2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线ax+2y+6=0A.−2 B.2或−1 C.2 2.设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA⋅A.0 B.1 C.2 D.33.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,A.55 B.255 4.中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线CA.2 B.22 C.二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)6.直线x+y+1=0被圆C：7.两条直线l1：3x−4y+9=08.设直线l经过点(−1,1)，则当点(2,−19.若椭圆x2m+y2=1的离心率为10.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且11.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm．

12.已知圆A：(x+2)2+y2=9，圆B：(x−213.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>15.已知A是抛物线x2=2py(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点.当16.已知曲线W1：x2+y2=m2，W2：x4+y2=m2，其中m>0．

①当m=1时，曲线W1与W2有4个公共点；

②当0<m<1时，曲线W1三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知平面内两定点M(−1,0)，N(1,0)，动点P满足| PM |+| PN |18.(本小题14分)

已知直线l：x−y+1=0和圆C：x2+y2−2x+4y−4=0．19.(本小题14分)

某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为32km，线路AB段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．

(1)求轨道交通20.(本小题18分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2．

(1)若双曲线的离心率为2，且M(0,26)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；

(2)若a=1，点M在双曲线C21.(本小题18分)

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．

(1)若|AB|=6，求点M的横坐标；

(2)证明：直线M答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0互相平行，

∴a(a−1)=2.【答案】C

【解析】解：由已知可得F(1,0)，设A(y024,y0)，

则OA=(y024,y03.【答案】D

【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，

可得c=5a，所以b=2a，

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，

4.【答案】A

【解析】解：焦点(c,0)到y=bax的距离d=bac1+(ba)2=b，

令y=m(−1≤m≤1)，可得截面为一个圆环．

由y=my=bax可得x5.【答案】x2【解析】解：根据题意可设所求方程为x2a2−y2b2=1，(a>0,b>0)，

又c=26.【答案】2【解析】解：圆C：x2+(y−1)2=4的圆心C(0,1)，半径r=2，

点C7.【答案】arccos33【解析】解：设两条直线l1：3x−4y+9=0的斜率为k，l2：5x+12y−3=0的斜率为k′，

这两条直线的夹角为θ，08.【答案】3x【解析】解：设A(−1,1)，B(2,−1)，

当AB⊥l时，点B与l距离最大，

∴直线l的斜率k=−11+1−1−2=32，

9.【答案】4或14【解析】解：椭圆x2m+y2=1的离心率为32，

可得m−1m=310.【答案】8

【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力．

判断四边形PF【解答】

解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，

所以四边形PF1QF2为矩形，

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由椭圆的定义可得|11.【答案】278【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图所示：

由题意得A的坐标为(92,3)，

设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，则814=6p，解得p=27812.【答案】x2【解析】解：设圆C的半径为r，

圆A：(x+2)2+y2=9的圆心A(−2,0)，半径r1=3，

圆B：(x−2)2+y2=1的圆心B(2,0)，半径r2=1，

因为圆C与圆A、圆B外切，

则|CA|=r+3，|C13.【答案】5

【解析】【分析】

本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．

先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB，再利用基本不等式即可得出|PA|·|PB|的最大值．

【解答】

解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0)，

14.【答案】10【解析】解：设|PF1|=s，|PF2|=t，且P在第一象限，

由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，

解得s=a+m，t=a−m，在△F1PF2中，∠15.【答案】21【解析】解：过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．

由题意∠BFA=∠OFA−π2=π6，

A点到准线的距离为：d=|AB16.【答案】①③【解析】解：首先需要知道W1，W2都关于x轴，y轴对称，关于原点对称，

对于①，曲线W1：x2+y2=1，W2：x4+y2=1，

W2过轴上4个点，(0,±1)，(±1,0)，

当x(x≠0)相同，W2的|y|更大，相对于圆凸出，①正确，

对于②，当x=0时，纵坐标相同，当x≠0时，W2的|y|更大，当y=0时，W2的|x|越大，

曲线W1围城的区域面积小于曲线W2围城的区域面积，②错误，

对于③，当m=1.1时，曲线W1围城的区域面积小于W2围城的区域面积，

当m很大时，W2图像完全在W1的圆里，曲线W1围城的面积大于W2围城的区域面积，

即随着m的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，故③正确，

对于④，若对于W1的一个整点为(a,b)(a,b>0)，则对应W2的点为(a,17.【答案】解：(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，

其中c=1 , a=3 , ∴b=2，

所以所求动点P的轨迹C的方程为x23+y22=【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，是中档题．

(1)判断P点的轨迹为椭圆，求出a，b，即可得到椭圆方程．

(2)设A(18.【答案】解：(1)由圆C：x2+y2−2x+4y−4=0可得，圆心C(1,−2)，半径r=4+16+162=3，

圆心C(1,−2)到直线l：x−y+1=0的距离为d=|1+2+1|2=22<r，

所以直线l与圆C相交，【解析】(1)利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；

(219.【答案】解：(1)∵线路AB段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6km，

∴线路AB段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，

则其方程为x2−y2=9(x<0,y≥0)；

∵线路BC段上任意一点到O的距离都相等，

∴线路BC段所在的曲线是以O为圆心，以OB为半径的圆，

则其方程为x2+y2=9(x≤0,y≤0)；

∵线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，

∴线路CD段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，

则其方程为x【解析】(1)由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；

(2)G(x20.【答案】解：(1)由题意得e=ca=2，

又M(0,26)，且△MF1F2是正三角形，

所以tan60°=26c，c=263=22，

所以a=2，b=c2−a2=2，

故双曲线C的方程为x24−y24=1．

(2)因为直线F1M的斜率为1b，

所以tan∠MF1F2=1b=ab，a>0，

所以sin∠MF1F2=【解析】(1)由双曲线的离心率公式以及△MF1F2是正三角形的条件可求得a，b的值，则双曲线方程可求；

(2)结合题意，利用正余弦定理求解即可；

(3)21.【答案】(1)解：由抛物线性质知|AB|=xA+xB+p=6，

可得xA+xB=6−p=6−2=4，

所以AB的中点M的横坐标xM=xA+xB2=2；

(2)证明：如图，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨设x1<x2，

设l：x=my+1，则m>0，

由y2=4xx=my+1，得y2−4my−4=0，

故y1+y2=4m，y1y2=−4，y1+y22=2m，x1+x22=m(y1+y2