全概率公式高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3全概率公式北师大版选择必修一第六章

概率一、创设情境，引入课题问题1:在一个装有3个红球、4个白球的箱子里摸球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一球，求取出红球的概率。设事件A表示“取得红球”.【解】用古典概型的概率公式直接计算，得P(A)=.37一、创设情境，引入课题问题2:将一个箱子增加到两个箱子，编号分别为1，2.1号箱装有3个红球和3个白球，2号箱装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。

(1)某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；(2)某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；

(3)某人先从两箱中任取一箱,再从该箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；【解】(1)设事件A表示“取得红球”.用古典概型的概率公式直接计算，得P(A)==.3612∴取得红球的概率为

.12一、创设情境，引入课题问题2:将一个箱子增加到两个箱子，编号分别为1，2.1号箱装有3个红球和3个白球，2号箱装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。

(1)某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；(2)某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；

(3)某人先从两箱中任取一箱,再从该箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；【解】(2)设事件A表示“取得红球”.用古典概型的概率公式直接计算，得P(A)==.2613∴取得红球的概率为

.13一、创设情境，引入课题问题2:将一个箱子增加到两个箱子，编号分别为1，2.1号箱装有3个红球和3个白球，2号箱装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。

(3)某人先从两箱中任取一箱,再从该箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；【解】(3)设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2),设事件A表示“取得红球”.∵事件B1、B2互斥,事件A发生总是伴随着B1、B2之一同时发生,∴运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)，∴P(A)=P(B1A)+P(B2A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=即A=B1A∪B2A,且B1A、B2A两两互斥。∴取得红球的概率为

.512一、创设情境，引入课题问题3:问题(3)中的概率与(1)(2)中的概率有何联系？【解】(3)中的概率与(1)(2)中的概率不同。∵(1)(2)中的摸球都指定了箱子,(3)中的摸球需先选箱子,再从选中的箱子中摸球,则摸中的红球可能来自1号箱,也可能来自2号箱.则所得的概率比直接从1号箱摸出的红球的概率要小，比直接从2号箱摸出的红球的概率要大,介于二者之间，

正好是两者的平均。二、拓展推广，感知概念问题4:将箱子再增加到三个，分别编号为1、2、3。其中1号箱子装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱子装有3个红球，这些球除颜色外完全相同。某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率。【解】设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3),事件A表示“取得红球”，∵B1、B2、B3两两互斥，∴事件A发生总是伴随着B1、B2、B3之一同时发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A、B2A、B3A互斥，根据互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=.∴取得红球的概率为

.815三、更新情境，认识概念问题5:某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率。【解】设事件Bi:表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”(i=1,2,3),事件A表示“取到的是一件次品”.三、更新情境，认识概念∵事件B1、B2、B3两两互斥，∴事件A发生总是伴随着B1、B2、B3之一同时发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A、B2A、B3A互斥。根据互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，由条件概率乘法公式，得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)∴在仓库中随机地取一只元件求它是次品的概率为0.0125.

=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125.三、更新情境，认识概念问题6:归纳出问题4、问题5中相应随机事件概率的共性。由两个实例可以看出，某一事件A的发生有各种可能的原因，如问题4中摸得的红球有三种来源：可能取自1号箱，也可能取自2号箱或3号箱；问题5中取到的次品可以产自第1家工厂，也可能产自第2家工厂或第3家工厂。【解】若事件A是由原因Bi(i=1，2，…，n)所引起,则事件A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)，∵每一个原因都可能导致事件A发生，且各原因彼此互斥并涵盖所有可能的情形，∴事件A发生概率是各原因引起事件A发生概率的总和，即P(A)=

.四、抽象概括，构建新知1.样本空间的划分设Ω是试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一组事件,若(1)Bi∩Bj=ɸ，其中i≠j(i，j=1，2,…,n)则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分。(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω,四、抽象概括，构建新知2.全概率公式设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0（i=1，2，…，n），则对任意一个事件A有称上式为全概率公式。四、抽象概括，构建新知3.对概率公式的认识(1)全概率公式本质上是综合运用加法公式和乘法公式解决“多因一果”的概率问题。(2)全概率公式告诉我们，事件A发生的概率恰好是事件A在各种可能“原因”下发生的条件概率的加权平均。五、公式应用，巩固新知例1、采购员要购买某种电器元件一包（10个）。他的采购方法是:从一包随机抽查3个，只有这3个元件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率。【解】设事件B1表示“取到的是含有4个次口的包”,事件B2表示“取到的是含有1个次口的包”,事件A表示“采购员拒绝购买”.∵B1,B2构成样本空间的一个划分,且P(B1)=0.3,且P(B2)=0.7.根据古典概型的概率计算公式,可知P(A|B1)=,P(A|B2)=

，∴由全概率公式可知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=

.∴采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.

例2、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.若飞机被一人击中,则被击落的概率为0.2;若被2人击中,则被击落的概率是0.6;若被三人击中,则飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。五、公式应用，巩固新知【解】设事件A表示“飞机被击落”，事件B飞机被i(i=0,1,2,3),则B0,B1,B2,B3构成样本空间的一个划分.根据依题意,P(A|B0)=0,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i=1,2,3)，同理：,∴由全概率公式，可知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.∴飞机被击落的概率为0.458.六、归纳小结，提升认识1.运用全概率公式的一般步骤(1)求出样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn；(2)求出样本空间Ω的一个划分P(Bi)(i=1,2,…,