江西省赣州市西江中学高三数学理测试题含解析

江西省赣州市西江中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120种

B.96种

C.60种

D.48种参考答案：C解析：5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C2.设的大小关系是

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为

(

)

A.（1，0）

B．（1，5）

C．（1，－3）

D．（－1，2）参考答案：A略4.已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，（a，b∈R），则，求出，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），则，∴，=，∴4a+2bi=2+2i，解得：a=，b=1．∴．故选：B．5.函数在的图像大致为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】先证明的奇偶性，判断图像的对称性，对时的函数值正负，以及和1的大小，即可得到正确答案.【详解】是奇函数，图像关于原点对称；故D不正确；，，故B不正确，而，故C不正确.故选:A【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.6.函数的定义域为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略7.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略8.设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略9.（文）某仪表显示屏上有一排7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个小孔，且相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数为A．10

B．48

C．60

D．80参考答案：D10.双曲线的渐近线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【详解】双曲线的渐近线方程为：，整理，得y2＝2x2，解得故选：C．【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则实数的值为

．参考答案：412.已知是奇函数.若且.,则_______.参考答案：313.已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．参考答案：139略14.设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是

．参考答案：【知识点】简单线性规划的应用．E5∵，∴，∵作出点P（x，y）满足条件的区域，如图，即，且点Q（a，b）满足恒成立，只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（1，0），B（0，2），成立即可，∴，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：，故答案为．【思路点拨】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足的点Q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积．15.已知函数，则f（x）的定义域为

．参考答案：（1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法先求出函数f（x）的表达式，根据函数成立的条件进行求解即可．解答： 解：设t=x2﹣3，则x2=t+3，则f（t）=lg=lg，由＞0得t＞1或t＜﹣3，∵t=x2﹣3≥﹣3，∴t＞1，即f（t）=lg的定义域为（1，+∞），故函数f（x）的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，根据条件先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．16.是幂函数，则

；参考答案：2略17.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知数列｛｝的各项均为正数，Sn是数列｛｝的前：项和，且4Sn＝2＋2－3．

（I）求数列｛｝的通项公式：

（II）已知，求＝的值·参考答案：19.

已知函数相邻两个对称轴之间的距离是，且满足.

(I)求f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，求△ABC的面积．高考资源网参考答案：（Ⅰ）由题意知周期，因为，所以，

，…3分由

，所以的单调递减区间为…6分（Ⅱ）由题意，,

因为△ABC为钝角三角形，所以舍去，故,…8分20.已知a＞0且a≠1，数列{an}是首项与公比均为a的等比数列，数列{bn}满足bn=an?lgan（n∈N*）．（1）若a=3，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）若对于n∈N*，总有bn＜bn+1，求a的取值范围．参考答案：考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：（1）由已知有an=3n，bn=an?lgan=n?3n?lg3，由此可得Sn=[3+2?32+3?3n+…+n?3n]lg3，用错位相减法求出它的值．（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以，或，而，且，由此解得a的取值范围．解答： 解：（1）由已知有an=3n，bn=an?lgan=n?3n?lg3．∴Sn=[3+2?32+3?3n+…+n?3n]lg3，∴3Sn=[32+2?33+…+（n﹣1）3n+n?3n+1]lg3，∴﹣2Sn=[3+32+33+…+3n﹣n?3n+1]lg3=[﹣n?3n+1]lg3，∴Sn=?[3+（2n﹣1）?3n+1]．（2）bn＜bn+1，即nanlga＜（n+1）an+1lga．由a＞0且a≠1，可得nlga＜（n+1）alga．所以，或．即或对任意n∈N*成立，而，且，解得或a＞1，即a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．21.（13分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．解答： 解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．22.已知P是圆上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案：（1）.（2）面积的最大值为，此时直线l的方程为.【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C的方程；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，所以点Q的轨迹为以为，焦点，长轴长为4的椭圆，则2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，则