函数的概念和图象（八大题型）（原卷版）

5.1函数的概念和图象课程标准学习目标（1）通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养.（2）通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.（3）通过函数图象的画法及图象的应用提升数学直观想象素养与逻辑推理素养.（1）进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。（2）能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系刻画数学概念中的作用。（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域。（4）理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象知识点01函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．知识点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．知识点02函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．【即学即练2】（2023·江苏苏州·高一常熟中学校考阶段练习）函数的定义域为．知识点03函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．【即学即练3】（2023·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4).知识点04函数的图像将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象.【即学即练4】（2023·广东江门·高一校考期中）如下图可作为函数的图象的是（

）A． B．C． D．题型一：函数的概念例1．（2023·全国·高一专题练习）如图图形，其中能表示函数的是（

）A．

B．

C．

D．

例2．（2023·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）函数的图象与直线的交点个数（

）A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个例3．（2023·高一课时练习）下列等式中的变量不具有函数关系的是（）A． B．C． D．变式1．（2023·全国·高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A． B．C． D．题型二：给出解析式求函数的定义域例4．（2023·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）函数的定义域是例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数的定义域为．例6．（2023·江苏镇江·高一统考阶段练习）函数的定义域为.变式2．（2023·全国·高一专题练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为.变式3．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）已知函数，则函数的定义域．题型三：抽象函数求定义域例7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．例8．（2023·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例9．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·福建厦门·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．变式5．（2023·河南郑州·高一郑州四中校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．题型四：给出函数定义域求参数范围例10．（2023·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，则实数的取值范围是．例11．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是．例12．（2023·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.变式7．（2023·高一课时练习）若函数的定义域为，则的范围是.变式8．（2023·高一单元测试）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是．题型五：同一函数的判断例13．（多选题）（2023·贵州六盘水·高一校考阶段练习）与为相等函数的是（

）A． B． C． D．例14．（多选题）（2023·广东佛山·高一校联考期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（

）A．与B．与C．与D．与例15．（多选题）（2023·江西上饶·高一校考期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（

）A．与B．与C．与D．与变式9．（多选题）（2023·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）下列四组函数，表示相同函数的一组是（）A．，（）B．，C．，D．，题型六：给出自变量求函数值例16．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）已知函数，则.例17．（2023·吉林长春·高一校考阶段练习）函数，由下列表格给出，则．123424314321例18．（2023·陕西西安·高一西安中学校考阶段练习）已知函数.则.变式10．（2023·浙江台州·高一统考期末）定义在上的函数满足，，则．变式11．（2023·全国·高一随堂练习）设函数对任意正实数都有，已知，则.变式12．（2023·全国·高一专题练习）定义域为的函数和，则.变式13．（2023·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）定义在上的函数满足下列两个条件：(1)对任意的恒有成立；(2)当时，．则的值是．题型七：求函数的值域例19．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).例20．（2023·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).例21．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．变式14．（2023·高一校考课时练习）求下列函数的值域:(1)，(2)，(3)，(4)变式15．（2023·全国·高一专题练习）试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).变式16．（2023·高一课时练习）已知函数.(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；(2)若函数值域为，求a的取值范围.变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.题型八：函数的图象例22．（2023·全国·高一专题练习）在图中的三个图形中，是函数图象的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3）例23．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（

）A． B． C． D．例24．（2023·新疆喀什·高一统考期中）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（

）A． B．C． D．变式18．（2023·高一课时练习）设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有(

)个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式19．（2023·高一课时练习）函数的图象是（

）A． B．C． D．变式20．（2023·高一课时练习）函数的图象是（

）A． B．C． D．变式21．（2023·高一课时练习）2020年9月我校正式成为市争创特色学校的项目学校（“非遗文创”特色），其中“江南传统民居木作技艺”是一项非遗保护项目，现有木料形状图如下，那么旋转后可以看成函数的图像的是（

）A． B． C． D．变式22．（2023·全国·高一课堂例题）作出函数的图象．变式23．（2023·全国·高一课堂例题）试画出下列函数的图象：(1)；(2)，.一、单选题1．（2023·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，与相同的函数是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，55．（2023·全国·高一专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，．若，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）函数的值域是（

）A． B． C．0 D．7．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A．或 B．或 C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·福建南平·高一校考阶段练习）下列函数中哪个与函数不是同一个函数（

）A． B． C． D．.10．（2023·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同D．表示当时，函数的值，这是一个常量11．（2023·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．12．（2023·高一课时练习）下面结论正确的是（

）A．若，则的最大值是B．函数的最小值是2C．函数（）的值域是D．，且，则的最小值是3三、填空题13．（2023·广西南宁·高一南宁市第一中学校考阶段练习）函数的值域为．14．（2023·广西柳州·高一柳州高级中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.15．（2023·山东德州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为．16．（2023·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）函数在上的值域是.四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）已知(1)求和；(2)求函数的值域．18．（2023·