安徽省安庆、池州、铜陵三市2023-2024学年下学期高三开学联考数学试题（含答案）

-2024学年安徽省安庆、池州、铜陵三市高三开学联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则集合(

)A. B. C. D.2.若复数z满足，则(

)A. B.i C. D.3.已知，则(

)A. B. C. D.4.在封闭的等边圆锥轴截面为等边三角形内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为(

)A. B. C. D.5.已知函数为奇函数，则(

)A. B. C. D.6.分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形;同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形，则第5次分形后图形长度为(

)

A. B. C. D.7.已知椭圆C的左、右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为(

)A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为1，P，Q分别为棱，上的动点，则四面体PQAD的体积最大值为(

)

A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.甲乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677则(

)A.甲乙两人射击成绩的平均数相同 B.甲乙两人射击成绩的中位数相同

C.甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差 D.甲比乙射击成绩更稳定10.已知，，，则(

)A.的最大值为2

B.的最大值为2

C.若，则最大值为

D.若，则最大值为411.已知为函数的极值点，则参考数据：(

)A.在上单调递减 B.的极小值为

C. D.12.已知平行四边形ABCD中，，，，P，Q分别为与的外接圆，上一点，则(

)A.P，Q两点之间的距离的最大值为6

B.若直线PQ与，都相切，则直线PQ的斜率为1

C.若直线PQ过原点与相切，则直线PQ被截得的弦长为4

D.的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.二项式的展开式中的常数项为__________.14.写出函数，的一个单调递增区间为__________.15.过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为__________.16.已知函数既有极小值又有极大值，则实数a的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题10分如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足求点D在BC上，，，求18.本小题12分已知数列满足，记，求证：数列是等比数列;若，求19.本小题12分

为发展体育运动，增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表：学生ABCDE获胜概率获胜积分87654若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率;若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班BCD三人组合是否具有参赛资格?请说明理由.20.本小题12分

在矩形ABCD中，，将沿AC折起至的位置，且

求证：平面平面求二面角的正弦值.21.本小题12分已知双曲线的离心率为2，在C上.求双曲线C的方程;不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点.22.本小题12分已知函数，，若曲线与相切.求函数的单调区间;若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上，①求实数m的取值范围;

②证明：答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题.

先化简集合B，再由交集的定义即可求解.【解答】

解：由于，或，

所以，

故选2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查复数的模，复数的运算，属于基础题．

根据已知条件，结合复数模的计算，以及复数的除法运算，即可求解．【解答】

解：，

故选：3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查同角三角函数基本关系的应用，属于基础题.

由，可得，又由，解得的值，从而得到的值，由可得结果.【解答】

解：因为，

所以，

又由，

所以，

解得或不符合题意舍去，

所以，

所以，

故选4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题.

设底面半径为r，由已知得，高为，再利用圆锥的体积公式即可求解.【解答】

解：设圆锥底面半径为r，则高为，

则在圆锥及内切球的过圆锥轴截面中，，

故轴截面是边长为的正三角形，高为

故圆锥体积为

故选5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

由奇函数的性质求出a的值，从而可得函数的解析式，然后代入求解即可.【解答】

解：由已知，

因为，故，

所以，

故，

故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，属于基础题.

根据等比数列的通项公式即可求解.【解答】

解：一次分形长度为，二次分形长度为，5次分形长度为，故选7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率，是中档题.

设，则，利用椭圆的定义，结合勾股定理求出离心率.【解答】

解：设，

由于，

则，，

设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，

根据椭圆的定义可得，

则，

在中得：，

即，

整理得，

则，

在中得，，

即，整理得，

所以椭圆的离心率为

故选8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了棱锥的体积，属于拔高题．

作辅助线，利用棱锥的体积公式可求．【解答】

解：过点Q作BC的平行线分别交BB1，CC1于H，G，连接DG，AH，过P作DG的垂线，分别交DG，DC于O，M，于N，设，，

则t，，，，

，，

故四面体PQAD的体积为，

当时，其最大值为，即Q与C重合，P为C1D1上任意一点时，四面体PQAD的体积最大为，

或当P与D1重合，Q为B1C上任意一点时，四面体PQAD的体积最大为，

故A正确.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查样本的数据特征，属于基础题.

由已知数据，利用极差、平均数、方差和众数对选项逐个判断即可.【解答】

解：甲射击成绩的平均数为，

乙射击成绩的平均数为，

故A正确；

甲射击成绩从小到大排列为4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则中位数是，

乙射击成绩从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，则中位数是，

故B正确;

甲的极差为6，乙的极差为4，故C正确;

甲射击成绩的方差为：，

乙射击成绩的方差为：，故D错误.

故选10.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查平面向量的加减法和向量的模，属于一般题.

由已知A，B为单位圆上任意两点，，然后利用向量的加减法和向量模的几何意义逐个判断即可.【解答】

解：由已知可得A，B为单位圆上任意两点，，

，

由图可知，最长时为单位圆的直径2，所以，故A正确;

设D为线段AB的中点，如图，

，

当A，B都位于点时，取到最大值3，则，故B错误;

因为，

所以P，A，B三点共线，

，当线段AB为单位圆的直径时取等号，故C错误;

因为，

所以P，A，B三点共线，且A，B不重合，

取AB的中点D，，

当A，B两点分别为，或，时，，即；

若非上述情况时，，则，则，

综上可得，，即的最大值为4，故D正确.

故选11.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值和利用导数研究函数的单调性，是中档题.

由题意得，得出，再利用导数得出函数的单调性和极值，逐一判定即可.【解答】

解：，

由，故，所以，

则，定义域为

此时，

当或时，

当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减.

所以的极小值为，

又

故选12.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆有关的最值问题，是中档题.

根据已知求得点D的坐标，推出，，得到、的方程，再由直线与圆的位置关系逐一判定即可.【解答】

解：设，

因为四边形ABCD为平行四边形，所以，

即，可得，，

则，

由题可得，，

，

则222，222，

可得，，

则的外接圆是以线段BC为直径的圆，半径为2，

的外接圆是以线段AD为直径的圆，半径为2，

线段BC的中点坐标为，线段AD的中点坐标为，

的方程为：，

的方程为：，

，

P，Q两点之间的距离的最大值为，故A错误；

由，可知与相交，

若直线PQ与，都相切，则，

故直线PQ的斜率，所以B正确；

当PQ斜率为0时，直线PQ被截得的弦长为4，

当PQ斜率不为0时，直线PQ被截得的弦长不为4，故C错误；

可知直线AD与相切，

当DP与相切时，最大，此时，

故，故D正确.

13.【答案】15

【解析】【分析】本题考查利用二项展开式求特定项，属于基础题.

写出二项展开式的通项公式，令x的幂指数为0，求出r的值，即可求出结果.【解答】

解：二项式展开式的通项公式为，

由，得，

故常数项为

故答案为14.【答案】答案不唯一

【解析】【分析】本题考查判断或证明函数的奇偶性、判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，属于中档题.

判断出函数为偶函数，当时，，即可求出结果.【解答】

解：因为，且函数的定义域为，

所以为偶函数，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

由偶函数的对称性可知在上单调递增.

故答案为答案不唯一15.【答案】

【解析】【分析】本题考查抛物线中的面积问题，向量与抛物线的综合问题，属于中档题.

设出直线l方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系和向量的坐标运算，求得，求出弦长和点O到直线AB距离，即可求出结果.【解答】

解：由已知得，

可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

代入，整理得，

设，，

故①，②，

又，且，

故③，

由①②③联立，解得，

此时，

点O到直线AB的距离为，

故的面积为

故答案为16.【答案】

【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.

求出，问题转化为在上至少有两个不等的正实数根，设，对a分类讨论，利用导数判断的单调性，当时，求出，由，即可求出结果.【解答】

解：因为，可知且，

所以，

因为函数既有极小值又有极大值，

所以在上至少有两个不等的正实数根，

设，

则，

当时，，则在上恒成立，

则即单调递增，不符合题意；

当时，由，得，

由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，又时，；时，；

所以若使在上至少有两个不等的正实数根，

则，即，解得

故答案为17.【答案】解：由已知可得：，即，

则，

又，所以

故，

所以

由知，又，所以，

又因为，可得，

，

在中，由正弦定理得：，

所以

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

由已知及正弦定理得，再结合余弦定理可得，从而可得A的值，然后再由，利用两角差的正弦公式进行计算即可；

由，利用两角和的正弦公式计算出结果，再中，由正弦定理即可求解.18.【答案】解：由已知，

当时，，

故，

又，

所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；

由知：，

由，可得，

，

设，

故

【解析】本题考查数列的递推关系，考查等比数列的定义，分组求和法的运用，考查推理能力与运算求解能力，是中档题．

由数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明；

由知：，然后利用分组求和法即可求解.19.【答案】解：记学生A，B，C，D，E参赛获胜事件分别用M1，M2，M3，M4，M5表示，

5场全胜的概率为：1M2M3M4M5，

甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件，

故甲班至多获胜4场的概率为1M2M3M4M5，

甲班至多获胜4场的概率为

记BCD三人组合班级得分为Y，

Y的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，

由已知得

，，

，，

，，

，，

，

因为，

所以BCD三人组合具有参赛资格.

【解析】本题考查相互独立事件的概率公式、以及离散型随机变量的期望，属于中档题.

记学生A，B，C，D，E参赛获胜事件分别用M1，M2，M3，M4，M5表示，由相互独立事件的概率乘法公式求出5场全胜的概率为：1M2M3M4M5，又甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件，即可求解；

记BCD三人组合班级得分为Y，Y的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，求出对应的概率，即可求出期望.20.【答案】解：由已知可得：，，，

在中，，故，

又，且，PB、平面PAB，

所以平面PAB，

因为平面PBC，所以平面平面

取AB、CD的中点O、E，连接OP，

可知，则，

因为，所以，

由知：平面PAB，又平面ABC，

所以平面平面ABC，又平面平面，平面PAB，

所以平面

以OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

设平面APC的一个法向量为，

，，

，，故，

取，，，则，

又平面ABC的一个法向量为，

，，

，

所以二面角的正弦值为

【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.

先证明平面PAB，由面面垂直的判定即可得证；

建立空间直角坐标系，得出平面APC的法向量和平面ABC的法向量，利用空间向量求解即可.21.【答案】解：由已知得：，，所以，

又，解得，，

故双曲线C的方程为

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，

代入整理得：，

由已知得且，

可得且，

设，，

则，，①

由，得，

即，

即，

即，②

由①②联立得：，

即，

由已知l不经过点，故，

所以，故，

，过定点，

当轴即直线l斜率不存在时，设，则，

由，可得，

即，

又，即，

可得，解得或舍，

此时直线l方程为，过点

综上可得，直线l过定点

【解析