60，得*1，此时y3。又*1时，y6*60；*1时，y6*60。故拐点为1,3。

10

、定积分

解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

2

*3)d*___________。

a

a

0,f(*)为奇函数

；

f(*)d*a

2f(*)d*,f(*)为偶函数0*3)d*

22

*3

2

2

202

这里由于函数f(*)*3故积分为零，

积分的上半圆的面积。

2

表示半径为2

*n

11、幂级数(1)的收敛域是__________________。

nn1

n

解析：对于幂级数

an*n，假如lim

n0

n

an1

，那么〔或〕

nan

收敛半径R

1

，收敛区间为R,R。再将*R代入级数详细考查。假设幂级数

a*

nn0

n

缺少的奇次项〔偶次项〕或上述极限不存在〔不是无穷〕，那么此时将*当作常量转化为常数

项级数处理。此题lim

n

an11n

lim1，所以R1，nn1an

1(1)n

*1时，级数收敛，*1时，级数发散，故收敛域为[1,1)。

nn1nn1

对于幂级数

a(**)

n

n1

n

只需作变量代换**0t即可。

12、设zez*y，那么

z

_______________________。y

解析：由方程F(*,y,z)0决断隐函数zz(*,y)。求偏导公式为：

FyF*zz

，〔也可方程或等式两边径直对某个变量求偏导，将z看作该变量的*FzyFz

一元函数，另外一个变量当作常量〕

Fyz**

。Fze*y，zz

yFz1e1e

z

三、计算题〔本大题共8小题，每题8分，共64分〕。13、求极限lim

1cos*

。

*0*sin*

解析：lim

1cos*1cos*1

lim

*0*sin**0*22

12

*为等价无穷小量〕2

〔当*0时，sin*与*为等价无穷小量，1cos*与

*a(tsint)d2y

14、已知摆线的参数方程，求2。

d*ya(1cost)

解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式

a(1cost)dysintt

y

d*a(tsint)1costt

dy

sint

dy22

dydy111costtcost(1cost)sint

d*2d*(1cost)2a(1cost)a(1cost)2

15、求不定积分

1

1e*。

解析：该题运用凑微分法，

f(e*)e*d*

f(e

1

*

)de*是常常遇见的固定类型

11e*1e*de**

1e*=1e*d*=(11e*)d**1e*=*ln(1e)C

16

、计算定积分

2。

解析：该题运用第二类换元法，作三角代换令*sect，d*

tantsectdt，且*

t；*2时，t；所以

43

2

4

3

tantsect

3dt

tantsect34124

17、计算

(*y)d*dy，其中D由y*,y*在第一象限所围的区域。

D

2

解析：二重积分问题是许多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别

是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域〔如图〕，然后依据被积函数的特点与区域的外形选择适当的坐标以及适当的积分顺次。一般当被积函数形如f(*2y2)，区域外形为圆形、圆环、扇形〔环〕等，往往运用极坐标计算；否那么，往往用直角坐标计算。

1

*

(*y)d*dyd*(*y)dy

D

*2

12

(*yy)d*

2*20

1

*

11

(*2*2*3*4)d*

220

111331

。(*2*3*4)d*

241020220

1

1

17、解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿--莱布尼兹公式：

a

f(*)d*F(*)

a

F()F(a)，所以

tetdttdettet

0

etdt(et)

etdt

0

1

z2z,18、已知函数zf(*y,*y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求。**y

2

2

解析：该题型是几乎每年必考，需要仔细掌控。

第一步：变量*,y,z的关系网络图

1z2

*y*y

其中1，2分别表示*2y2,*y

第二步：查找与*对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”

z

f12*f2y*

2z

2*f112yf12*f2yf212yf22**y

22

4*yf112*f12f22yf21*yf22

19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2*y，并且曲线通过原点。解析：导数的几何意义表示曲线在该点切线的斜率，由此先建立微分方程。一阶线性非齐次方程yP(*)yQ(*)的通解为

P(*)d*P(*)d*

yeQ(*)ed*C

此题y2*y且y(0)0，即yy2*,通解ye

1d*

1d*

2*ed*C

P(*)1,Q(*)2*，

e*2*e*2e*C2*2Ce*

由于y(0)0得02C,

*

C2

所以，曲线方程为y2e2*2

20、求过点2,1,1，平行于直线平面方程。

*2y1z2

且垂直于平面*2y3z50的321

解析：求平面方程，基本方法是运用点法式。求出平面上的一个定点和法向量n。

*2y1z2

平面上的定点(2,1,1)已知，直线的方向向量s3,2,1，平面321

*2y3z50的法向量n11,2,3；由条件简单得到ns，nn1，故可取

ijk

nsn13214,8,441,2,1

123

平面点法式方程为：1(*2)2(y1)1(z1)0，即*2yz10。

四、证明题〔每题9分，共18分〕21、证明：当*0时，ln(1*)*。

解析：函数不等式的证明方法许多，其中利用单调性证明不等式是常常运用的一种方法。可运用单调性证明的问题通常形式为*a或*a时，证明f(*)g(*)；通常设帮助函数F(*)f(*)g(*)，证明F(*)f(*)g(*)是单调的。

设F(*)ln(1*)*，F(*)

1*11*1*，

当*0时，F(*)0，F(*)是严格单调递减的，

F(*)F(0)0，即ln(1*)*。

22、设f(*)在[a,b]上有连续导数，且f(a)f(b)0，

ba

f2(*)d*1，证明：

1

*f(*)f(*)d*。a

2

b

解析：定积分是一个值，计算的基本方法是牛顿莱布尼兹公式。此题被积函数为抽象函数，一般运用定积分的分部积分法。

ba

*f(*)f(*)d**f(*)df(*)

ab

b

1b2

*d[f(*)]2a

1

[*[f(*)]2

21b1b22

[f(*)]d*][f(*)]d*aa

2a2

五、综合题〔每题10分，共20分〕

*

23、计算ye与直线y0之间位于第一象限内的平面图形绕*轴旋转一周所得的旋转

体体积。

解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。

首先画出图形，依据图形，写处体积微元

dV(e*)2d*e2*d*

那么由题意，可得

Ve

2*

d*

20

e2*d(2*)

2

24、在半径为R的半圆内作内接梯形，何时面积最大？

解析：将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优化问题的求解中是特别重要的考点。是考查考生实际应用技能的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。分析问题的流程为：

〔1〕适当假设求解变量*；〔2〕函数关系yy(*)确定；

〔3〕y0求解，交待y最大、最小的理由；〔4〕合理分析。

注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是简单疏忽之处。设上底长度为2*，即OF

*，如下图，OE

S(*)(2*2R)R2*2/2(*R)R2*2S'(*)R2*2(*R)

*(*R)R*

2

2

2*2R*

2

2

AE

R2*2

由S(*)0解得*R/2〔*R舍