湖南省衡阳市耒阳市龙形中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市龙形中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某一棱锥的三视图如右图，则其侧面积为(

)

(A)．

(B)．(C)．

(D)．参考答案：C2.已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．3.已知函数f（x）=，则f（2016）=（）A．2016 B． C．2017 D．参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用x＞0时函数的递推关系式，通过分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2016）=f（2015）+1=f（2014）+2=…=f（0）+2016=f（﹣1）+2017=．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．4.已知不等式组，表示平面区域，现在往抛物线与两坐标轴正半轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域内的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2），则sinα等于（） A．sin2 B．﹣sin2 C．cos2 D．﹣cos2参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 【解答】解：∵角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2）， ∴x=2sin2，y=﹣2cos2，r=|OP|=2，∴sinα===﹣cos2， 故选：D． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 6.曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线经过过点A（﹣1，y1），B（3，y2），则y1与y2的等差中项为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合法；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】由导数的几何意义求出曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线为y=﹣，由此求出y1，y2，从而能求出y1与y2的等差中项．【解答】解：∵f（x）=++1，∴，∴f′（1）==﹣，∴曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线为：y﹣6=﹣，即y=﹣，∵切线经过过点A（﹣1，y1），B（3，y2），∴，=﹣1，∴y1与y2的等差中项：A===6．故选：D．【点评】本题考查等差中项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．7.已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为A.

B.

C.2

D.3参考答案：C由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴kPA?kPB=∵∴两式相减可得,∵kPA?kPB=3，∴∴∴e=2故选：C．

8.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S为（

）A.120 B.84 C.56 D.28参考答案：B运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.9.以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）数据31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35参考答案：D【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】将数据从小到大按顺序排成一列，结合中位线和极差的定义进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11个数据，则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12=35，故选：D．10.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于A．1

B．5

C．9

D．4

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为，，则的取值范围是

。参考答案：12.若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．参考答案：9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为：9．13.设x=，则tan（π+x）等于

．参考答案：14.从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为______.------参考答案：15.如图，已知与圆相切于点，半径，交点，若圆的半径为3，，则的长度____________．参考答案：

略16.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为．参考答案：15+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底面的棱柱，棱柱的高为1，进而根据柱体的表面积公式得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1，∴几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案为：15+．【点评】本题考查的知识点为：由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．17.下面四个命题：①函数的图象必经过定点（0,1）；②已知命题：，则：；③过点且与直线垂直的直线方程为；④在区间上随机抽取一个数，则的概率为。其中所有正确命题的序号是：_____________。参考答案：①③当时，，所以恒过定点，所以①正确；命题的否定为：，所以②错误；直线的斜率为，所以和垂直的直线斜率为，因为直线过点，所以所求直线方程为，即，所以③正确；由得，，所以相应的概率为，所以④错误，所以正确的命题有①③。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19.已知点是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点,点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程。参考答案：（1）易知，由，由余弦定理及椭圆定义有：又，从而。（2）解法一：①当直线的斜率为0时，则；②当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，将代入，整理得，

则，又，

所以，，令，则，当即时，；当时，，或。当且仅当，即时，取得最大值。由①②得直线的方程为。解法二：①当直线垂直于轴时，则；②当直线与轴不垂直时，设，直线的方程为，将代入，整理得，则，又，所以，令，由得，所以当且仅当时最大，所以直线的方程为。20.已知向量，(1)当时，求函数的值域；(2)不等式≤，当时恒成立，求的取值范围。参考答案：解：（1），所以即当时，，，所以当时，函数