第5讲 对数与对数函数(学生)

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基础梳理

1．对数的概念(1)对数的定义

假如a*＝N(a＞0且a≠1)，那么数*叫做以a为底N的对数，记作a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数

2.(1)对数的性质：①alogaN＝；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式

logN1

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝推广logablogbclogcd＝logad.

logablogba

(3)对数的运算法那么：假如a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

Mn

①loga(MN)logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝maM.3．

4.反函数

指数函数y＝a*与对数函数y＝loga*互为反函数，它们的图象关于直线

一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法那么都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先讨论函数的定义域；(2)留意对数底数的取值范围．三个关键点

画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，1.

四种方法

对数值的大小比较方法

(1)

双基自测

1．(2022四川)2log510＋log50.25＝()．

A．0B．1C．2D．42．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，那么a，b，c的大小关系是()．A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b

3．(2022黄冈中学月考)函数f(*)＝log2(3*＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)

4．(2022汕尾模拟)以下区间中，函数f(*)＝|ln(2－*)|在其上为增函数的是()．

43

A．(－∞，1]B.－1，3C.0，2D．[1,2)

2

5．假设log

a3，那么a的取值范围是________．

考向一对数式的化简与求值

log91324

【例1】求值：；(2)(lg5)2＋lg50lg2；(3)lg8＋

lg245.

log232493

对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可依据对数的定义、对数的运算性

质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要留意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．

11

【训练1】(1)假设2a＝5b＝10，求a＋b的值．(2)假设*log34＝1，求4*＋4－*的值．

考向二对数值的大小比较

【例2】已知f(*)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，

1

b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，那么a，b，c的大小关系是()．

2

A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c

一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，

同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．

1

【训练2】(2022全国)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，那么()．

2

A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a

考向三对数函数性质的应用

【例3】已知函数f(*)＝loga(2－a*)，是否存在实数a，使函数f(*)在[0,1]上是关于*的减函数，假设存在，求a的取值范围．

讨论函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原那么．讨论复合函数的单调性，肯定

要留意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法那么是“同增异减”．此题的易错点为：易忽视2－a*＞0在[0,1]上恒成立，即2－a＞0.实质上是忽视了真数大于0的条件．【训练3】已知f(*)＝log4(4*－1)

1

(1)求f(*)的定义域；(2)争论f(*)的单调性；(3)求f(*)在区间22上的值域．

难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法

指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要留意分类争论．一、与对数函数有关的求值问题

2*,*(,1]1

【例如】设函数f〔*〕＝，那么满意f〔*〕=的*值为。

4log81*,*(1,)

*12e,*＜2，

那么f(f(2))的值为〔〕【训练】设f(*)2

log3(*1)，*2.

A．0B．1C．2D．3

二、与对数函数有关的解不等式问题【例如】(2022辽宁改编)设函数f(*)＝1－*

2，*≤1，那么满意f(*)≤2的*的取值范1－log2*，*＞1，围是________．

训练题

一、选择题

12

1．已知log7[log3(log2*)]＝0，那么等于()1323A.B.3643

*

2．假设函数y＝f(*)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，那么f(*)＝()

1－

A．log2*B.C．log1*D．2*2

2

2

10

3．已知实数a＝log45，b＝2，c＝log30.4，那么a，b，c的大小关系为()A．bcaB．bacC．cabD．cba4．已知0*y1，m＝log2*＋log2y，那么有()

A．m0B．0m1C．1m2D．m2

5．(2022嘉兴模拟)假设函数f(*)＝

loga(*＋b)的图象如图，其中a，b为常数，那么函数

*

g(*)＝a＋b的大致图象是()

二、填空题6．函数y＝

log12*－3的定义域为________．

3

7．函数y＝log1(*2－6*＋17)的值域是________．

2

三、解答题

1111

lg32＋log416＋6lg＋lg8．求值2555

9．求函数f(*)＝loga(2*2－5*＋3)的单调区间．

10．假设f(*)＝*2－*＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．

(1)求f(log2*)的最小值及对应的*值；(2)*取何值时，f(log2*)f(1)，且log2f(*)＜f(1)．

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基础梳理

1．对数的概念(1)对数的定义

假如a*＝N(a＞0且a≠1)，那么数*叫做以a为底N的对数，记作a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数

2.(1)对数的性质：①alogaN＝；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式

logN1

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝推广logablogbclogcd＝logad.

logablogba

(3)对数的运算法那么：假如a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

Mn

①loga(MN)logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝maM.3．