受迫振动中振幅和频率的讨论

关于受迫振动中振幅和频率的讨论关于受迫振动的微分方程振子的受力情况：回复力、阻力、策动力回复力：阻力：第2页,共43页，2024年2月25日，星期天策动力的讨论一般情况下策动力需要周期性变化，因此，我们可以用弦类函数去表示策动力同时策动力一般是有稳定的最大值我们看到在受迫振动中，策动力成为振子运动的主要因素。所以策动力的方向应该与位移方向相同。第3页,共43页，2024年2月25日，星期天几处要点使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使策动力能取到不同的相位。余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使策动力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下，策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。第4页,共43页，2024年2月25日，星期天微分方程这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程第5页,共43页，2024年2月25日，星期天为了简化运算，我们做参数替换方程变为以下形式第6页,共43页，2024年2月25日，星期天对应的齐次方程为设方程的一个解为：代入齐次方程第7页,共43页，2024年2月25日，星期天这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程。第8页,共43页，2024年2月25日，星期天讨论根的情况但是，上述两个解都不含有任意常数，所以它们都不是方程的通解。我们可以利用常数变易法去讨论在上述方程的解中γ，ω，1均为常数，但是前两者由方程给定，只有“1”是我们的假设。第9页,共43页，2024年2月25日，星期天所以，我们可以把“1”，变为一个与自变量t有关的变常数C(t).第10页,共43页，2024年2月25日，星期天对方程进行整理，可以得到：第11页,共43页，2024年2月25日，星期天γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理第12页,共43页，2024年2月25日，星期天两边积分，得到：再次积分，得到：第13页,共43页，2024年2月25日，星期天代入C(t),得：第14页,共43页，2024年2月25日，星期天可以看到：第15页,共43页，2024年2月25日，星期天第16页,共43页，2024年2月25日，星期天可以看到，两者是等价的

因此，解可以合并为：同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形式产生影响第17页,共43页，2024年2月25日，星期天第18页,共43页，2024年2月25日，星期天第19页,共43页，2024年2月25日，星期天经过整理，可得：第20页,共43页，2024年2月25日，星期天第21页,共43页，2024年2月25日，星期天第22页,共43页，2024年2月25日，星期天进行两次积分，得到：以上为齐次方程的通解情况第23页,共43页，2024年2月25日，星期天接下来我们求非齐次方程的特解：第24页,共43页，2024年2月25日，星期天根据解的叠加原理，待求的非齐次方程的通解，为下列两个非齐次方程的通解之和。第25页,共43页，2024年2月25日，星期天利用待定系数法求解两个微分方程第26页,共43页，2024年2月25日，星期天第27页,共43页，2024年2月25日，星期天第28页,共43页，2024年2月25日，星期天显然我们可以看到：第29页,共43页，2024年2月25日，星期天同理，我们对方程：第30页,共43页，2024年2月25日，星期天第31页,共43页，2024年2月25日，星期天第32页,共43页，2024年2月25日，星期天两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等第33页,共43页，2024年2月25日，星期天得到方程组：第34页,共43页，2024年2月25日，星期天第35页,共43页，2024年2月25日，星期天第36页,共43页，2024年2月25日，星期天第37页,共43页，2024年2月25日，星期天这就是非齐次方程的特解。第38页,共43页，2024年2月25日，星期天第39页,共43页，2024年2月25日，星期天非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解。第40页,共43页，2024年2月25日，星期天此时即为稳态的受迫振动我们看到，稳态受迫振动的角频率为策动力的角频率利用辅助角公式可以求得振幅第41页,共43页，2024年2月25日，星期天可以看到，当Ω