函数概念与性质

第三章函数概念与性质

3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

学案

一、学习目标

L通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用

集合思想与对应的语言刻画函数概念.

2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域.

3.给出一个函数解析式，能够举出它所对应的问题情境.

二、基础梳理

1.一般地，设A,3是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照

某种确定的对应关系了,在集合5中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称

/：AfB为从集合A到集合3的一个函数，记作y=/(x),

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y

值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|xeA｝叫做函数的值域.

2.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.

3.研究函数时常会用到区间的概念.设跖6是两个实数，而且战上我们规定：

(1)满足不等式aWxW》的实数X的集合叫做闭区间，表示为出⑸；

(2)满足不等式◎的实数x的集合叫做开区间，表示为(。力)；

(3)满足不等式或a<x46的实数X的集合叫做半开半闭区间，分别表示

为［a,b),(a,b］.

4.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在

区间内的端点.

5.实数集R可以用区间表示为(ro,*o).

6.把满足了2。,%>0,%46户<6的实数》的集合，用区间分别表示［a,+oo),(a,+oo),(-

ooM(-oo,b).

三、巩固练习

1.下列X,y关系中为函数的是()

A.y=Jx-2+Jl-x

B.x2+y2=1

x,x>l,

C.y=

1-2x,x<l

D.

1234

y05-611

2.下列各图中，可表示函数y=/（x）的图象的是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{x|-3<尤<2}C.{x|-3<x<2}D.{%|-3<x<2}

4.函数”x）=立4的定义域为（）

无一1

A.[-2,2]B.(-2,3)C.[-2,l)u(l,2]D.(-2,l)u(l,2)

5.若周长为定值。的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个

函数的定义域是（）

A.（Q,+OO）B.、,+8）C.（MD.[O,£|

6.右y(x)=,则/(。)=()

1+X

B.1

A.1C.OD.-1

2

7.（多选）下列函数中，满足/（2尤）=2/（无）的是（）

A./(x)=|尤|B./(x)=x-\x\C.f(x)=x+1D./(x)=-x

8.函数"")=J六的定义域为

答案以及解析

L答案：D

解析：根据函数的定义，自变量在其允许取值范围内任意取一个值，有唯一的

函数值与其对应，选项A中的解析式中，x的取值范围为x22且x41,符合条

件的x值不存在，故它不是函数；选项B中的解析式，当x在它允许取值的范

围内取值时，y的值不唯一，故它不是函数；选项C中，当x=l时，y的值不唯

一，故它不是函数；只有选项D中的x,y满足函数的定义.

2.答案：D

解析：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个变量x,都存在唯一确定的

函数值y与之对应.A中，当x=0时，有两个y与x对应；B中，当x>0时，有

两个丁与x对应；C中，当无=0时，有两个y与x对应；D中，对任意x都只

有唯一确定的y与之对应.故选D.

3.答案：C

解析：由区间和集合的关系，可得区间（-3,2］可表示为"|-3<三2},故选©.

4.答案:C

解析:要使函数有意义,须满足:二/解得-2X2,且向

故函数/（幻的定义域为［-2,1）口（1,2］.故选C.

5.答案：D

解析：依题意知，矩形的一边长为x,则该边的邻边长为7=3-x,由

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x>0,/x

“得0<x<4,故这个函数的定义域是0二.

----x>02\2J

12

6.答案:A

解析：y（x）=3，.•./（（））=二2=1.故选A.

l+x1+0

7.答案：ABD

解析：对于A,/（2X）=|2X|=2|X|=2/（X）,A正确；

对于B,•,>f(2x)=lx-1lx|=2(x-1xI)=2/(x),r.B正确;

对于C「f(2x)=2x+12(x+1)=2f(x),，C不正确;

对于D,-f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),D正确.故选ABD.

8.答案：｛x\-2<x<3]

I------3-x〉

解析：由=