2025届新高考数学精准突破复习球的切接问题

2025届新高考数学精准突破复习球的切接问题求解空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，常用的方法为补形法或者利用多面体的面作垂线，垂线的交点即为球心；求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径，常用切线长定理、等体积法等.球的切接问题是高考中的热点，一般为中档题.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(1)(2023·东北三省三校联考)“阿基米德多面体”被称为半正多面体(semi－regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、考点一空间几何体的外接球六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB＝

则该半正多面体外接球的表面积为A.18π B.16πC.14π D.12π√如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，取正方体与正方形E1F1G1H1的中心O，O1，连接E1G1，OO1，OA，O1A，∵A，B分别为E1H1，H1G1的中点，则E1G1＝2AB＝∴正方体的边长为EF＝3，根据对称性可知，点O到该半正多面体的顶点的距离相等，√如图1，设O是△ABC的外接圆的圆心，因为AB＝BC＝AC＝3，所以△ABC是正三角形，则三棱锥A－MBC的外接球的球心H在过点O且与平面ABC垂直的直线OO′上，由直线CM与平面ABC所成的角为60°，得∠MCN＝60°，当球心H到CM的距离最大时，三棱锥A－MBC的外接球体积最大，所以点N在OC延长线上时，三棱锥A－MBC的外接球体积最大，如图2，跟踪训练1

(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.100π B.128πC.144π D.192π√设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋

＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋

＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.√如图，在三棱锥P－ABC中，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理可得PA⊥AC，因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，易知OO1∥PA，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又O1A⊂平面ABC，所以O1A⊥PA，从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，典例2

(1)如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，考点二空间几何体的内切球小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设AB＝a，则该模型中5个球的表面积之和为_____.如图所示，设O为大球的球心，大球的半径为R，正四面体的底面中心为E，棱长为a，高为h，CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF，设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－2R＝(2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为

现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是√如图，设四边形ABCD的中心为O，BC，AD的中点分别为H，M，连接OH，EO，EH，MF，HF，EM，设金刚石的边长为a，则由题知，在等边△EBC中，BC边上的高由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在O点，内切球与平面EBC的切点在线段EH上，内切球的半径即为截面EMFH内切圆的半径，设内切圆半径为r,

跟踪训练2

(1)在四面体A－BCD中，BA，BC，BD两两互相垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，则四面体A－BCD内切球的半径为√因为BA，BC，BD两两互相垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，如图，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，设四面体A－BCD内切球的球心为O，半径为r，则V三棱锥A－BCD＝V三棱锥O－ABC＋V三棱锥O－BCD＋V三棱锥O－ABD＋V三棱锥O－ACD，(2)(2023·菏泽模拟)已知一个装满水的倒圆台形容器的上底面半径为1，下底面半径为5，高为

若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为A.32π B.36πC.48π D.50π√依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台下底面和侧面相切，显然铁球球心O在圆台的轴线上，过圆台的轴作平面截圆台得等腰梯形ABCD，截球得球的大圆O，圆O与AB，BC，AD都相切，如图，令AB的中点为O1，过点O1的圆O的直径另一端点为O2，过点O2作圆O的切线分别交BC，AD于E，F，则EF∥AB，即圆O是等腰梯形ABEF的内切圆，过点D，F作AB的垂线，垂足分别为M，N,

令圆O切AD于G，于是O1A＝5，O1M＝1，AM＝4，令圆O的半径为R，O2F＝r，显然AF＝AG＋GF＝AO1＋FO2＝5＋r，在Rt△AFN中，AF2＝AN2＋FN2，所以可放入铁球的表面积的最大值典例3

(2023·开封模拟)已知棱长为6的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为考点三空间几何体的切接问题√如图所示，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则正方体的体对角线不超过该正四面体内切球的直径.设O为正四面体P－ABC内切球的球心，则内切球的半径为OO1＝r，如图，PO1为正四面体P－ABC的高，O1是正△ABC的中心，O1A∴VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC，∵S△ABC＝S△PAB＝S△PBC＝S△PAC，跟踪训练3

在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由一重重的同心圆环构成，整体看上去近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球半径为R，大球内安放六根等长的金属丝(不计粗细)，使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R＝

则r的最大值为___.1由题意知，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证r最大，如图所示，设正四面体A－BCD的棱长为a，E为△BCD的中心，可得AE⊥平面BCD，过点O作OF⊥AC，垂足为F，即小球的最大半径r＝1.1.几何体的外接球，常用的方法有构造法、截面法.2.几何体的内切球求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.总结提升1.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)A.96π B.84πC.42π D.16π12345678910√若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即

球形容器的表面积至少为S＝4πR2＝84π.123456789102.(2023·江苏四市调研)已知正四面体P－ABC的棱长为1，点O为底面△ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为12345678910√123456789103.(2023·德阳模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于A.8π B.16πC.

D.不确定的实数√1234567891012345678910设矩形ABCD的边长分别为x，y，则xy＝8，所以矩形ABCD的周长C＝2(x＋y)，∵x>0，y>0，∵DE＝EB＝AE＝CE＝2，∴外接球的半径R＝DE＝2，外接球的表面积S＝4πR2＝4×22π＝16π.123456789104.(2023·广东联考)已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面、底面均相切)的体积为

则该圆锥的表面积的最小值为A.32π

B.28π

C.24π

D.20π√12345678910设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，内切球切母线AB于点E，底面半径BC＝R>2，∠BDC＝θ，故AB＝BE＋AE＝R＋2tan(π－2θ)＝R－2tan2θ，12345678910123456789105.(2023·桂林模拟)已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S－ABC体积取最大时，其外接球的体积为√12345678910取AB的中点D，连接CD，SD，如图，在△ABC中，由余弦定理得4＝AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB≥(2－

)AC·BC，即AC·BC≤2(2＋

)，当且仅当AC＝BC时取等号，12345678910令直线CD与平面SAB所成角为θ，则点C到平面SAB的距离h＝CD·sinθ≤CD，当且仅当θ＝90°时取等号，因此三棱锥S－ABC的体积VS－ABC＝VC－SAB＝

S△SAB·h，即当h＝CD最大时，三棱锥S－ABC体积最大，因此当三棱锥S－ABC体积最大时，AC＝BC且CD⊥平面SAB，而SD⊂平面SAB，即有CD⊥SD，在正△SAB中，SD⊥AB，AB∩CD＝D，则SD⊥平面ABC，12345678910令正△SAB的外接圆圆心为O2，等腰△ABC的外接圆圆心为O1，则O2，O1分别在SD，CD上，令外接球球心为O，于是OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面SAB，有OO1∥SD，OO2∥CD，即四边形OO1DO2是矩形，12345678910123456789106.(多选)某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为

托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有√12345678910√√12345678910因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，所以连接AB，BC和AC得几何体ABC－DEF，因此构建一个底面边长为2，高为

的正三棱柱DEF－D1E1F1，D1E1，E1F1和D1F1的中点分别为A，B和C，则几何体ABC－DEF就是题意中的几何体，如图.几何体ABC－DEF的上底面△ABC是边长为1的正三角形，下底面△DEF是边长为2的正三角形，高为12345678910因为铜球的体积为

所以由球的体积公式得铜球的半径R＝1.对于A，由几何体ABC－DEF的构成知，多面体ABC－DEF的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积，因为铜球的体积为所以由球的体积公式得铜球的半径R＝1.对于A，由几何体ABC－DEF的构成知，多面体ABC－DEF的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积，12345678910对于B，因为经过三个顶点A，B，C的球的截面圆就是正△ABC的外接圆，所以若边长为1的正三角形的外接圆半径为r，对于C，取EF的中点G，连接AG，则由几何体ABC－DEF的构成知，AC∥GF且AC＝GF，因此四边形AGFC是平行四边形，所以CF∥AG，因此∠DAG就是异面直线AD与CF所成的角.12345678910√√123456789107.(多选)(2023·张家口模拟)已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为O1，半径为r；外接球球心为O2，半径为R.以下选项正确的有12345678910设AB为底面圆的一条直径，圆锥PE的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面△PAB内切圆半径和外接圆半径.当O1与O2重合时，如图1，O为重合的圆心(球心)，M为一个切点，由PO＝AO＝R，PO，AO均为对应角的角平分线，所以∠PAB＝∠APB，所以AB＝BP，又PA＝PB，所以△PAB为等边三角形，故∠OAM＝30°，所以R＝2r，所以A错误；12345678910当E与O2重合时，如图2，PE＝AE＝R，所以∠EPA＝45°，若r＝2，设圆锥底面半径为a，则a>2，12345678910若R＝2，设圆锥底面半径为a，圆锥的高为h，则0<h<4，易得|h－2|2＋a2＝4，12345678910故D错误.8.(2023·汕头模拟)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝_____.123456789108π设球O与上底面、下底面分别切于点O1，O2，与平面ADD1A1，平面BCC1B1分别切于点E，F，作出其轴截面如图所示，则MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2,于是，MN＝1＋2＝3,过点M作MH⊥O2N于点H，则NH＝NO2－MO1＝1，123456789109.(2023·福建联考)如图，正四面体A－BCD的棱长为3，E，F，G分别是AC，AD，AB上的点，AG＝AE＝AF＝1，截去三棱锥A－GEF，同理，分别以B，C，D为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为_____.1234567891012345678910