串讲07 概率与统计（考点串讲）（原卷版）

串讲07概率与统计知识网络二、常考题型三、知识梳理1.计数原理（1）分类加法计数原理概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.特征：①任何一类方案都能完成这件事；②各类方案之间相互独立；③分类要做到“不重不漏”（2）分步乘法计数原理概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法特征：①任何一步都不能单独完成这件事；②各步之间相互依存；③分步要做到“步骤完整”2.排列（1）排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示（3）排列数公式：（，且）3.组合（1）组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示（3）组合数公式：（，且）（4）组合数的性质：（1）；（2）4.二项式定理（1）二项式定理概念：一般地，对于任意的正整数，都有.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，称为二项展开式的第项，又称为二项展开式的通项（2）二项展开式的特征：①二项展开式共有项；②二项式系数依次为组合数；③各项次数都等于二项式的幂指数；④字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到（3）二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分（4）二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（5）二项式系数和：①二项展开式中各二项式系数之和为；②在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于.5.离散型随机变量（1）离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。（2）离散型随机变量的分布列设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…xn,若取每一个值xi(i=1,2,…，n)的概率为，则称表x1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn为随机变量的概率分布，简称的分布列.该分布列具有如下性质：①Pi≥0,i=1,2，…，n；②P1+P2+…+Pn=1（3）离散型随机变量的分布列的求法①要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；②分清概率类型，计算取得每一个值时的概率；③列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.6.二项分布（1）二项分布的定义在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是，（）．于是得到离散型随机变量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．（2）如何求有关的二项分布①分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；②准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；③用表格形式列出随机变量的分布列.7.正态分布（1）正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：，（）其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.（2）正态分布①正态分布的定义如果对于任何实数随机变量满足：，则称随机变量服从正态分布，记为.②正态分布的期望与方差若，则的期望与方差分别为：，.（3）正态曲线如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（4）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在时达到峰值；④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近；⑤曲线与轴之间的面积为1；⑥决定曲线的位置和对称性当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移；⑦确定曲线的形状当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示.8.抽样方式（1）简单随机抽样放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中②逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都③相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内④未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本（2）分层抽样①分层随机抽样的定义一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.②比例分配在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.9.变量的相关关系（1）相关关系的定义两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.（2）散点图①散点图

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.

②正相关和负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.（3）线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.四、常考题型探究考点一加法原理例1.一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（

）A．3种 B．504种 C．24种 D．12种例2.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（

）A．22种 B．33种 C．300种 D．3600种【变式探究】如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条考点二乘法原理例3.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（

）A．种 B．种 C．种 D．种例4.有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为.【变式探究】集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是.考点三排列原理例5.求的值为（

）A．12 B．18 C．24 D．30例6.为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（

）A．12 B．45 C．60 D．90【变式探究】用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310考点四组合原理例7.计算（）A．34 B．35 C．36 D．37例8.已知，则.【变式探究】若，则的值为.考点五二项式定理例9.在的展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．例10.若，则（

）A．100 B．110 C．120 D．130【变式探究】若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12考点六离散型随机变量例11.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．例12.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望（

）A． B．2 C． D．3【变式探究】下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（

）X3459PA． B． C． D．考点七二项分布例13.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104例14.若随机变量服从二项分布，则的值为（

）A． B． C． D．【变式探究】设随机变量，若，则p的值为.考点八正态分布例15.对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（

）A． B．C． D．例16.若随机变量，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【变式探究】若随机变量X服从正态分布，，则（

）A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9例17.王老师对本班名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率A．人 B．人 C．人 D．人例18.在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：得分678910人数12421则这10位选手得分的方差为（

）A．12 B．8 C． D．【变式探究】样本数据的中位数为（

）A． B． C． D．考点十变量之间的相关关系例19.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图