中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编（含部分答案）

目录

2014年中国科学技术大学828量子力学

考研真题

2013年中国科学技术大学828量子力学

考研真题

2012年中国科学技术大学828量子力学

考研真题

2011年中国科学技术大学809量子力学

考研真题

2010年中国科学技术大学809量子力学

考研真题

2009年中国科学技术大学量子力学考

研真题及详解

2008年中国科学技术大学量子力学考

研真题及详解

2007年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2006年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2005年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2004年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2003年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2001年中国科学院-中国科学技术大学

量子力学考研真题及详解

2014年中国科学技术大学828量子力学考研真题

2013年中国科学技术大学828量子力学考研真题

2012年中国科学技术大学828量子力学考研真题

1.（20分）质量为μ的控子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转

子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。

（a）写出t时刻系统的波函数g

（b）求出t时刻系统的平均能量。

2．（30分〉一个质量为μ的粒子在下面的一维势阱中运动:

其中a、A为常量。

（a）绘出此系统的第一激发态能量g；

（b）已知此系统之基态能量非负，请问A要满足什么条件?

3.（30分）计算一维谐振子基态中的不确定度乘积=？

4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵

（a）请考察A的厄米性；

（b）请写出A用展开的表达式，其中为著名的Pauli矩

阵；

（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。

5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们

按如下自旋相关势

相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而（i=l，2）为

分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。

（a）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集（CSCO）；

（b）请给出该体系各束缚定态的能级g；

（c）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。

6．（20分）有一个一维束缚体系（如一维谐振子），其Hamilton量为

束缚定态记为（均已归一化），相应的能量本征值为

..现体系受到微扰作用，微扰Hamilton量可以表示为

其中λ为小的实数常量，A为已知的厄米算符。请计算微扰修正后体系

的束缚定态（要求准确到λ一阶）和能级（要求准确到λ二阶）。

参考答案

1.（20分）质量为μ的控子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转

子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。

（a）写出t时刻系统的波函数，

（b）求出t时刻系统的平均能量。

解：（a）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：

其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：

容易解得

相应的能量本征值为：

可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。

对于态，先归一化。利用，可得，从

而

我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直

接写出：

（b）t时刻系统的平均能量为：

其中。

2．（30分〉一个质量为μ的粒子在下面的一维势阱中运动:

其中a、A为常量。

（a）绘出此系统的第一激发态能量g；

（b）已知此系统之基态能量非负，请问A要满足什么条件？

解：（a）由于势与时间无关，所考虑的是定态问题。体系的定态薛定

谔方程可以写为：

代入势的具体形式，可知，在区域，方程可化为：

在附近对上式积分，得到

在区域其余位置，薛定谔方程为：，其中

。方程的解为：

在区域，，只有，薛定谔方程才能被满足。

利用波函数的连续性条件，，以及a附近的跃

变关系，可以求得应满足

解得，利用，即可给出各级能量。

（b）若系统之基态能量非负，，将代入上式，可得

上述两个方程将限制及。

3.（30分）计算一维谐振子基态中的不确定度乘积=？

解：对于一维谐振子，设能量的本征态为，相应的能量本征值为

。算符，与升降算符之间的关系为：

其中。对于体系基态，相关的平均值为：

所以，，最终得到：

。

4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵

（a）请考察A的厄米性；

（b）请写出A用展开的表达式，其中为著名的Pauli矩

阵；

（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。

解：（a）矩阵A的转置共轭为：

因此，矩阵A为厄米矩阵。

（b）Pauli矩阵分别为：

因此，可以得到

（c）矩阵A的本征方程为：

相应的久期方程为：

容易解得，。将本征值代入本征方程，可以求得相应的本征

态。

当时，可得，所以归一化的本征态可写为：

当，可得，所以归一化的本征态可写为：

。

5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们

按如下自旋相关势

相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而（i=l，2）为

分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。

（a）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集（CSCO）；

（b）请给出该体系各束缚定态的能级g；

（c）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。

解：（a）体系的哈密顿量可以写为：

令，则，与哈密顿量对易。对于，此结果是显然的。对

于，

体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组

即为体系的一组可对易力学量完全集。

（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写

为：

其中为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数

首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部

分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量

完全集的本征函数：

由于，满足：

其中，令，可知只有，才会出现束缚态。将

写为，可知。将上述方程与氢原子情形时相

类比，可知束缚态能级为：

（c）对于体系的基态为：

相应的量子数：。其中为玻尔半径。

6．（20分）有一个一维束缚体系（如一维谐振子），其Hamilton量为

束缚定态记为（均已归一化），相应的能量本征值为

..现体系受到微扰作用，微扰Hamilton量可以表示为

其中λ为小的实数常量，A为已知的厄米算符。请计算微扰修正后体系

的束缚定态（要求准确到λ一阶）和能级（要求准确到λ二阶）。

解：能量的一级修正为：

能量的二级修正为：

下面计算：

因此，，考虑到A的厄米性，

以及求和中当时为零

所以近似到二级，体系的能量为：

近似到一级，体系的量子态为：

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