2023年广东省惠州市博罗县平安中学中考数学一模试卷（含答案）

年广东省惠州市博罗县平安中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）同学们，我们是2023届学生，这个数字2023的相反数是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（）A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×1064．（3分）下列运算正确的是（）A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b25．（3分）方程ax（x﹣b）+（b﹣x）＝0的根是（）A．x1＝b，x2＝a B．x1＝b，x2＝ C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a2，x2＝b26．（3分）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、点B（0，﹣5）、点C（﹣2，﹣2），则以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形的第四个顶点D不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，∠ACB＝45°，则△AOB的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．（3分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）° B．（）° C．（）° D．（）°10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②；③；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的两个根，则有x1＜﹣1＜3＜x2．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）把多项式4x2﹣1分解因式的结果是．12．（3分）若圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则母线长为．13．（3分）已知，m、n分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是．14．（3分）一次函数y＝kx+2k的图象如图所示，当y＞0时，则x的取值范围是．15．（3分）在矩形ABCD中，E为AB边中点，连接DE，F为BC边上一点，G为DE上一点，连接FG，若tan∠ADE＝，∠EGF＝45°，CD＝CF，BF＝，则GD的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（10分）解答．（1）sin30°+（2021﹣）0﹣2﹣1+|﹣4|．（2）解不等式组：．17．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．（1）求证：点D在AB的中垂线上．（2）当CD＝2时，求△ABC的面积．18．（7分）由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四花卉（果类）生态旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题：（1）九年级三班一共人，其中B类所对应的圆心角为．（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人．（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．19．（9分）水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．（1）问草莓、苹果各购买了多少箱？（2）小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：草莓数量（箱）苹果数量（箱）合计（箱）甲店a20乙店20小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知5＜a＜15，则a＝．20．（9分）如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上．（1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值；（2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式；（3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝15，tanC＝，求：①直径AB的长；②BH的长．22．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P为BC边的中点，直线a经过点A，过B作BE⊥a垂足为E，过C作CF⊥a垂足为F，连接PE、PF．（1）当点B，P在直线a的异侧时，延长EP交CF于点G，猜想线段PF和EG的数量关系为；（2）如图2，直线a绕点A旋转，当点BP在直线a的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）直线a绕点A旋转一周的过程中，当线段PF的长度最大时，请判断四边形BEFC的形状，并求出它的面积．23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）请直接写出点B的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使得△BCF面积最大，若存在，求出点F的坐标和△BCF面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：2023的相反数为﹣2023，故选：C．2．解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．3．解：170000＝1.7×105．故选：B．4．解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意B．原式＝a3，故B不符合题意C．原式＝a5，故C不符合题意D．原式＝4a4b2，故D符合题意．故选：D．5．解：原方程可变形为（x﹣b）（ax﹣1）＝0，解得x1＝b，x2＝，故选B．6．解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．∵∠1＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝60°．∵BF∥l1，∴∠ABF＝∠ADE＝60°，∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠BGH+∠FBG＝180°，∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，∴∠2＝∠BGH＝150°．故选：D．7．解：根据平移的性质分两种情况：①从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，则D点为（﹣2，﹣7）或（﹣2，3），即分别在第三象限或第二象限．②从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，﹣3），即在第四象限．故选：A．8．解：∵∠AOB和∠ACB都对，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形．故选：D．9．设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC＝，由AC＝AB，解得n＝，故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵＞0，∴b＞0，∴ab＜0，∵c＞0，∴abc＜0，故结论①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x＝1，∴9a+3b+c＝0，，∴3a+c＝0，，故结论②正确；∵3a+c＝0，且，∴，解得，故结论③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A．（3，0），对称轴为直线x＝1，∴，解得x0＝﹣1，故抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的两个根是抛物线y＝ax2+bx+c与y＝m的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得x1＜﹣1＜3＜x2．故结论④正确．故选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．12．解：底面半径为3，则底面周长＝6π，设圆锥的母线长为x，圆锥的侧面积＝×6πx＝15π．解得：x＝5，故答案为：5．13．解：∵，∴，∴，∴．∴2m﹣n＝＝．故答案为：6+．14．解：∵y＝kx+2k＝k（x+2），∴当y＝0时，x＝﹣2，由图象可知，y随x的增大而增大，∴当y＞0时，则x的取值范围是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．15．解：连接EF，DF，过点F作FH⊥DE于点H，如图所示：在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，设AE＝x，∵tan∠ADE＝，∴AD＝BC＝3x，∵E为AB边中点，∴AB＝CD＝2x，∵BF＝，∴CF＝3x﹣，∵CD＝CF，∴2x＝（3x﹣），解得x＝，∴AE＝BE＝，∴AB＝，AD＝，CF＝，在Rt△AED中，根据勾股定理得，DE＝＝，在Rt△CFD中，根据勾股定理得，DF＝＝，∵S△EFD＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF，∴＝×﹣××﹣﹣，∴FH＝，∵∠EGF＝45°，∴∠GFH＝45°，∴GH＝FH＝，在Rt△DFH中，根据勾股定理得，DH＝＝，∴GD＝DH﹣GH＝，故答案为：．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：（1）原式＝+1﹣+4＝5；（2）解不等式3（x﹣2）≤4x，得：x≥﹣6，解不等式x＜1+x，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣6≤x＜2．17．解：（1）证明：根据作图过程可知：AD是∠CAB平分线，∴∠DAB＝∠DAC＝∠B＝30°，∴DA＝DB，所以点D在AB中垂线上；（2）当CD＝2时，AD＝2CD＝4，∴AC＝2，BC＝BD+DC＝6，所以S△ACB＝BC•AC＝6．18．解：（1）九年级三班共有的人数为16÷40%＝40（人）．B类所对应的圆心角为360°×＝36°．故答案为：40；36°．（2）选择A类的人数为40×＝12（人），∴选择D类的人数为40﹣12﹣4﹣16＝8（人），600×＝120（人）．∴估计九年级学生选择D类的约有120人．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲和乙的结果有2种，∴恰好选到甲和乙的概率为＝．19．解：（1）设购买草莓x箱，购买苹果y箱，由题意得：，解得：，答：小李购买草莓25箱，购买苹果15箱；（2）①由（1）可知小李购买草莓25箱，购买苹果15箱，则分给甲店草莓a箱，则分给乙店草莓（25﹣a）箱，甲店分得苹果（20﹣a）箱，乙店分得苹果：15﹣20+a＝（a﹣5）（箱），故答案为：20﹣a；25﹣a；a﹣5；获取的总利润W＝14a+10×（25﹣a）+20×（20﹣a）+15×（a﹣5）＝﹣a+575，∵乙店获利不少于215元，∴10×（25﹣a）+15×（a﹣5）＝5a+175≥215，解得：a≥8，∵W＝﹣a+575，W随a的增大而减少，∴当a＝8时，W最大，W最大值为567，∴甲店草莓8箱，乙店草莓17箱，甲店苹果12箱，乙店苹果3箱，最大的总利润是567元；②分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，则甲店苹果为（b﹣a）箱，乙店草莓（25﹣a）箱，乙店苹果（15﹣b+a）箱，获取的总利润W＝14a+20（b﹣a）+10（25﹣a）+15（15﹣b+a）＝﹣a+5b+475，∵小李希望获得总利润为600元，∴﹣a+5b+475＝600，整理得：b＝25+，∵a、b为整数，且5＜a＜15，∴a＝10，故答案为：10．20．解：（1）设点C（m，n），由中点坐标公式得，点B（2m，2n），则Rt△OAB的面积＝2m×2n＝8，则mn＝4，则k＝mn＝4；（2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，即mn＝m2＝4，解得：m＝﹣2（舍去）或2，即点C（2，2），则点B（4，4），由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝，当x＝4时，y＝1，即点D（4，1），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣x+3；（3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜1．21．（1）证明：∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：①连接AD，在Rt△ADH中，∵∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tanC＝，∵DH＝15，∴AD＝20，在Rt△BDA中，tanB＝tanC＝，∴sinB＝，∴AB＝＝．②在Rt△ADB中，tanB＝＝，∴BD＝，∴BH＝BD﹣DH＝﹣15＝．22．解：（1）PF＝EG，理由如下：∵BE⊥a，CF⊥a，∴BE∥CF，∴∠PBE＝∠PCG，∠PEB＝∠PGC，∵点P为BC边的中点，∴PB＝PC，∴△PBE≌△PCG（AAS），∴PE＝PG，∵CF⊥a，∴∠EFG＝90°，∴PF＝EG，故答案为：PF＝EG；（2）（1）中的结论还成立，证明如下：延长EP交FC的延长线于G，如图2所示：同（1）得：△PBE≌△PCG（AAS），∴PE＝PG，∵CF⊥a，∴∠EFG＝90°，∴PF＝EG；（3）连接AP，如图3所示：∵AB＝AC，点P为BC边的中点，∴BP＝CP，AP⊥BC，∴∠APB＝90°，设线段AB的中点为M，∵BE⊥a，∴∠BEA＝90°，∴点P、E都在以线段AB为直径的圆上，当PE＝AB＝2时，PE取得最大值，此时四边形BEAP是正方形，则四边形BEFC是矩形，AE＝