2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,满分30分）每小题有四个选择支，其中只

有一个符合题意，请将序号填在题后的括号中

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

C.

2.关于x的方程（a-1）N+4x-3=0是一元二次方程，则（)

A.a>\B.a=\C.a^\D.心0

3.下列说法正确的是（）

A.中奖概率为0.001,只要抽1000次，就肯定能中奖

B,概率很小的事件不可能发生

C.投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率

D.“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件

4.如图，已知AB〃CD〃ERAD：AF=3：5,BE=12,那么CE的长等于（）

24

B.4r

5D-T

-华，下列说法不正确的是（）

5.对于反比例函数），=

A.图象分布在第二、四象限

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.图象经过点（3,-6）

D.若点A（xi,yi）,B（X2,都在图象上，且xi<X2,则

6.如图，48是。。的直径，C,£>两点在。0上，NBC£>=25°,则NAO。的度数为（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

7.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有〃人参加聚会,

根据题意可列出方程为（）

A.n（n-I）=20B.n（n+1）=20C.^^^-=20D.n（n_1J=20

8.如图，已知RtZ\ABC中，/C=90°,ZA=30°,AC=6,以点B为圆心，3为半径作

OB,则点C与QB的位置关系是（）

-----------UC

A.点C在内B.点C在08上C.点C在外D.无法确定

9.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△4B'

C（点B的对应点是点,点C的对应点是点C'）,连接CC'.若/CC'B'=

22°,则的大小是（）

A.63°B.67°C.68°D.77°

10.在同一直角坐标系中，函数y=or+a和函数丁=〃/+%+2（〃是常数，且aWO）的图象可

能是（）

y

♦一4c/.D.

O--------T

二、填空题(每题3分，共18分)

11.方程(%-1)2=4的解为

12.如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选

一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是.

以《：

13.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正

常水位时，水面宽A3为20”，由于持续降雨，水位上升3〃?，若水面CQ宽为10加，则

此时水面距桥面距离0E的长为.

3A

14.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,NA=22.5°,OC=4,则CD的长

为.

15.若二次函数y=-x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如表

x-0123

y-1232

点A(xi,yi)、点5(X2,”)在该函数图象上，当0<xiVl,2<X2<3,yi与”的大

小关系是.

16.如图，在正方形ABCC中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交A。于点E、

F,连接BQ、DP,BQ与C尸相交于点从给出下列结论：

®BE=2AE；

②/\DFPSABPH；

③4PFDS&PDB；

@DP2=PH'PC.

其中正确的是.(填序号)

三、解答下列各题(本大题共9题，满分72分)

17.解方程：

①(JC-2)2=(2x+3)2；

②N+4x-2=0.

18.已知关于x的方程：x2+(«i-2)x-m—0.

(1)求证：无论加取何实数，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设非0实数〃，?〃是方程的两根，试求机-〃的值.

19.如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框,

要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等.求小华添加

的边框的宽度.

舞"中的抗疫英雄

20.已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,

2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

（1）画出△A8C向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的并直接写出

C点的坐标；

（2）画出AABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2&C2,并直接写出Cz点的坐

标;

（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为

21.有这样一个问题：探究函数丫=3二』的图象与性质.小彤根据学习函数的经验，对函数

x-3

的图象与性质进行了探究.

x-3

下面是小彤探究的过程，请补充完整:

（1）函数的自变量x的取值范围是_______

x-3

（2）下表是），与x的几组对应值：

X•••-2-101245678•••

・・・.・・

y3,m』0-132_53,7_

-5y~3~2~5

则m的值为

（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根

据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象;

(5)若函数的图象上有三个点A(xi,yi)、B(X2,”)、C(X3,第)，且xi

x-3

<3<X2<X3,则yi、”、户之间的大小关系为；

22.如图，AB为。。的直径，PQ切O。于点C,与BA的延长线交于点。，DELPO^PO

延长线于点E,连接OC,PB,已知尸8=6,08=8,NEDB=NEPB.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)求。。的半径.

23.某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y(千

克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80.设这种商品每天的销售利润为卬

元.

(1)求卬与x之间的函数关系式；

(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150

元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

24.如图1,在正方形A8CZ)中，点E是边BC上一点，且点E不与点8、C重合，点厂是

区4的延长线上一点，且AF=CE.

(1)求证：△£>(7£■丝△D4F；

(2)如图2,连接EF,交A。于点K,过点。作。H_LEF,垂足为“，延长。，交BF

于点G,连接HB,HC.

①求证：HD=HB；

②若DK，HC=近,求HE的长.

25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A,8两点，点A在x轴上，

点8在y轴上，C点的坐标为(1,0),抛物线)，=奴2+以+0经过点A,B,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)根据图象写出不等式加(匕-1)x+c>2的解集；

(3)点P是抛物线上的一动点，过点尸作直线AB的垂线段，垂足为。点.当尸。=返

2

时，求P点的坐标.

X

参考答案

一、选择题（本大题共1（）小题，每小题3分，满分30分）每小题有四个选择支，其中只

有一个符合题意，请将序号填在题后的括号中

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

解：A.不是中心对称图形，故A错误；

B.不是中心对称图形，故B错误；

C.是中心对称图形，故C正确；

D.不是中心对称图形，故。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着

某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心

对称图形，这个点就是它的对称中心.

2.关于x的方程（〃-1）N+4X-3=0是一元二次方程，则（）

A.a>\B.a=\C.a^lD.心0

【分析】根据一元二次方程定义可得：a-1W0,再解即可.

解：由题意得：a-1^0,

解得：

故选：C.

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并

且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

3.下列说法正确的是（）

A.中奖概率为0.001,只要抽1000次，就肯定能中奖

B.概率很小的事件不可能发生

C.投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率

D.“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此

题关键.

解：A、买彩票中奖的概率为0.001,并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买

彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001,故说法错误；

8、概率很小的事件也有可能发生，故说法错误；

C、投一枚图钉，“针尖朝上”，无法利用列举法求概率，故说法错误；

。、“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件，说法正确.

故选：D.

【点评】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又

分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1;

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0;③如果4为不确定事件（随机

事件），那么0<P（A）<1,逐一判断即可得到答案.

4.如图，己知AB〃CQ〃EF,AD,AF=3：5,BE=12,那么CE的长等于（）

ABi

C\D

24

~5

【分析】根据平行线分线段成比例得到些=里，即§=坐，可计算出BC,然后利用

AFBE512

CE=BE-BC进行计算.

解：•：AB//CD//EF,

•APBC即3_BC

"AF-BE,

55

故选：c.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

5.对于反比例函数丫=-四，下列说法不正确的是（）

x

A.图象分布在第二、四象限

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.图象经过点（3,-6）

D.若点A（xi,yi）,B（及，J2）都在图象上，且则

【分析】反比例函数y=当中的-18<0,所以该函数图象位于第二、四象限，且在每

X

一象限内），随式的增大而增大.

解：A、因为丫=•中的-18<0,所以该函数图象位于第二、四象限，故本选项说法

x

正确；

B、当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项说法正确；

C、把点（3,-6）代入反比例函数得到-6=-学，等式成立，故本选项说法正确；

。、当在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项说法错误：

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数），=且，当k>0时，在每一个

x

象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随

自变量x增大而增大.

6.如图，AB是的直径，C,。两点在0。上，NBC£>=25°,则NAOO的度数为（）

【分析】由/BCD=25°,根据圆周角定理得出/8。。=50°,再利用邻补角的性质即

可得出/A。。的度数.

解：'：ZBCD=25°,BD=BD，

：.NBOD=2NBCD=50°,

AZBCD=180°-50°=130°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是同弧所对的圆

周角等于圆心角的一半.

7.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有〃人参加聚会，

根据题意可列出方程为()

A.n(n-1)=20B.n(n+1)=20C.11皿。=20D.21ylz11=20

22

【分析】设有〃人参加聚会，则每人送出(n-1)件礼物；接下来根据共送礼物20件，

列出方程.

解：设有〃人参加聚会，则每人送出(〃-1)件礼物，

由题意得，〃(〃-1)=20.

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是找出合适的等量关系

8.如图，已知RtZXABC中，ZC=90°,NA=30°,AC=6,以点8为圆心，3为半径作

OB，则点C与的位置关系是()

)

-------------°C

A.点C在OB内B.点C在08上C.点C在外D.无法确定

【分析】欲求点C与的位置关系，关键是求出8C,再与半径3进行比较.若d<r,

则点在圆内；若1=〃则点在圆上；若则点在圆外.

解：RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,

.•.8C=®AC=2百，

3

,/以点B为圆心，3为半径作OB,

：.R<d,

.♦.点C在OB外.

故选：C.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到点的距离d

与圆半径大小关系完成判定.

9.如图，在RtZVIBC中，ZBAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'

C（点8的对应点是点夕，点。的对应点是点C）,连接CC'.若NCC'B'=

22°,则N8的大小是（）

A.63°B.67°C.68°D.77°

【分析】由题意可得4C=AC,ZCAC=90°,NA8'C=N8,可得/4CC=45°,根

据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求N48C=NB=NACC+NCC8=67°.

解：•・•将△A8C绕点A顺时针旋转90°后得到夕C,

：.AC=AC,ZCAC=90°,NA8c=N8,

AZACC=45°,

VZAB'C=NACC+NCC8,

AZAB'C=45°+22°=67°,

：.ZB=67°,

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质.等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关

键.

10.在同一直角坐标系中，函数y=or+a和函数>=以2+无+2（〃是常数，且〃W0）的图象可

能是（）

【分析】根据。的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负,

然后逐个分析即可.

解：当a>OEI寸，

一次函数过一二三象限，

抛物线开口向上，对称轴x=4<0,故8、C不符合题意，

2a

当aVO时，

一次函数过二三四象限，

抛物线开口向下，对称轴x=」>0,故A不符合题意.

2a

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，能够通过一次函数和二次函数的

系数判断出大概图象是解答本题的关键.

二、填空题（每题3分，共18分）

11.方程（x-1）2=4的解为3或-1.

【分析】观察方程的特点，可选用直接开平方法.

解：（x-1）2=4,即x-l=±2,所以X|=3,X2=-1.

【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：/=〃（°20）.ax2=b（0人同

号且aWO）；（x+a）2=b（b20）；a（x+b）2=c（a,c同号且aWO）.法则：要把

方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”.

12.如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选

一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是1.

一31

【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结

果有3个，再由概率公式求解即可.

解：画树状图如图：

开始

小明

张华

共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结果有3个,

•••小明和张华两人恰好选中同一根绳子的概率为,=《，

93

故答案为：［■,

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

13.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正

常水位时，水面宽AB为20〃?，由于持续降雨，水位上升3根，若水面CD宽为10〃?，则

此时水面距桥面距离OE的长为\m.

【分析】根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2,设。、8的坐标求

解析式，便可求得。旦

【解答】解设抛物线的解析式为丫=以2不等于0),桥拱最高点£到水面CQ的距离

为OE=hm.

则D(5,-/?),B(10,-/z-3)

.(25a=-h

I100a="h_3

(1

解得｛25,

h=l

OE=\m,

故答案为：

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二

次函数解决实际问题.

14.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,OC=4,则CO的长为

472_.

【分析】由垂径定理得到CE=DE,再由圆周角定理得NBOC=45°,得aOCE为等腰

直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质求出C£的长，从而得到CQ的长.

解：'：AB±CD,

：.CE=DE,NOEC=90°,

：NBOC=2NA=2X22.5°=45°,

.•.△OCE为等腰直角三角形，

CE=OE=券。C=272，

:.CD=2CE=4近.

故答案为：472.

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟

练掌握圆周角定理和垂径定理，证明aocE为等腰直角三角形是解题的关键.

15.若二次函数y=-N+bx+c中函数），与自变量x之间的部分对应值如表

x•,-0123…

y-*-1232…

点4（xi,yi）、点8（X2,）2）在该函数图象上，当0<用<1,2<%2<3,yi与”的大

小关系是yi<”.

【分析】由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数），=-9+历什c的对称轴

和开口方向，然后由二次函数的单调性填空.

解：根据图表知，

当x=l和x=3时，所对应的y值都是2,

二抛物线的对称轴是直线x=2,

；该二次函数的图象的开口方向是向下；

V0<xi<l,2<X2<3,

.,.0<.n<l关于对称轴的对称点在3和4之间，

当x>2时，y随尤的增大而减小，

.♦.yiVy2,

故答案是：y\<yi.

【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系

数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的

纵坐标的大小是解此题的关键.

16.如图，在正方形ABC。中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交于点E、

F,连接B。、DP,80与CF相交于点H,给出下列结论：

①BE=2AE；

②△DFPS^BPH；

③APFDSAPDB；

@DP2=PH'PC.

其中正确的是①②④.(填序号)

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论.

解：♦.•△8PC是等边三角形，

:.BP=PC=BC,NPBC=NPCB=NBPC=6Q°,

在正方形ABC。中，

'：AB=BC^CD,/A=/AOC=NBCD=90°

.../A8E=N£)CP=30°,

：.BE=2AE；故①正确；

VPC=CD,NPCZ)=30°,

:"PDC=15°,

.\ZFDP=\50,

VZDBA=45°,

：.ZPBD=15°,

:.NFDP=NPBD,

；NDFP=NBPC=60°,

:.丛DFPs^BPH；故②正确；

ZFDP=ZPBD=15°,ZADB=45°,

；.NPDB=30°,而/£)FP=60°,

:.NPFDWNPDB,

：.^PFD与APDB不会相似；故③错误；

•：NPDH=NPCD=30°,NDPH=NDPC,

：./\DPH^/\CPD,

.DP=PH

"PC-DP'

:.DP，=PH*PC,故④正确；

故答案是：①②④.

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质,

解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.

三、解答下列各题(本大题共9题，满分72分)

17.解方程：

①(x-2)2=(2x+3)2；

②/+4x-2=0.

【分析】①利用因式分解法求解即可；

②利用公式法求解即可.

解：①(x-2)’=(2x+3)2,

(x-2)2-⑵+3)』0,

[(x-2)+(2x+3)][(x-2)-(2x+3)]=0,

-x-5=0或3x+l=0,

••xi--5，x广r；

4O

@x2+4x-2=0,

V«=Lb=4,c=-2,

A/>2-4ac=42-4XlX(-2)=24>0,

.•*这±、叵.二4±2泥五,

x2X12

xj=_2+V6,X2=-2-V6.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键.

18.已知关于x的方程：x2+(w-2)x-?n=0.

(1)求证：无论加取何实数，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设非0实数”，〃是方程的两根，试求，"-"的值.

【分析】(1)表示出方程根的判别式，利用非负数的性质判断其值大于0,即可得证；

(2)把x=,〃代入方程求出〃?的值，进而求出〃的值，即可求出所求.

【解答】(1)证明：关于x的方程：x2+(m-2)x-m=0,

a=1,b=m-2,c=-m,

A=(/n-2)2+4/M

—m2-4/n+4+4/M

=/M2+4>0,

无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：•.•实数加，〃是方程的两根，

...把x=/n代入方程得：，层+m(m-2')-m=0,

解得：，〃=0或〃?=3,

2

把m=0代入方程得：x2-2x=0,

解得：x=0或x=2；

把机=旦代入方程得：N一工一3=0,即2/-x-3=0,

222

解得：*=2或x=-1,

2

则m-n=0-2—-2或"=3+1——.

22

【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题

的关键.

19.如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框,

要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等.求小华添加

的边框的宽度.

黄。中的抗疫英雄

【分析】设小华添加的边框的宽度应是X分米，根据边框面积与电子小报内容所占面积

相等，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

解：设小华添加的边框的宽度应是X分米，

依题意，得：(6+2x)(4+2x)-6X4=6X4,

整理，得：x^+Sx-6=0,

解得：制=1,x2=-6(不合题意，舍去).

答：小华添加的边框的宽度应是1分米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

20.已知：ZSABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,

2).(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)

(1)画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△4B1G,并直接写出

G点的坐标；

(2)画出aABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的282c2,并直接写出C2点的坐

标；

(3)请求出(2)中△48C旋转过程中所扫过的面积为与兀士.

—22~

【分析】(1)将A、B、C分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，顺次连接即

可得出山Ci,即可得出写出Ci点的坐标；

(2)根据旋转的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A2&C2,即可写出C2点

的坐标；

(3)根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

图2

(3)'.'AB=^3^+1=V10,AC="\f^,

.,.AC^+BC^^AB2,

：./\ABC是等腰直角三角形，

•'•S^ABC--^-xVsxV^="^"，

AABC旋转过程中所扫过的面积=9°■冗.('而)2+S—BC=&兀-k|.

36022

故答案为：K+^--

22

【点评】本题考查了旋转作图及平移作图的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应

点，要求掌握旋转三要素、平移的特点.

21.有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小彤根据学习函数的经验，对函数

x-3

），=2二5的图象与性质进行了探究.

x-3

下面是小彤探究的过程，请补充完整：

（1）函数），=2二5的自变量X的取值范围是一

x-3

（2）下表是y与1的几组对应值：

X・・・-2-101245678…

y••♦3,m_10-1325_3,7_...

~3~3~2~5

则〃2的值为高；

-2~

（3）如图所示，在平面直角坐标系xO），中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根

据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

（5）若函数"的图象上有三个点A（xi,yi）、B（X2,”）、C（X3,”），且xi

x-3

<3<X2<X3,则）1、丫2、丫3之间的大小关系为yi<V3<y2；

【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0,即可得到自变量x的取值范围；

（2）把》=-I代入函数解析式，即可得到机的值；

（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；

（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；

（5）依据函数图象，即可得到当xi<3时，yi<l；当3Vx2VX3时，

解：⑴：x-3W0,

・\x#3；

(2)当x=-1时，y=^i=—=—

x-3-42

(4)由图象可得，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；

(5)由图象可得，当尤i<3时，yi<l；当3<X2〈X3时，

，yi、》2、》之间的大小关系为yiVy3V

故答案为：丘3；i当x>3时，)，随x的增大而减小；»—

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步

骤：列表——描点——连线.连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连

接，切忌画成折线.

22.如图，AB为的直径，尸。切。。于点C,与BA的延长线交于点。，DELPO交P0

延长线于点E,连接OC,PB,已知PB=6,OB=8,NEDB=NEPB.

(1)求证：P8是的切线；

(2)求。。的半径.

(3)连接BE,求BE的长.

【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到N08P为直角，即可得证；

(2)在直角三角形中，由PB与。8的长，利用勾股定理求出PO的长，由切线长

定理得到PC=PB=6,由PO-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r,

则有0Z)=8-r,利用勾股定理列出关于/•的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的

半径.

(3)延长PB、DE相交于点尸，证明丝(ASA),由全等三角形的性质得

出P£)=PF=10,DE=EF,求出。尸的长，则可得出答案.

【解答】(1)证明：

ZD£O=90°,

'：ZEDB=ZEPB,ZBOE=ZEDB+ZDEO,ZBOE=ZEPB+ZOBP,

：.NOBP=NDE0=9G°,

：.OBLPB,

为。。的切线；

(2)解：在RtZXPBO中，PB=6,DB=8,

根据勾股定理得：PD=V62+82=10'

与PB都为。。的切线，

：.PC=PB=6,

：.DC=-PD-PC=\Q-6=4；

在Rt/XCCO中，设OC=r,则有00=8-r,

根据勾股定理得：(8-r)2=/+42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

(3)延长PB、OE相交于点F,

p

・・・尸。与P8都为。0的切线，

・・・O尸平分NCP8,

:./DPE=NFPE,

U：PELDF,

，NPED=NPEF=9C,

又<PE=PE,

:.APED经APEF（ASA）,

：.PD=PF=lOfDE=EF,

：.BF=PF-PB=lO-6=4f

在Rt/XDBF中,DF=VDB2+BF2=^82+42=W5，

•*-BE=^-DF=2V5-

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定

和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

23.某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千

克）与销售价x（元/千克）有如下关系：）>=-2x+80.设这种商品每天的销售利润为w

元.

（1）求川与x之间的函数关系式；

（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150

元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

【分析】（1）根据每天的利润等于每千克的利润乘以每天的销售量，可得卬关于x的

函数关系式；

(2)将卬=-2/+120x-1600配方，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)当卬=150时，可得方程-2(x-30)2+200=150,求得x值，并根据问题的实际

意义作出取舍即可.

解：(1)由题意得：

w=(x-20)

=(x-20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600；故卬与x的函数关系式为：卬=-2/+120犬-1600；

(2)w=-2x2+\20x-1600

=-2(x-30)2+200

：-2<0,

.•.当x=30时，w有最大值.w最大值为200.

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

(3)当叩=150时，可得方程-2(%-30)2+200=150

解得修=25,及=35

V35>28,

；.X2=35不符合题意，应舍去.

答：该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元.

【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本、利润的基本数量关系及

二次函数的相关性质，是解题的关键.

24.如图1,在正方形A8CQ中，点E是边8c上一点，且点E不与点B、C重合，点尸是

84的延长线上一点，且AF=CE.

(1)求证：4DCE公ADAF；

(2)如图2,连接EF,交AD于点K,过点。作凡垂足为H,延长。〃交8尸

于点G,连接48,HC.

①求证：HD=HB；

②若。K・HC=&,求"E的长.

DD

(2)①由△OCEg△£)/!凡得到△£>F£为等腰直角三角形，则点”是EF的中点，故

DH=^EF,进而求解；

②证明△OKFs△”£•(7,则叫M,B|JDK-HC^DF'HE,进而求解.

HEHC

解：(1)：四边形ABCD为正方形，

：.CD=AD,NDCE=NDAF=90°,

VCE^AF,

.\/\DCE^/\DAF(SAS)；

(2)®VADC£^ADAF,

:.DE=DF,ZCDE=ZADF,

：.NFDE=ZADF+ZADE^NCDE+NADE=ZADC=90°,

Z\OFE为等腰直角三角形，

•：DHLEF,

.•.点〃是EF的中点，

：.DH=—EF,

2

同理，由“8是RtZXEBF的中线得：HB=^EF,

:.HD=HB；

②；四边形ABCD为正方形，

故CD=CB,

,:HD=HB,CH=CH,

:.△DCH92BCH(SSS),

：.ZDCH=ZBCH=45°,

・・♦丛DEF为等腰直角三角形，

・・・/DFE=45°,

・・・ZHCE=4DFK,

・・•四边形ABC。为正方形，

：.AD//BC,

：.ZDKF=NHEC,

：./\DKF