湖南省郴州市亚星学校高三数学理联考试题含解析

湖南省郴州市亚星学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A．258 B．306 C．336 D．296参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故选C．2.“”是”对,均有”的(

)A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：A略3.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（

）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离参考答案：B化简圆到直线的距离，又两圆相交.选B4.在等差数列中，，则的前11项和（

）A．132

B．66

C.48

D．24参考答案：A设等差数列的公差为，则，，，，故选A.

5.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x1、y1的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得=（4﹣）﹣=0．再由点A在双曲线上且直线AB的斜率为，得到关于x1、y1、a、b的方程组，联解消去x1、y1得到关于a、b的等式，结合b2+a2=c2=4解出a=1，可得离心率e的值．【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C6.已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（） B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），即函数f（x）关于x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），故选：B．7.将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．π参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦化简y=cos2x+sin2x，平移后由函数为偶函数得到2m+=k，由此可求最小正数m的值．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x==2sin（2x+），∴将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象对应的函数解析式为．∵所得到的图象关于y轴对称，∴为偶函数．即2m+=k，m=．当k=0时，m的最小值为．故选：A．8.已知圆的半径为1，四边形为其内接正方形，为圆的一条直径，为正方形边界上一动点，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知定义在(0,+∞)上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（

）A．－3

B．1

C.

3

D．5参考答案：D10.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则A．－2

B．0

C．2

D．不能确定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}满足：a5=9，a1+a7=14，则数列{an}的通项公式为an=

．参考答案：an=2n﹣1【考点】数列递推式．【分析】由等差数列的性质可得a1+a7=2a4．即a4=7，则d=a5﹣a4=2，由等差数列的通项公式an=a5+2（n﹣5），即可求得数列{an}的通项公式．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4．∴a4=7，∴d=a5﹣a4=2，∴等差数列的通项公式an=a5+2（n﹣5）=2n﹣1，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1【点评】本题考查等差数列性质，考查计算能力，属于基础题．12.已知一个半径为Im的半圆形工件，未搬动前如图所示（直径平行于地面放置），搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移40m，则圆心D所经过的路线长是

m．参考答案：13.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若,则角C=_________．参考答案：∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，a＝b，c＝b.∴cosC＝＝＝－.∴C＝π.14.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．参考答案：-10略15.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

名.参考答案：1016.如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，5]考点： 一元二次不等式的解法．专题： 不等式的解法及应用．分析： 将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．解答： 解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，即，则，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]点评： 本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键．17.双曲线的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(1)已知函数(a、bR,e为自然对数的底数)在点（1，f（1））处的切线方程为:.求a、b的值；(2)已知正实数x、y满足：x+y=13，求证：2+313.参考答案：(1)a=，b=e．(2)

19.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=，其中n∈N*．（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．参考答案：【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．代入（n+2）cn=﹣即可得出cn．（2）由（n+1）bn=an+1﹣，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，代入化简可得cn=（bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn，λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．【解答】（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1），=a1+n﹣1．∴（n+2）cn=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1．（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，可得：（n+2）cn=﹣=﹣[an+1﹣（n+1）bn]=+（n+1）bn=+（n+1）bn=（bn+bn﹣1），因此cn=（bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，∴λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．∴（n+1）λ=an+1﹣，（n+2）λ=（an+1+an+2）﹣，相减可得：（an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．又2λ==a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列．20.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量,,且m∥n.（1）求锐角B的大小;

（2）若,求△ABC面积的最大值.参考答案：（1）∵,∴,

+1分

∴.

+3分

又∵为锐角,∴,∴,∴.

+5分∵,,

由余弦定理,得.

+7分

又,代入上式,得,

当且仅当时等号成立.

+9分故,

当且仅当时等号成立,

即的最大值为.

+10分21.已知双曲线C：，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在轴正半轴上，且满足：成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为⑴求证：。⑵若与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率的取值范围。参考答案：证明：⑴双曲线的渐近线为

直线的斜率为：

直线：