河南省顶尖名校高三下学期第二次素养调研数学（文）试题

2022届河南省顶尖名校高三下学期第二次素养调研数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】解出一元二次不等式，利用集合并集的定义求解即可．【详解】因为或，所以或.故选：.2．已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数运算法则及虚部概念得解.【详解】因为，所以的虚部为.故选:D.3．在等差数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，利用等差中项分别求得，，再由求解.【详解】，，又，，.故选：C.4．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是20122020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（

）20122020年我国快递业务量变化情况A．这年我国快递业务量有增有减B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件【答案】D【分析】对于A，由条形图有变化进行判断即可；对于B，先对这9年的增速排列，找到第5个数就是中位数；对于C，求出极差进行判断；对于D，从条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，从而可得平均数超过亿件【详解】由条形图可知，这年我国快递业务量逐年增加，故错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：，，，，，，，，，故中位数为第个数，故错误；这年我国快递业务量同比增速的极差为，故错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，故快递业务量的平均数超过亿件，正确.故选：D.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到，用诱导公式求解.【详解】.故选：B.6．已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导数，由为偶函数，求得，然后再求得，写出切线方程.【详解】由题得，，由为偶函数，得，所以，所以的图象在点处的切线的斜率为，所求的切线方程为，即.故选：.7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知为上的增函数，且为奇函数，将转化为，利用单调性求解.【详解】因为函数的定义域为R，且，所以为奇函数，又为上的增函数，所以，即，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由图象得出，进而求得的解析式.【详解】由图可知，，图象过点，，，，.由图象过点得，，，，.故选：C.9．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】换元长方体，取的中点有，则即为异面直线与所成的角，应用余弦定理求即可.【详解】将该长方体还原后的直观图如下图所示，取的中点，易证，∴由图知，即为异面直线与所成的角，可得，，∴由余弦定理得.故选：B.10．在西方人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例.黄金分割比例符合人类潜意识里的审美观，给人以强烈的视觉美感，因此在绘画、设计、建筑等领域有着广泛的应用.如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形、矩形、矩形、矩形、矩形，则点恰好落在黄金矩形内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题可设、、、、、，然后根据题意得出以及，最后求出矩形的面积以及矩形的面积，即可得出结果.【详解】如图，设，，，，，，则，故，，，，则矩形的面积，矩形的面积，故点恰好落在黄金矩形内的概率，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查几何概型的相关问题的求解，能否求出矩形的面积以及矩形的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为，，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，若，且，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由，变形得到，即，设，，由，得到B的坐标，然后由点B在双曲线上求解.【详解】由已知得，设，由，得，轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得，，即，点在双曲线上，，整理得，，解得或（负值舍去）.故选：D12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题实际上是求四面体外接球的面积问题.设出球心，根据已知条件求出外接球半径即可.【详解】由已知得△，△均为等边三角形.如图所示，设球心为，△的中心为，取的中点，连接，，，，，，则，，得平面，且可求得，而，所以.在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点，由平面，得，故平面，过点作于点，则四边形是矩形.则，，，.设球的半径为，，则由，，得，，解得，.故三棱锥外接球的表面积.故选：B.【点睛】思路点睛：解决与外接球有关的问题时，要认真分析图形，明确球心的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图求解.二、填空题13．设为等比数列的前项和，且，则的值是__________．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式及前n项求和公式求解即可.【详解】因为所以，解得又因为，所以且解得故答案为：4【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．14．已知函数图象的一条切线l1与直线垂直，则l1的方程为___________.【答案】【分析】设切点坐标为，求得切线的斜率为，再由两直线垂直的条件解出切点坐标，根据直线的点斜式方程可得答案.【详解】设切点坐标为，所以切线的斜率为，又直线的斜率为，所以由，得，又，所以，所以，所以切点坐标为，故的方程为，即的方程为，故答案为：.15．已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的最小值为，则该四面体外接球的表面积是___________.【答案】【分析】首先将侧面､侧面展成一个平面，确定在内当三点共线时最小，求得棱长进而即可得解.【详解】设正四面体的棱长为，将侧面､侧面展成一个平面，在内当三点共线时(如图)，最小，此时，即，得记正四面体的外接球球心为.设点在平面上的射影为(如图2)，则为的中心，，因为为正三角形，故四面体外接球的球心在线段上，设球的半径为，则，即，解得，故正四面体的外接球的表面积为.故答案为：.三、双空题16．下图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度(单位：)的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m=___________，据此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为___________.【答案】

0.04

102【分析】根据频率分布直方图各矩形的面积之和为1求解；算出各组的频率，利用平均数公式求解.【详解】由频率分布直方图得：，解得；各组的频率自左向右依次为，所以平均速度为故答案为：0.04；102四、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a2+b2=10，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，由A+B+C=π，求出cosC=，由此求出∠C．（2）由余弦定理得7=10﹣ab，从而ab=3，由此能求出△ABC的面积．【详解】（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴∠C=．（2）∵c=，a2+b2=10，，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=10﹣ab，解得ab=3，∴△ABC的面积S===．【点睛】本题考查三角形角的大小的求法，三角形面积的公式等基础知识的求法，利用正弦定理、余弦定理，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．已知直三棱柱中，，为等腰直角三角形，，、分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）易知四边形为正方形，进而可得，又三棱柱为直三棱柱且为等腰直角三角形，可得平面，进而可得，然后根据线面垂直的判定定理即可求解；（2）由（1）根据即可求解.【详解】(1)证明：∵为等腰直角三角形，，∴，又，∴四边形为正方形，又、分别是和的中点，∴，又∵为的中点，∴，又∵三棱柱为直三棱柱，∴平面平面，又平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面；(2)解：∵，由（1）可知平面，∵，，∴．19．某产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）求线性回归方程；（2）预测当广告费支出（百万元）时的销售额．（回归直线方程是：，其中，【答案】（1）；（2）百万元.【分析】（1）根据表格数据，结合最小二乘法求参数、，写出线性回归方程；（2）由（1）所得回归方程估计（百万元）时的销售额.【详解】（1）由题意，，，而，，∴，则，∴线性回归方程为.（2）当时，(百万元).20．已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．(1)求椭圆的方程．(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；或.【分析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.【详解】(1)设，因为直线的斜率为，，所以，可得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为．(2)假设存在直线，使得的面积为，当轴时，不合题意，设，，直线的方程为，联立消去得：，由可得或，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直线：或使得的面积为.21．已知函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值及该切线方程；（2）若关于x的不等式恒成立，求正数的最小值.【答案】（1），；（2）最小值为.【分析】（1）由导数的几何意义和直线相互垂直斜率的关系可求出答案.（2）不等式恒成立等价于恒成立,求出的导数，得出其单调性，从而得出其最小值，可得答案.【详解】解，由题意知，解得，所以所以切点坐标为，又切线斜率为2，故所求的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令显然在上单调递增，且，所以等价于，所以即，所以，所以的最小值为【点睛】关键点睛：本题考查导数几何意义和不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是由恒成立等价于恒成立，根据的单调性，得到，属于中档题.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）射线和射线与C的交点分别为A、B，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）用消参法得出曲线的普通方程，再由，可化直角坐标方程为极坐标方程；（2）分别将和代入曲线C的极坐标得，由公式计算面积．【详解】解：（1）将曲线C的参数方程化为普通方