高中数学选修22人教版练习第一章1.71.7.2定积分在物理中的应用

第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用定积分在几何中的应用1.7.2A级基础巩固一、选择题1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于()Aeq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)(x－x3)dx B.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)(x3－x)dxC．2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x－x3)dx D．2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)(x－x3)dx解析：由图象可知，当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x3图象的上方，根据对称性知，选项C正确．答案：C2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x2－1)dxB．|eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x2－1)dx|C.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)|x2－1|dxD.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(x2－1)dx解析：y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，选项C正确．答案：C3．如图所示，阴影部分的面积是()A．2eq\r(3)B．2－2eq\r(3)C.eq\f(32,3)D.eq\f(35,3)解析：S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－3)(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,－3)＝eq\f(5,3)＋9＝eq\f(32,3)，故应选C.答案：C4．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所做的功是()A．8JB．10JC．12JD．14J解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(3,1)＝14(J)．答案：D5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2解析：令7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝－eq\f(8,3)(舍去)或t＝4.则eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（1＋t）))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5.答案：C二、填空题6．直线x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(3π,2)，y＝0及曲线y＝cosx所围成图形的面积________．解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为答案：27．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．解析：由s＝eq\a\vs4\al(∫)t2t110tdt＝5t2|t2t1＝5(teq\o\al(2,2)－teq\o\al(2,1))，得平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s,t2－t1)＝5(t2＋t1)．答案：5(t2＋t1)8．曲线y2＝x与直线y＝eq\f(1,2)x所围图形的面积为________．解析：如图所示，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝\f(1,2)x))得交点坐标为O(0，0)，A(4，2)，所以S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)x))dx＝eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up13(\f(3,2))－))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答题9．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)因为y＝f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，所以设f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0有两个等根，所以4－4c＝0，得c＝1所以f(x)＝x2＋2x＋1.(2)y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)(x2＋2x＋1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(0,－1)＝eq\f(1,3).10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[0，1），,\r(x)，x∈[1，2]，))求曲线y＝f(x)与x轴、直线x＝0、x＝2所围成的图形的面积．解：作出函数图象如图所示，S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)f(x)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)x3dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\r(x)dx＝eq\f(x4,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,0)＋eq\f(2,3)xeq\s\up13(\f(3,2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝－eq\f(5,12)＋eq\f(4\r(2),3).B级能力提升1．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3) B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)解析：因为抛物线方程为x2＝4y，所以其焦点坐标为F(0，1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝eq\f(1,4)x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)eq\f(x2,4)dx＝4－2·eq\f(x3,12)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).答案：C2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为________．解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)F(x)cos30°dx＝eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(5－x2)dx＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,3)))＝eq\f(4\r(3),3)(J)．答案：eq\f(4\r(3),3)J3．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在eq\f(1,2)～6s间的运动路程．解：v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t≤1，,2，1<t<3，,\f(1,3)t＋1，3≤t≤6，))则所求路程s＝eq\a\vs4\al(∫)6eq\s\do9(\f(1,2))v(t)dt＝eq\a\vs4\al(∫)1eq\s\do9(\f(1,2))2tdt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)2dt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋1))