湖南省株洲市第十六中学高二数学文月考试题含解析

湖南省株洲市第十六中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

参考答案：C略2.无穷等比数列…各项的和等于 （

）A． B． C． D．参考答案：B3.若曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线与y=x﹣1平行，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．【解答】解：f（x）=ax2+x+lnx的导数为f′（x）=2ax++，曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a++1=2a+，由切线与y=x﹣1平行，可得2a+=，解得a=1．故选：C．4.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记集合A={x∈R|f（x）≤0}，B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠?，则实数a的取值范围为（）A．[－4，4] B．[－2，2] C．[－2，0]

D．[0，4]参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}=，利用B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠?，求出m，n，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设集合A={x∈R|f（x）≤0}=，则由f（f（x）+1）≤0，m≤f（x）+1≤n，∴m﹣1≤f（x）≤n﹣1，∴n﹣1=0，∴n=1，∴f（x）=（x+a+1）（x﹣1），∴m=﹣（a+1），∵m﹣1≤f（x）min，∴﹣a﹣2≤且﹣（a+1）≤1，∴﹣2≤a≤2．故选B．【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.已知点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：A6.已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，参考答案：B7.A=则AB=(

)A.{-2,4,5,6} B.{-2,-1,4,5,6} C.{-2,3,4,5,6} D.{-2,-1,3,4,5,6}参考答案：A略8.已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（

）A．a<－7或a>24

B．a=7或a=24

C．－7<a<24

D．－24<a<7参考答案：C略9.在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．10.已知集合，若将集合A中的数按从小到大排成数列，则有，，，，……依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为（

）A．247

B．735

C．733

D．731

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为

参考答案：12.已知|，．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅱ）若、的夹角为60°，求；（Ⅲ）若与垂直，求当k为何值时，？参考答案：(3)若与垂直∴=0∴使得，只要即∴k=3································1413.已知，，若是的充分不必要条件，则a的取值范围为______.参考答案：[0,5]【分析】由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.【详解】，，由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，于是且，得，经检验.故答案为：.【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.14.若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是__________。参考答案：15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使|PF1|=e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【分析】由椭圆的定义可得e（x+）=e?e（﹣x），解得x=，由题意可得﹣a≤≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|=e|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+）=e?e（﹣x），∴x=，由题意可得﹣a≤≤a，∴﹣1≤≤1，∴，∴﹣1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1），故答案为：[，1）．16.函数的极大值为6，极小值为2，则的减区间是

．

参考答案：略17.函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．参考答案：3+2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，+=（+）（2m+n）=3++≥3+2，当且仅当=时取等号，+的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(Ⅰ)求出该几何体的体积。(Ⅱ)若是的中点，求证：平面；(Ⅲ)求证：平面平面.参考答案：（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，平面平面，所以，平面

………………2分又，则四棱锥的体积为：……4分(Ⅱ)连接，则又，所以四边形为平行四边形，………6分平面,平面,所以，平面；

………8分(Ⅲ),是的中点,又平面平面平面

……………10分由(Ⅱ)知：平面又平面所以，平面平面.

……………12分略19.已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p≠0），依题意，可求得AB=2|p|，利用△OAB的面积等于4，即可求得p，从而可得此抛物线的标准方程．【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=2px（p≠0），焦点F（），直线l：x=，∴A、B两点坐标为（），（），∴AB=2|p|．∵△OAB的面积为4，∴?||?2|p|=4，∴p=±2．∴抛物线的标准方程为y2=±4x．20.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分（满分100分），得到了如下的频率分布直方图：（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布，其中，分别取平均得分和方差，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为，求.（精确到0.001）附：①，；②，则，；③.参考答案：（1）平均成绩为70.5分（2）人（3）【分析】（1）先计算中间值和对应概率，相乘再相加得到答案.（2）先计算服从正态分布，根据公式得到答案.（3）先计算概率，再利用二项分布公式得到答案.【详解】（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1

∴，∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩为70.5分．

（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，

而，∴．∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计为人人．（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率．而，

∴．【点睛】本题考查了平均值，正态分布，二项分布，概率.综合性较强，意在考查学生解决问题的能力.21.已知数列{an}的前项和为Sn，a1=，Sn=n2an-n（n-1），n∈N*。（1）证明：数列{Sn}是等差数列；（2）设bn=，证明：数列{bn}的前n项和Tn<1.参考答案：（1）见解析；（2）见解析试题分析：（1）统一成，得（n2-1）Sn=n2Sn-1+n（n-1），两边同时除以，可证。（2）由（1）得，bn==，裂项求和，可证。试题解析：（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，∴n≥2时，有an=Sn-Sn-1，∴Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），∴（n2-1）Sn=n2Sn-1+n（n-1），又∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）结合（1）知=1+（n-1）×1=n，∴Sn==，bn===.【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。由于本题第一问证明与有关，所以考虑统一成。22.在平面直角坐标系xOy内，椭圆E：+=1（a＞b＞0），离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由题意得：，得a，b即可（2）A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，又点C在椭圆上，∴，消去y0得CA2+CB2=，，即可求解．（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由PF平分∠APB知：kAP+kBP=0，又kAP+kBP===0，利用韦达定理即可求解．解：（1）由题意得：，得a=2，c=2，…∵a2=b2+c2，∴b2=4，∴椭圆的标准方程为：．…（2）当直线AB与x轴垂直时，A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，又点C在椭圆