河南省新乡市大召营中学高三数学理联考试卷含解析

河南省新乡市大召营中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为()A．8

B．9

C．10

D．12参考答案：C2.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．3.已知实数满足，每一对整数对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆

（

）

A．70

B．61

C．52

D．43参考答案：答案：D4.高三某班六名教师分别安排除星期六以外的晚自习各1次，但数学老师不能安排在一、三，英语老师不能安排在二、四，则不同的安排方法有（

）种．A．336

B．288

C．240

D．192参考答案：A略5.已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】等差数列与等比数列．【分析】可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．【解答】解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{an}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{an}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．6.函数在处的切线方程是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：B略7.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是参考答案：A

由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos（x-1)，利用特殊点变为，选A.8.设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6参考答案：A【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函数的周期是2π，若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函数的周期是2π，∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故选A．9.当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）

参考答案：A10.阅读下程序框图，若输入，，则输出分别是A．

B.

C．

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为

．参考答案：①②③④【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，∵e==，∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；②b2=ac，则e===，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，∴，即b2+2c2=（a+c）2，整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．12.已知函数.①当时，函数g(x)有

个零点；②若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是

．参考答案：1，①当时，时，,得，即；时，，无解，综上：当时，函数有1个零点；②当时，，得，时，有两个根；当时，，得时有一个根，综上：时函数有三个零点.

13.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是

．参考答案：8由，，

可得（*），

由三角形为锐角三角形，则，

在（*）式两侧同时除以可得，

又(#)，

则，

由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得，，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，，解得（或互换），此时均为锐角．14.已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，平面ABD⊥平面CBD，则该球的球面面积为___________.参考答案：20π【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积.【详解】根据题意,G为底面等边三角形的重心,作底面.作交于,过作交于.连接画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形与等边三角形的边长为,且所以G为底面等边三角形的重心,则,面平面因而四边形为矩形,设,则,球的半径为和中解得所以球的表面积为故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.15.设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于

．参考答案：216.对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；4任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；5分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。参考答案：①④⑤解析：由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.17.二项式（x+2）5=a0x5+a1x4+…+a5y，则a1+a3+a5=

．参考答案：122【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=﹣1，y=1；x=﹣1，y=1；可得两个等式，再把这两个等式相加，化简可得要求式子的值．【解答】解：令x=y=1，可得（x+2）5=35=a0+a1+…+a5，令x=﹣1，y=1，可得﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5=1，两式相加可得2（a1+a3+a5）=244，∴a1+a3+a5=122，故答案为：122．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（05年全国卷Ⅲ文）(14分)设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，求直线的方程.参考答案：解析：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴焦点为…………1分（1）直线的斜率不存在时，显然有……………3分（2）直线的斜率存在时，设为k，

截距为b即直线：y=kx+b

由已知得：……5分

………7分

即的斜率存在时，不可能经过焦点………8分所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F……………9分（Ⅱ）当时，直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b…10分则由（Ⅰ）得：

……………11分……………13分所以直线的方程为，即………14分

19.（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．

解：（1）．由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．（2）令x+1．所以=．当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为G（1）=﹣．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．当m＞0时，．令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．

（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0．由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即．化简得．令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=．可知φ′（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．所以，即成立．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．20.已知数列的前n项和为，且，（n=1，2，3…）数列中，，点在直线上。（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）记，求满足的最大正整数n。

参考答案：解：（I）∵∴当时，即

∵

∴即数列是等比数列.

∵

∴

即∴

…3分∵点在直线上∴

∴即数列是等差数列，又

∴

…6分（II）

①∴

②①－②得即

…9分∴∵

即于是又由于当时，（12分）当时，故满足条件最大的正整数n为4

…12分

21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD足直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD;

（1）求证：AB⊥PD；（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出E点的位置，并加以证明，若不存在，说明理由．参考答案：22.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）乘公共电汽车