安徽省安庆市古坊中学高三数学理上学期摸底试题含解析

安徽省安庆市古坊中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，集合，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) A．48 B． C．16 D．32参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由题意作出其直观图，从而由三视图中的数据代入求体积．解答： 解：该几何体为四棱柱，如图，其底面是直角梯形，其面积S=×（3+5）×2=8，其高为4；故其体积V=8×4=32；故选：D．点评：本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．3.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A．甲、丙、乙

B．乙、甲、丙C．乙、丙、甲

D．丙、乙、甲参考答案：C因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组.假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.

4.（5分）（2011?门头沟区一模）已知函数f（x）满足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，则（）A．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减B．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．f（x）是奇函数且单调递减D．f（x）是奇函数且单调递增参考答案：D【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：①先判断f（x）奇偶性，即找出f（﹣x）与f（x）之间的关系，令y=﹣x，有f（0）=f（x）+f（﹣x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；②再依据函数单调性的定义判断函数的单调性，任取x1＜x2，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x2）＞f（x1）从而得出其单调性．解：显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．再令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．任取x1＜x2，x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞0∴f（x2）+f（﹣x1）＞0；对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，再取y=﹣x得f（x）+f（﹣x）=0即f（﹣x）=﹣f（x），∴有f（x2）﹣f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在R上递增．故选D．【点评】：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．5.i是虚数单位，若集合S=，则（

）

A，

B，

C，

D，参考答案：C6.设函数，则（

）A.为的极大值点

B.为的极小值点[学C.为的极小值点

D.为的极大值点参考答案：D7.函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．8.等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2（?…）=(

)A．10 B．20 C．40 D．2+log25参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{an}中，a5+a6=4，利用等差数列的性质得到其项数之和为11的两项之和为4，可得出a1+a2+…+a10的值，将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算，再利用对数的运算性质计算后，将a1+a2+…+a10的值代入即可求出值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a6=4，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（?…）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，以及对数的运算法则，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．9.5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.设全集，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如下图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为BCD内（含边界）的动点，设，则的最大值等于

参考答案：12.（5分）（2015?澄海区校级二模）已知数列{an}，an=2n，则++…+=．参考答案：1﹣【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：由数列的通项公式an=2n，得到数列{}是首项为，公比为的等比数列，列举出所示式子的各项，利用等比数列的前n项和公式化简，即可得到结果．解：由题意得：数列{an}为首项是2，公比为2的等比数列，由an=2n，得到数列{an}各项为：2，22，…，2n，∴++…+=++…+，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，则++…+=++…+==1﹣．故答案为：1﹣【点评】：此题考查了等差数列的前n项和公式，其中确定出数列{}是首项为，公比为的等比数列是解本题的关键．13.(选修4—1几何证明选讲）如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是

；参考答案：14.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______．参考答案：试题分析：∵圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，∴圆心为，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程.15.用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________。

参考答案：答案：16.已知函数，则

参考答案：

17.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为___________. 参考答案：相交三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，其中实数a＞0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线的方程为y＝g（x），当x≠x0时，若在D内恒成立，则称P为y＝h（x）的“类对称点”当a＝4时，试问y＝f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）的定义域是．．①当，即时，，∴的单调递增区间为．

②当，即时，由得或，由得，∴的单调递增区间为和，单调递减区间为．

③当，即时，由得或，由得．∴的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）当时，，，．

令，则．

,,当时，在上单调递减．∴当时，，从而有时，．当时，在上单调递减．∴当时，，从而有时，．∴当时，不存在“类对称点”．当时，，∴在上是增函数，故．所以当时，存在“类对称点”．

19.如图，在直角梯形ABCD中，。动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设,则的取值范围是__________________.参考答案：略20.（12分）（2016?宁城县一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，求λ的范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．21.2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：家庭月收入（单位：元）2千以下2千～5千5千～8千8千～一万1万～2万2万以上调查的总人数510151055有二孩计划的家庭数129734（Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．

收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数

无二孩计划的家庭数

合计

（Ⅱ）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.025k2.0722.7063.8415.024K2=．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6，从而得到2×2列联表，从而求出K2≈4.327＞3.841，从而有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6

收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数121426无二孩计划的家庭数18624合计302050因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），=，，，，∴X的分布列为