湖北省荆州市石首老山咀中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖北省荆州市石首老山咀中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.实数对（x,y）满足不等式组若目标函数时取最大值，则k的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设f：x→x2是集合A到B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B只可能是

A．?或{1}

B．{1}

C．?或{2}

D．?或{1}或{2}参考答案：A略3.Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（A）5

（B）6

（C）10

（D）12参考答案：答案：D解析：Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径，球心到平面ABC的距离是d=，选D4.过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】设，，则，，，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解．【详解】设，，则，，直线的方程为：，联立，可得，∴，，∴，故选D．5.若直线平分圆，则的最小值为（

）A．

B．2

C.

D．参考答案：C6.在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是（）A．（0，0） B． C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由切线的倾斜角为，算出切线的斜率k=．设切点的坐标为（a，a2），求出函数y=x2的导数为y'=2x，根据导数的几何意义得2a=，解得a，从而可得切点的坐标．【解答】解：设切点的坐标为（a，a2）∵切线的倾斜角为，∴切线的斜率k=tan=．对y=x2求导数，得y'=2x，∴2a=，得a=，可得切点的坐标为（，）．故选B．【点评】本题求抛物线y=x2上切线的倾斜角为的点的坐标．着重考查了抛物线的性质、切线的几何意义、直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．7.已知实数x,y满足约束条件的最大值为

（

）

A．20 B．18

C．16

D．12参考答案：A8.已知,则

(

)A． B． C． D．参考答案：C9.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（?RB）=（）A．（0，2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，0] D．（2，+∞）参考答案：B【考点】梅涅劳斯定理；交、并、补集的混合运算．【分析】根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴?RB=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（?RB）=[2，+∞），故选：B10.为了得到y＝-2cos2x的图象，只需把函数的图象A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平行四边形OACB中，E，F分别为AC和BC上的点，且，若，其中m，n∈R，则m＋n的值为 参考答案：4/312.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图．图中直线与轴交于点，则的象就是，记作．方程的解是

；下列说法中正确命题的序号是

．（填出所有正确命题的序号）①；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称；⑤的解集是．参考答案：13.对于函数，（1）若，则

.（2）若有六个不同的单调区间，则的取值范围为

.参考答案：答案：（1）7

（2）解析：为偶函数，当时，须有三个不同的单调区间.，，中，或.又两根须为正根，且.

14.在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2．设CD=t，则t的取值范围是

．参考答案：．【分析】在△ABD中，由余弦定理得DB=，即.，点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得，．即可得到答案．【解答】解：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD为等腰直角三角形，．∴，所以点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得解得，．∴设CD=t，则t的取值范围是[，1+），故答案为：．15.设数据，，，…，是枣庄市普通职工个人的年收入，若这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（

）A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大参考答案：D16.若a>0，则的最小值是____________．参考答案：517.在中，若，则边上的高等于

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）是定义在［a，b］上的函数，若存在c，使得f（x）在［a，c］上单调递增，在［c，b］上单调递减，则称f（x）为［a，b］上单峰函数，c为峰点。（1）已知为[a，b]上的单峰函数，求t的取值范围及b-a的最大值：（2）设其中①证明：对任意上的单峰函数：②记函数上的峰点为证明：

参考答案：

略19.已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|．参考答案：【考点】函数恒成立问题；导数的运算．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）用分离参数法转化为求最值；（2）通过平方去掉绝对值：（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．求解．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x）．又因为﹣2≤x≤﹣1，所以a≥在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立．因为≤，所以a≥．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．【点评】本题考查了用分离参数法处理恒成立问题、解绝对值不等式，属于中档题．20.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布．【解答】解：（1）甲厂抽取的比例=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种ξ的所有可能取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴ξ的分布列为：ξ012P故Eξ=．【点评】本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．21.过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案：解法（一）：（1）设由得：直线PA的方程是：即

①

同理，直线PB的方程是：

②由①②得：∴点P的轨迹方程是（2）由（1）得：

所以故存在=1使得解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是（2）由（1）得：故存在=1使得略22.（本小题满分10分）已知函数f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若关于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围．参考答案：（I）由题设知：当x≥2时，不等式等价与x+2+2x－4＜6，即2≤x＜；…2分

当2＞x＞－2