2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级第一学

期期末数学试卷

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是（）

D.

如果反比例函数的图象经过点

2.y=K(3,-4）,那么k是()

X

A.7B.10C.12D.-12

若三=g,则下列式子正确的是（

3.)

y4

x+l_3

A.史JBC.上=4D.

y5Hx-yy+l-7

已知：如图，

4.AB//CD//EF,BD：DF=3：5,AC=6f贝CE=)

B.9C.10D.11

5.将抛物线丁=（x-1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛

物线为（

A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6

6.如图，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格

点上，则图中/A8C的正切值是（）

B.等

A.2c4D-V

7.如图，点A,B,C在。。上，若/AOB=140。，则/ACS的度数为（）

C.70°D.140°

8.不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别.随机摸出

一个小球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

A.—B.—C.—D.1

436

9.如图，在矩形A8CD中，ABW5,BC=1,以点8为圆心，8C为半径画弧交矩形的边

于点E,交对角线AC于点E则图中阴影部分的面积为（）

10.规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.对于题目：抛物线

y^ax（x-4）+m（aWO）与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左侧），MN=2,

线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有6个整点，求a

的取值范围.则（）

A.3Wa<4B.--3

C.-4<aW-3或3Wa<4D.-4<a<-3或3Wa<4

二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分)

11.二次函数y=3(x-2)2+1的图象的顶点坐标是.

12.如图，点5)在反比例函数y=K的图象上，无轴于凡tan/尸

x12

13.如图,A3是。。直径，弦与A3相交，若NACD=60°,则N84。的大小是

14.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,点A、。、。都在格点上，点。是△

ABO和△DCO的位似中心，贝！J/kABO与△0CO的周长比为.

15.已知二次函数y=aN+bx+c(〃W0)图象的一部分如图，以下结论:

①〃Z?c>0；

②当冗=一1时，函数有最大值；

③方程“冗2+析+°=0的解是a=1,垃=-3;

④2。+〃=0.

其中正确的有个.

16.如图，已知正方形ABC。，延长A8至点E使BE=A8,连接CE,DE,DE与BC交于

点N,取CE得中点E连接BEAF,AF交于BC于点跖交DE于点0,则下列结论:

®DN=EN；

②0A=40F；

③tan/CEoJ；

@45四边形BEFM=1IS^CMF-

其中正确的结论有(填序号).

三、解答题(共86分.)

17.计算：2sin60°-3tan30°-(-4-)0+(-1)2021.

18.利用标杆在太阳光下的影子测量一棵树的高度.如图标杆CO=1.6米，BC=10米，CE

=2米.B、C、E在一条直线上，DCLBE,ABLBE,求出这棵树的高度A8.

19.如图，用一段长为20根的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABC。，墙长12c%.设AB

长为初7,矩形的面积为y源.问：当A8长为多少米时，所围成的花圃ABCD面积最大？

最大面积是多少？

B

20.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件，市场调查反映:

如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.

（1）求出每天所得的销售利润卬（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式;

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大.

21.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球,

除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为

（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲

取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率尸.

22.如图大楼的高度为37处小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部8

处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20机到达£处，测得旗杆顶

端C的仰角为30°.已知斜坡即与水平面的夹角NEZ）G=37°,图中点A,B,C,D,

E,G在同一平面内（结果精确到0.1加）

（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD.

（2）求旗杆的AC高度.

仁0.75,如P1.73)

23.如图，A8是O。的直径，点C在上，CD是OO的切线，BDLCD,DB的延长线

与。。交于点E.

(1)求证：ZABE=2ZA；

(2)tanA=—,BD=2,求BE的长.

2

24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，矩形。4BC的边OA,OC分别在x轴和y轴上,

顶点B的坐标为(8,4),反比例函数>=工(x>0)的图象经过对角线02的中点E,

X

与矩形的边BC,5A分别交于点RG,设直线FG的函数表达式为>=以+4

(2)利用图象，直接写出当ax+bW区时尤的取值范围；

x

(3)若点尸在矩形的边。4上，且△PFG为等腰三角形，直接点P的坐标.

25.如图，已知△A8C中，AB=AC,N8AC=a.点。是△ABC所在平面内不与点A、C

重合的任意一点，连接Cd将线段⑺绕点。顺时针旋转a得到线段。£,连接A。、

BE.

(1)如图1,当a=60°时，线段BE与的数量关系是；直线与相

交所成的锐角的度数是.

(2)如图2,当a=90°时，

①(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；

②当8E〃AC,AB=8,AO=加时，请直接写出△DCE的面积.

26.如图，抛物线y=0+6x+3交无轴于点A(3,0)和点2(-1,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)。是直线AC上方抛物线上一动点，连接。。交AC于点M当空的值最大时，求

0N

点D的坐标；

(3)P为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQLCP交抛物线对称轴于点Q,当tan

NPCQ=2时，请直接写出点尸的横坐标.

备用图

参考答案

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是（）

【分析】找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可.

解：4球的主视图和左视图均为全等的圆，不符合题意；

8、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；

C、圆锥的主视图和左视图均为全等的三角形，符合题意；

。、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；.

故选：C.

2.如果反比例函数＞=上的图象经过点（3,-4）,那么人是（）

X

A.7B.10C.12D.-12

【分析】将此点坐标代入函数解析式y=K（k¥0）即可求得左的值.

X

解：将点（3,-4）代入解析式可得％=3X（-4）=-12.

故选：D.

3.若三=?，则下列式子正确的是（）

y4

A,0=7B.史」C,上=4D,驾=旦

yy4x-yy+14

【分析】利用比例的性质，进行计算逐一判断即可解答.

解：A.

y4

.x+y_7

y4,

故A不符合题意；

B、•.•工=2，

y4

.x4y_"

y4,

故8符合题意；

「..x_3

y4

.q—

y4

上=-4,

x-y

故C不符合题意；

D、V-=-,

y4

.x+103

"y+14’

故。不符合题意；

故选：B.

4.已知：如图，AB//CD//EF,BD：DF=3：5,AC=6,贝!]CE=)

C.10D.11

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

解：'JAB//CD//EF,

.ACBD即63

解得：CE=10,

故选：C.

5.将抛物线y=（尤-1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛

物线为（）

A.y=（x-1）2+4B.y=（x-4）2+4C.y—（无+2）2+6D.y—（尤-4）2+6

【分析】直接根据平移规律作答即可.

解：将抛物线＞=（x-1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得

抛物线解析式为＞=（x-1-3）2+2+2,即尸（龙-4）2+4；

故选：B.

6.如图，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，AABC的顶点都在格

点上，则图中/ABC的正切值是（）

1/一->

r----1----1

B.平D.三

【分析】根据勾股定理可以得到AC、BC、AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得

到AABC的形状，从而可以求得图中NABC的正切值.

解：由图可得，

BC=、F+22=代,AC=«22+42=2病,AB=N§2+42=5,

・•・△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

•f/AC2V50

・・tanNA8C=——=―^^=2,

故选：A.

7.如图，点A,B,。在上，若NA05=140。，则NACB的度数为（）

A一

A.40°B.50°C.70°D.140°

【分析】根据圆周角定理得出再求出答案即可.

解：：点A、B、C都在。。上，

AZACB=­ZAOB^—X140°=70°.

22

故选：C.

8.不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别.随机摸出

一个小球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

A.—B.—C.—D.1

436

【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，

然后根据概率公式求解.

解：回树状图为：

/1\ZT\/1\匕

球白白红白白红球白红绿白

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，

所以两次都摸到白球的概率是

126

故选：C.

9.如图，在矩形ABC。中，AB=V3-BC=1,以点2为圆心，为半径画弧交矩形的边

于点E,交对角线AC于点孔则图中阴影部分的面积为（）

【分析】连接BF,过点/作FH1AB于H,解直角三角形得NBAC=30°,ZBC4=60°,

求得△8CP是等边三角形，得NC5F=60°,NEBF=30°,根据三角形和扇形的面积

公式即可求解.

解：连接8R过点尸作于H,

D

AEHB

在矩形A8CD中，AB=愿，BC=l,/A8C=90°,

.+BC1巡

,.tan/BAC需诉〒

ZBAC=30°,ZBCA=90°-30°=60°,

■:BC=BF,

:•△BC尸是等边三角形，

：.ZCBF=60°,

；・NEBF=90°-60°=30°,

吗,BH啜冬,

S阴影=S扇形BCF+S△ABF-S△BCFS扇形BEF=

60"。x」x近四21=工也正工=工.

1

36032223606二41212

故选：D.

10.规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.对于题目：抛物线

y=<xv（x-4）+m（aWO）与无轴分别交于A/、N两点（点M在点N的左侧），MN=2,

线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有6个整点，求。

的取值范围.则（）

A.3Wa<4B.-4<aW-3

C.-4<aW-3或3Wa<4D.-4<a<-3或3Wa<4

【分析】将抛物线的解析式变形为二次函数的一般形式，再化为顶点式，求得抛物线的

对称轴为直线尤=2,顶点为（2,〃z-4a）,可求得M（1,0）,N（3,0）,可见在区

域G内的x轴的上方或下方还需要有3个整点，令y=0,则ax2-4ax+m=0,所以xi=l,

&=3,则无1X2=必=3,得加=3。，所以抛物线的顶点为（2,-a）,当。<0时，则3

a

W-。<4；当。>0时，则-4<-aW-3,分别求出不等式的解集即可.

解：\'y=ax（x-4）+m=ax1-4ax+m=a（x-2）2+m-4a,

抛物线的对称轴为直线尤=2,顶点为（2,m-4a）

:抛物线与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左侧），MN=2,

：.M(1,0)，N(3,0)，

・・・在区域G内的x轴上已有（1,0）、（2,0）、（3,0）这3个整点，

・・・在区域G内的x轴的上方或下方还需要有3个整点，

令y=0,则ax2-4ax+m=0,

.*.Xl=l,及=3,

,m

・・X1X2=—=o3,

a

・・in:=3。,

.♦.抛物线的顶点为（2,-a）,

当a<0时，则3W-a<4,解得-4<aW-3；

当a>0时，则-4<-aW-3,解得3Wa<4,

：.a的取值范围是-4<aW-3或3Wa<4,

故选：C.

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

11.二次函数y=3（尤-2）2+1的图象的顶点坐标是（2,1）.

【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决.

解：•.•二次函数y=3（x-2）2+1,

该函数图象的顶点坐标为（2,1）,

故答案为：（2,1）.

12.如图，点尸（。，5）在反比例函数的图象上，尸8_1_无轴于8,tanNPOH=g,

x12

【分析】利用锐角三角函数的定义，tan/POH为/POH的对边比邻边，求出OH的长,

即可得到点尸的坐标，进而得出上的值.

解：•.,点P（a,5）在反比例函数y=区的图象上，轴于H,

x

：.PH=5,

又・・・tanNPO"=*,

12

pu

・・・0H=————=12,

tanZPOH

：.P(12,5),

.\k=12X5=60,

故答案为：60.

13.如图,AB是。。直径，弦CO与AB相交，若NACD=60°,则NBA。的大小是30°

【分析】根据圆周角定理得到NADB=90°,ZABD=ZACD=6Q°,然后利用互余计

算NBA。的度数.

解：TAB为直径，

ZA£)B=90°,

VZABD=ZACD=60°,

：.ZBAD=9Q°-ZABD=30°.

故答案为：30°.

14.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,点A、。、。都在格点上，点。是△

ABO和△OCO的位似中心，贝1「△AB。与△DC。的周长比为2：5

【分析】根据题意求出坐■=g，再根据位似变换的概念、相似三角形的性质解答即可.

0D5

解：由图可知：。4=2,OD=5,

.0A_=_2

,•而一后

•；AABO和△OCO的位似,

△ABOsXDCO,

.•.△ABO与△QC。的周长比为2：5,

故答案为:2：5.

15.已知二次函数>=0+云+。（aWO）图象的一部分如图，以下结论:

①%>0；

②当尤=-1时，函数有最大值；

③方程ax2+bx+c=0的解是xi=l,X2=-3;

@2a+b—0.

其中正确的有3个.

【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可

以解答本题.

解：•..抛物线开口向下，

•••抛物线的对称轴为直线x=-3=-1,

2a

.,.b=2a<0,2a-b=0,故④错误，

,/抛物线与y轴的交点在x轴上方，

：.c>0,

.,.abc>0,所以①正确；

•••抛物线开口向下，对称轴为直线尤=-1,

当尤=-1时，函数有最大值，所以②正确；

:抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,而对称轴为直线x=-l,

抛物线与无轴的另一个交点坐标为（-3,0）,

...当x=l或x=-3时，函数y的值都等于0,

，方程办2+6尤+0=0的解是：XI—1,X2=-3,所以③正确；

综上，正确的有①②③3个，

故答案为：3.

16.如图，已知正方形ABC。，延长AB至点E使连接CE,DE,DE与BC交于

点N,取CE得中点R连接BRAF,AF交于8C于点M,交DE于点O,则下列结论:

①DN=EN；

@OA=4OF；

③tanZCED——；

3

@45四边形BEFM=1ISACMF.

其中正确的结论有①③（填序号）.

【分析】证明△NCOS△NBE,根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN=EN,故

①正确；由直角三角形的性质可得AN=NE,即可得AO>OE,故②错误；通过证明^

ABFs^ECD,可彳导/CED=/FBG,作FGLAE于G,根据等腰直角三角形的性质，

正切的定义求出tan/E4G,可求tan/C£»=4,故③正确；根据三角形的面积公式计

算，可判断④，即可求解.

解：：四边形42c。为正方形，AB=BE,

：.AB=CD=BE,AB//CD,

:ANCDsANBE,

.DNCDCN1

NEBENB

：.CN=BN,DN=EN,故①正确;

如图，连接AN,

■:DN=NE,/DAE=90°,

：.AN=NEf

'：AO>AN,NE>OE,

：.AO>OE,故②错误；

VZCBE=90°,BC=BE,尸是CE■的中点，

：.ZDCE=45°,BF=—CE=^BEfFB=FE,BFLEC,

22

：.ZBCE=900+45°=135°,NFBE=45°,

AZABF=135°,

ZABF=/ECD,

..DC_-./2_BF

・CE—"2AB，

・•・△ABFs^ECD,

：.NCED=NFBG,

如图，作/G_LAE于G,贝lj/G=8G=GE,

.FG1

,记W'

tanZFAG^—^,

AG3

tanZCED=-^-,故③正确;

o

tanZFAG=—,

3

BM=1

而一常

BM1

而至'

SAFBM=-^-SAFCM,

2

厂是CE的中点,

S/\FBC=S/\FBE,

二・S四边形故④错误；

故答案为：①③.

17.计算：2sin60°-3tan300-(1)。+(-1严之】.

O

【分析】直接利用特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、零指数幕的性质分别

化简，进而得出答案.

解：原式=2义器-3X冬-1-1

乙O

=如-V3-1-1

=-2.

18.利用标杆在太阳光下的影子测量一棵树的高度.如图标杆C£)=1.6米，8C=10米，CE

=2米.B、C、E在一条直线上，DCLBE,ABLBE,求出这棵树的高度A8.

【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可.

解：根据题意可得，AC//DE,

：.ZDEC=ZACB.

5L'：DC±BE,ABLBE,即NOCE=/A8C=90°,

/.△ABCsXDCE,

.AB=BC

,-CD-CE-

：2。=10米，CE=2米，8=1.6米.

.AB10

••，

1.62

；.AB=8米，

即这棵树的高度A8为8米.

19.如图，用一段长为20相的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃A8CD,墙长12。加设A8

长为初1,矩形的面积为问：当A8长为多少米时，所围成的花圃ABCD面积最大？

最大面积是多少？

AID-

B1-----------7

【分析】根据题意得，y=x（20-2x）=-2x2+20x=-2（尤-5）2+50,进而求解.

解：根据题意得，y=x（20-2x）=-2x2+20x—-2（x-5）2+50,

当尤=5时，A£）=20-5X2=10<12,

当尤=5时，y有最大值，y的最大值为50,

当AB长为5m时，花圃面积最大，最大面积为50m2.

20.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件，市场调查反映：

如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.

（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价无（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大.

【分析】（1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润X每天可卖出的件数列出解析

式；

（2）先配方，然后根据二次函数的性质计算即可.

解：（1）依题意可得：

w=（25+尤-20）（250-10%）

=-10x2+200x+1250（0WxW25）；

（2）w=-10N+200X+1250

=-10（x-10）2+2250（0WxW25）；

,：a=-10<0,

.,・抛物线开口向下，

当X=10时，Wmax=2250,

此时销售单价为10+25=35（元）.

21.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球,

除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为4；

（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲

取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P.

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）列表得出共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一

个是“康”的有4种结果，再由概率公式求解即可.

解：（1）由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为

故答案为：

4

（2）列表如下:

阳1过阳2康

阳1阳1过阳1阳2阳1康

过过阳1过阳2过康

阳2阳2阳1阳2过阳2康

康康阳1康过康阳2

由表知，共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”

的有4种结果，

•••甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率尸=2=《.

123

22.如图大楼A8的高度为37机，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部8

处出发，沿水平地面前行32机到达。处，再沿着斜坡DE走20机到达E处，测得旗杆顶

端C的仰角为30。.已知斜坡瓦＞与水平面的夹角/EDG=37°,图中点A,B,C,D,

E,G在同一平面内（结果精确到0.1加）

（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD.

（2）求旗杆的AC高度.

（参考数据：sin37°-0.60,cos37°«0.80,tan37°-0.75,

【分析】(1)在Rt^OEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；

(2)过点E作即，BC,垂足为根据题意可得：DB=32m,则EH=GB=48相，然

后在Rt^CEH中，利用锐角三角函数的定义求出C”的长，最后利用线段的和差关系进

行计算即可解答.

解：(1)在RtZXOEG中，ZEDG=31°,DE=20m,

.•.EG=D£«sin37°七20X0.60=12(m),

£)G=Z)£«cos37°«20X0.80=16(机),

斜坡ED的铅直高度EG约为12m,水平宽度GD约为16m；

：.EH=GB=GD+DB=16+32=48(zw),

在RtZ\CEH中，NCEH=3Q°,

CH—EH,tan30°=48X^^[3Cm),

：.AC=CH+BH-AB=16-/3+12-37^2.7(m),

旗杆的AC高度约为2.7加

23.如图，AB是。0的直径，点。在。。上，CD是。。的切线，BDLCD,的延长线

与。。交于点尽

(1)求证：ZABE=2ZA；

(2)tanA=~,BD=2,求BE的长.

2

E

【分析】(1)连接OC,如图，利用切线的性质得到NOCD=90°,再证明。。〃。石得

至！JNA8E=NCOB,根据圆周角定理得到NBOC=2N8AC,从而得到结论；

(2)连接CE,如图，根据圆周角定理得到NAC3=90°,再证明NA=NE=NBCD,

接着在RtABCD中利用正切的定义求出CD,然后在RtACDE中利用正切的定义计算出

DE,于是计算。5。得到5月的长.

【解答】(1)证明：连接OC,如图，

•・・。。是的。。切线，

・•・OCLCD,

：.ZOCD=90°,

U：BD_LCD

：.ZD=9Q°,

.•.ZOCr>+Z£>=180°,

OC//DE,

：./ABE=/COB,

ZBOC=2ZBAC,

：.ZABE=2ZA；

(2)解：连接CE,如图,

〈AB是。。的直径，

ZACB=90°,

AZA+ZABC=90°,

VZOCB+ZBCZ)=90°

OC=OB,

：・/OCB=/OBC,

：.ZA=ZBCD,

•・・ZA=ZEf

：./A=/E=/BCD,

在Rtz\5C£)中，tanNBCZ)=©^=tanA=」,

CD2

:.CD=2BD=4,

rn1

在RtACDE中，tan£==tanA=—,

DE2

：.ED=2CD=S,

E

24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，矩形。45C的边。4,0c分另1J在兀轴和y轴上,

顶点B的坐标为(8,4),反比例函数y=K(x>0)的图象经过对角线08的中点E,

x

与矩形的边BC,胡分别交于点尸，G,设直线/G的函数表达式为〉=以+儿

(2)利用图象，直接写出当ax+bwK时工的取值范围；

X

(3)若点尸在矩形的边。4上，且△尸尸G为等腰三角形，直接点尸的坐标.

【分析】(1)过点E作于点由△OMES2XOCB,点£为对角线03的中

点，可得E(4,2),用待定相似法即得y=芭，设/3n,4),G(8,w),根据反比

例函数图象上点坐标特征可得m=2,n=\,F(2,4),G(8,1),用待定系数法即

得a--1,b=5；

(2)由图象直接可得0<xW2或x28；

(3)设P(相，0),有FG2=(2-8)2+(4-1)2=45,PF2=(机-2)2+16,PG2=

(m-8)2+1,分三种情况：当GF=P/时，当PF=PG时，当Gf时，分别构建

方程求解.

解：(1)过点£作四，。。于点如图：

\ZOME=ZOCB=90°,ZMOE=ZCOB,

,.△OMEs△ocB,

.•点E为对角线。2的中点，

.OE_ME0M_l

"OB=BC=0CV

：B(8,4),

\OM=—OC=2,EM=—BC=4,

22

•・E(4,2),

•,反比例函数y4"(x>0)的图象经过点与

,.2=—,即k=8,

4

,8

•尸一，

x

•,点忆G分别在矩形的边5C,5A上，

,•设厂(m,4),G(8,n),

•,点忆G在丁=区上，

x

\m=2,n=2,

：.F(2,4),G(8,1),

将尸（2,4）,G（8,1）分别代入〉=依+匕得:

(2a+b=4解得｛"T,

I8a+b=l

b=5

・R=-x+5

2

・•・左=8,a=--,b=5；

2

_L

（2）由图象可知：当0＜无忘2或x28时，ax+bW，；

(3)设尸Cm,0),

VF(2,4),G(8,1),

.,.FG2^（2-8）2+（4-1）2=45,尸产=（m-2）2+16,P（?=-8）2+l,

当GF=P尸时，（机-2）2+16=45,

解得：相=2+^^或加=2-（此时尸不在边04上，舍去），

：.P（2+729，0）；

当PF=PG时，（%-2）2+16=（777-8）2+1,

解得加=芋，

4

15

：.P（―,0）,

4

当G尸=PG时，

（m-8）2+1=45,

解得m=8+2，JY（此时尸不在边。4上，舍去）或加=8-2J五，

：.P（8-2工，0）,

综上，点P的坐标为（2+J的，0）或（当，0）或（8-2J五，0）.

25.如图，已知AABC中，AB^AC,ZBAC^a.点。是△ABC所在平面内不与点A、C

重合的任意一点，连接C。，将线段CD绕点。顺时针旋转a得到线段。E,连接AD、

BE.

（1）如图1,当a=60°时，线段BE与AD的数量关系是BE=AD；直线BE与

相交所成的锐角的度数是60。.

（2）如图2,当a=90p时，

①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（2）^BE//AC,AB=8,AO=如时，请直接写出△OCE的面积.

【分析】（1）证明△ACQ会/XBCE（SAS）,可得BE=AD,延长A。、BE相交于点尸,

利用等量代换求出/歹=60°；

（2）①设直线BE交于点N,AD交EC于点M,证明△AC£）S/XBCE,可得BE=&AD，

利用等量代换求出NN=45°；

②分两种情况：当D点在AABC的内部时，过点E作EHLBC交于点H,由①可知，

BE=&AD=2，由8E〃AC，可得是等腰直角三角形，求出BH=EH=如,从而

得至|JHC=5&,在Rt2\EHC中，用勾股定理得EC=2工，再求△CDE的面积即可；

当点。在△ABC的外部时，过点E作EKL2C交延长线于点K,同理可求.

解：⑴'：AB=AC,ZBAC=60",

.\AABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB=6Q°,

；CD=DE,ZCDE=60°,

.,.△COE是等边三角形，

:.CE=CD,ZDCE^60°,

/.ZACD=ZBCE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.BE^AD,NCAD=NCBE,

延长A。、BE相交于点E

•?ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°,

：.ZBAD+ZCBF=60°,

VZABC=6Q°,

.-.ZF=180°-60°-60°=60°；

故答案为：BE=AD,60°；

(2)①不成立，理由如下：

设直线3E交AO于点N,AO交EC于点

当a=90°时，

'：AB=ACf

：.ZABC=ZACB=45°,

・*'J・AC

・・而二sin45

同理可得，^-=sin45v

EC

.DC二AC二加

ECBC2

VZACB=ZACE+ZECB^45°,NDCE=NACE+NDCA=45°,

：.ZECB=ZDCA,

：.△AC£)SZ\BCE,

.ADACV2

••--3-------,

BEBC2

•1•BE=V2AD，

；NCDA=NCEB,

：.ZEDN+ZCEN=9Q0,

,：ZDEC=45°,

.*./N=180°-90°-45°=45°,

直线BE与直线A。相交所成的锐角的度数是45°,

BE=V2AD-直