结构力学薄壁工程梁理论

1、航空学院航空学院航空结构工程系航空结构工程系6.1 概述概述梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁，梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁，剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。薄壁工程梁理论薄壁工程梁理论xzy 实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用有限元法求解也比较麻烦。有限元法求解也比较麻烦。（1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（横剖面可以发生翘曲（ ），但在自身平面），但在自身平面内的投影形状不变；内

2、的投影形状不变；0)(zww（2）剖面上正应力和切应力沿壁厚）剖面上正应力和切应力沿壁厚均匀分布。切应力均匀分布。切应力平行于壁中线的平行于壁中线的切线。切线。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整，件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整，形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就是是。tn0n自由表面自由表面q剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。tq)(sqq 剪流剪流，（3

3、）应变平面分布）应变平面分布cbyaxzcba,待定常数待定常数则正应力：则正应力：cybxacbyaxEEzz)( 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做和和。 当翘曲受限时，叫做当翘曲受限时，叫做和和，产生附，产生附加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理论不适用于翼根或梁的固定端。论不适用于翼根或梁的固定端。xzy（1）坐标系）坐标系 x轴和轴和y轴在剖面轴在剖面内，内，z轴平行于母线轴平行于母线（展向），（展向），x、y、z构构成右手坐标系。成右手坐标系。 通常坐标原点位通常坐标原点位于剖面上全部能够

4、承于剖面上全部能够承受正应力的面积的形受正应力的面积的形心上。心上。xzyo 正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合力的关系而定。力的关系而定。正应力正应力切应力切应力剖面应力（分布形式的内力）：剖面应力（分布形式的内力）：准确地讲，准确地讲， 是剖面分布内力的合力。是剖面分布内力的合力。,xyzxyzMMMQ QNzMxMyMzNxQyQ（2）剖面内力）剖面内力,xyzxyzMMMQ QN矢量正方向与坐标轴正向矢量正方向与坐标轴正向一致。一致。xzyzNxMyMo6.2 自由弯曲时正应力的计算自由弯曲时正应力的计算xQzMyQds 剖面上

5、剖面上6个内力合力个内力合力中，中，Mz、Qx、Qy不引起不引起弯曲正应力。弯曲正应力。t),(yx壁上一点（壁上一点（x , y）处：）处：正应力正应力该点处取微段该点处取微段ds微段面积为微段面积为 ，微段上正应力的合力为，微段上正应力的合力为 。dstdst三个平衡方程：三个平衡方程：xAMy tdsyAMx tdszANtdscybxacbyaxEEzz)(将正应力平面分布的表达式将正应力平面分布的表达式代入平衡方程代入平衡方程xAAAMytdsctdsybxytdsa2yAAAMxtdscxytdsbtdsxa2zAAANtdscytdsbxtdsa式中，式中，xASytds yAS

6、xtds 静矩静矩xAJtdsy2yAJtdsx2惯性矩惯性矩xyAJxytds 惯性积惯性积0AtdsA剖面面积；剖面面积；xAAAMytdsctdsybxytdsa2yAAAMxtdscxytdsbtdsxa2zAAANtdscytdsbxtdsaxxxxyMScJbJayyxyyMScJbJazxyNAcSbSa0注意：积分注意：积分 是对所有承受正应力的面积进行的。是对所有承受正应力的面积进行的。A若若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩坐标系的原点是剖面的形心，则静矩0yxSS0AxyxytdsJ若若x, y是剖面的形心主轴，则是剖面的形心主轴，则 ， 称为主形心惯性矩，且称为主形

7、心惯性矩，且xJyJxxMJbyyMJazNAc0 xxxxyMScJbJayyxyyMScJbJazxyNAcSbSa0yyJMaxxJMb 0ANcz所以：所以：0yxzyxMMNa xb ycxyJJA 当当x，y轴是任意形心轴的情况，轴是任意形心轴的情况，0 xyJ正应力的计算公式为正应力的计算公式为:0ANyJMxJMzxxyyyxMM ,分别叫做对分别叫做对x轴和轴和y轴的当量弯矩。轴的当量弯矩。xxyxyyJJMMkM1yxyyxxJJMMkM1yxxyJJJk21式中，式中，；xyxM梁腹板梁腹板桁条（筋条）桁条（筋条）梁缘条梁缘条11,tE22,tE33,tE44,tE 如果

8、所分析的结构如果所分析的结构由不同材料构成，前面由不同材料构成，前面的公式就不能直接使用，的公式就不能直接使用，这时可把不同材料向同这时可把不同材料向同一种材料折算；一种材料折算；使得所有结构元件具有使得所有结构元件具有相同的弹性模量，而剖相同的弹性模量，而剖面的几何形状不变。面的几何形状不变。设所有元件采用相同的弹性模量设所有元件采用相同的弹性模量 。E引入减缩因数引入减缩因数EEii（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。）变形协调：减缩前后元件的应变相等。EEiiizi则则 iii（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。）平衡：减缩前后元件的轴力不变。iiiiziAAN则则 iiiAA也就是

9、说，只需要把元件的面积作减缩，也就是说，只需要把元件的面积作减缩， ，这时对，这时对应的正应力就是应的正应力就是 ，仍可按下式计算应力，仍可按下式计算应力iiiAAi0ANyJMxJMzxxyyi主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。iii然后通过然后通过 换算成真实的正应力。换算成真实的正应力。 薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限，薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限，而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。 有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折有时可以让蒙皮承受剪

10、切，而将其承受正应力的能力折算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集中面积。中面积。 薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的剖面很小，可以近似地看成集中面积。剖面很小，可以近似地看成集中面积。2q1qdzz 承受正应力的桁承受正应力的桁条与承受切应力的蒙条与承受切应力的蒙皮之间的传力关系皮之间的传力关系杆杆-板模型板模型t 计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积可以承受正应力。可以承受正应力。iiiiiiAyAyAxAx

11、00,2iixyAJ2iiyxAJiiixyyxAJyxxyJJJ22tanxy0 x0yxyoxyo确定剖面几何性质时：确定剖面几何性质时：xyzabcddzsqdzNdzzNN6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算自由弯曲时开剖面切应力的计算acd 图示开剖面薄壁梁，欲求一图示开剖面薄壁梁，欲求一截面上点截面上点b处的剪流处的剪流q， 。tq 假设假设x、y轴为形心主轴，轴为形心主轴，b点所在剖面仅受弯矩点所在剖面仅受弯矩Mx和剪和剪力力Qy作用，其余内力为零。作用，其余内力为零。则该剖面上正应力的公式为：则该剖面上正应力的公式为：yJMxx 取微面积取微面积abcd，ad边无剪流，边无剪流

12、，b点点处剖面剪流为处剖面剪流为q，则，则bc边的剪流为边的剪流为q。b由平衡条件由平衡条件 ，知，知0zF0dzqNdzzNNzNq而而N为为ab段上的轴力：段上的轴力：sxxstdsyJMdstN00sxxytdsJMzzNq0sxxytdszMJ01由材料力学知识知，由材料力学知识知，yxQzMsytds0表示从自由边到所求应力点处，表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积受正应力的面积对对形心主轴形心主轴x的静矩，用的静矩，用Sx表示，即表示，即sxytdsS0 xxySJQqabcddzsqNdzzNN 如果剖面上只有如果剖面上只有My及及Qx作用时，同样可以推导出相应作用时，同样

13、可以推导出相应的剪流计算公式。因此，在的剪流计算公式。因此，在x轴和轴和y轴为形心主轴且剖面上轴为形心主轴且剖面上的内力为的内力为Qy、Mx和和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为时，剖面上的剪流计算公式为yyxxxySJQSJQq 求图示槽型截面在剪力求图示槽型截面在剪力Qy作用下的剪流。剖面周边的厚度作用下的剪流。剖面周边的厚度均为均为t。解：解：x轴是对称轴，必然是形心轴是对称轴，必然是形心主轴。主轴。thbyQxyOxxySJQq1s2s12345thbyQxyO计算惯性矩：计算惯性矩：621212)(2232hbththhbtJx求静矩分布：求静矩分布：1021211htsytdsS

14、sx1-2段：段：2-3段：段：2221220322shtshtbytdsSsxSxhtb21htb2128121thhtb剖面下半部分静矩与上半部分对称。剖面下半部分静矩与上半部分对称。31212btsxytdsS0qyQhbhb)6/( yQhbhhb)6/(4计算剖面剪流：计算剖面剪流：xxySJQqxyShbthQ622Sxhtb21htb2128121thhtb 剪流方向根据其与剪力的剪流方向根据其与剪力的关系确定。关系确定。平衡观点平衡观点合力观点合力观点合力的观点较合理。合力的观点较合理。以后的讨论均按合力的观点（以后的讨论均按合力的观点（和书上不同和书上不同）。）。xyyQOt

15、tb2h例例6-3 求工字梁剖面在剪力求工字梁剖面在剪力Qy作用作用下的剪流。剖面周边的厚度均为下的剪流。剖面周边的厚度均为t。x轴是对称轴，必然是形心主轴。轴是对称轴，必然是形心主轴。xxySJQq计算惯性矩：计算惯性矩：)12(1212)2(2232hbththhbtJx求静矩分布：求静矩分布：3)2(1212tb省略一项：省略一项：1s2s1234567xyyQOttb2h求静矩分布：求静矩分布：1021211htsytdsSsx1-2段：段：2023212htsytdsSsx3-2段：段：3s2-7段：段：223372shtshtbSxxSbth21bth281thbth 剖面下半部分

16、静矩与上半部分剖面下半部分静矩与上半部分对称。对称。静矩有继承性。静矩有继承性。xSbth21bth281thbthq)12/(2hbhbQy)12/(hbhbQyyQhbhhb)12/(8/计算剖面剪流：计算剖面剪流：xxySJQqxyShbthQ122 静矩有继承性，因此剪流有连静矩有继承性，因此剪流有连续性，流向某点的剪流总和与流出续性，流向某点的剪流总和与流出该点的剪流总和相同。该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静但在有集中面积之处，由于静矩突变，剪流连续性不存在。矩突变，剪流连续性不存在。 求圆形开剖面结构在剪力求圆形开剖面结构在剪力Qy作用作用下的剪流。设壁厚为下的剪流

17、。设壁厚为t。xyoRtyQx、y轴是形心主轴轴是形心主轴计算惯性矩：计算惯性矩：tRJx3有两种办法计算惯性矩：有两种办法计算惯性矩：AxdAyJ2202202)cos(4)cos(4tRdRtdsRdds4441)(41RtRJx)2)(22(4222RttRttRtRtRdtR3320322)2cos1 (2)()(42222RtRRtRtRRtR32224计算静矩分布：计算静矩分布：sxytdsS0)(计算剪流分布：计算剪流分布：xxySJQqRQyqtR2xSsin)cos(20tRtRdRsinsin23RQtRtRQyyxyzabcdqdzNdzzNNdzq06.4 自由弯曲时单

18、闭室剖面切应力的计算自由弯曲时单闭室剖面切应力的计算 单闭室剖面薄壁梁。任意剖面单闭室剖面薄壁梁。任意剖面上的内力为上的内力为xyxzyxNQQMMM, 为简化分析，先考虑为简化分析，先考虑梁剖面围绕梁剖面围绕x轴发生自由轴发生自由弯曲时（譬如，在弯曲时（譬如，在Qy作用作用下）的切应力计算。下）的切应力计算。acddz),(zyxb 取微面积取微面积abcd，b点处剪流点处剪流q待求。待求。则则bc边上的剪流也是边上的剪流也是q。设。设ad边剪流边剪流为为q0。ab边和边和cd边上的轴力差与边上的轴力差与q和和q0有关。有关。由平衡条件由平衡条件 ，知，知0zF00dzqdzqNdzzNN0

19、Nqqz0qytdsJMzqbaxx01qytdszMJbaxxabcdqdzNdzzNNdzq0得到，得到，dstNba00baNqqtdsqzzzMQxyyJMxx将将代入上式并注意到代入上式并注意到 ，有，有0qSJQxxy记记 qSJQxxy， 是沿是沿ad边切开时对应开剖面的剪流，则边切开时对应开剖面的剪流，则q0qqq就是就是 计算起始点的真实剪流。计算起始点的真实剪流。0qqxyyQoxMds 以任意点以任意点 为力矩极点，为力矩极点，并设剖面上内力引起的关于该并设剖面上内力引起的关于该点的力矩为点的力矩为 ，则，则ozMzsMq ds 0()sqqdsq0为常数，则有为常数，则

20、有0zscMq dsqds 为闭合周边所围成的面积的为闭合周边所围成的面积的2倍。倍。由此解出由此解出)(10szdsqMqoqdsqs0q dsq力矩极点的选择是任意的，力矩极点的选择是任意的，0zMsszdsqdsqMq)(10sdsqqqqq0, 0qzMqq0根据力矩极点的不同位置，有几种特例，可使剪流计算根据力矩极点的不同位置，有几种特例，可使剪流计算简化：简化：zszMdsqMq)(100sdsqzMqq0这时剖面上就只有扭矩这时剖面上就只有扭矩Mz（包括力移到开剖面弯心时（包括力移到开剖面弯心时产生的力矩产生的力矩 ），因此），因此zM计算单闭室剖面薄壁结构在剪力计算单闭室剖面薄

21、壁结构在剪力Qy作用下的剪流。作用下的剪流。yQcc5 . 0c2tttt 2xox为形心主轴。为形心主轴。3233452221212121tccctctctJx有忽略项有忽略项42tc452tc8112tcxSyQcc5 . 0c2tttt 2xo123450 在在0点处切口，作为计点处切口，作为计算静矩的起点。则算静矩的起点。则1s2s3s0 1211122xsSt sts2222212422stctcctsctSx)(245224332332232sctstcscsttctcSxxyxxyStcQSJQq354cQy5cQycQy1011q42tc452tc8112tcxS按照合力的观点

22、。按照合力的观点。cQy5cQycQy1011qoyQcc5 . 0c2tttt 2xo0zM以以 点为力矩极点，则有点为力矩极点，则有o2422ccc123252yQccccQy617222)5(21cccQcQyy23)1032(ccQcccQyysq ds)(10szdsqMqsszdsqdsqMq)(10cQqy24170cQcQcyy2417617412 按照合力的观点，按照合力的观点，q0的正的正方向应与扭矩的正向（逆钟向）方向应与扭矩的正向（逆钟向）一致，负值表示一致，负值表示q0的实际方向的实际方向是顺时针方向。是顺时针方向。0qqqyQcc5 . 0c2tttt 2xocQy

23、5cQycQy1011qcQy12061cQy247cQy12047qcQy2417cQqy24170 在圆弧段某处做切口，绘出在圆弧段某处做切口，绘出静矩分布图。静矩分布图。 计算四缘条闭合剖面梁在剪力计算四缘条闭合剖面梁在剪力Qy作用下的剪流。设壁作用下的剪流。设壁不承受正应力，缘条集中面积不承受正应力，缘条集中面积A1=50mm2，A2=200mm2，b=60mm，c=100mm，Qy=90000N。x为形心主轴。为形心主轴。422212mm180000060)20050(2)(2bAAyAJiix012341A2A2A1AyQxcb01234xSbA1bAA)(21 对应开剖面剪流为：

24、对应开剖面剪流为：xxxxySSSJQq05. 018000009000031mm30006050bA321mm1500060)20050()(bAA图中：图中：由此可绘出由此可绘出 的力图。的力图。q01234q150750以以3点为力矩极点，点为力矩极点，0zM)22(2)212(22bcbbbc)2601002(6022mm73.35309sdsqmm/N98.5073.353091800000)(10sszdsqdsqMq)(10szdsqMqmmN18000006021001502150bcyQ01234q1507500123498.500q剖面总剪流：剖面总剪流：0qqqq5199

25、6996.5 开剖面弯心的计算开剖面弯心的计算 如果开剖面受扭矩如果开剖面受扭矩Mz的作用。把开剖面看成是某闭剖的作用。把开剖面看成是某闭剖面压扁形成，这时面压扁形成，这时zMq, 0说明薄壁开剖面将不能承受扭矩，或者说很小的扭矩就能说明薄壁开剖面将不能承受扭矩，或者说很小的扭矩就能产生巨大的扭转变形。产生巨大的扭转变形。 弯曲剪流的合力，亦即剖面上的剪力的作用点必为一弯曲剪流的合力，亦即剖面上的剪力的作用点必为一固定点，称为开剖面的弯心。固定点，称为开剖面的弯心。 当外力通过开剖面的弯心时，结构只产生弯曲变形，当外力通过开剖面的弯心时，结构只产生弯曲变形，无扭转。无扭转。薄壁开剖面的剪流只能

26、是弯曲剪流。薄壁开剖面的剪流只能是弯曲剪流。oyx 根据弯心的意义，假定剖面上的剪力只有根据弯心的意义，假定剖面上的剪力只有Qy，则该剪，则该剪力必通过弯心。力必通过弯心。odsyQxq Qy对任意点对任意点 的力矩应等于其引起的剪流对同一点的的力矩应等于其引起的剪流对同一点的力矩，即力矩，即OsydsqxQ式中，式中， 为弯心对力矩中心的为弯心对力矩中心的x坐标，坐标， 为微段为微段ds上的剪流合力上的剪流合力qds到力矩中心的垂直距离。到力矩中心的垂直距离。xxxySJQq ，代入上式得，代入上式得sxxdsSJx1同理也可以推出弯心距同理也可以推出弯心距力矩中心的力矩中心的y向坐标：向坐

27、标：syydsSJy1sxxdsSJx1syydsSJy1 弯心位置只与开剖面的几何性质有关，而与载荷及材弯心位置只与开剖面的几何性质有关，而与载荷及材料性质无关。料性质无关。 根据开剖面弯心的定义，对一些简单形状的剖面，可根据开剖面弯心的定义，对一些简单形状的剖面，可以直接判断弯心的位置。以直接判断弯心的位置。 当剪流分布和剖面几何有一个对称轴当剪流分布和剖面几何有一个对称轴时，弯心必在此对称轴上。时，弯心必在此对称轴上。 角形剖面的剪流合力作用点在角点，角形剖面的剪流合力作用点在角点，因此角点就是弯心。因此角点就是弯心。弯心弯心 图示有两个集中面积的开剖面，图示有两个集中面积的开剖面，壁不

28、受正应力，则剪力的作用线与弦壁不受正应力，则剪力的作用线与弦线平行，与弦线的距离为线平行，与弦线的距离为hx221212221)(hAAAAeAehAJxhAAAe211hx合合力力作作用用线线2y为形心主轴。令为形心主轴。令x也是形心主轴。也是形心主轴。hx合合力力作作用用线线xye1A2Ax221212221)(hAAAAeAehAJxhAAAAehASx21211)(sxxdsSJx1dshx合合力力作作用用线线xye1A2AxAsxxdsJShAh21 求图示槽型截面的弯心位求图示槽型截面的弯心位置。剖面周边的厚度均为置。剖面周边的厚度均为t。x轴是形心主轴。轴是形心主轴。thbyQx

29、yO12345622hbthJx 在例在例6-2中，已经计算出惯性中，已经计算出惯性矩（近似值）：矩（近似值）：sxxdsSJx1syydsSJy1thbyQxyO12345Sxhtb2128121thhtb12345sxxdsSJx1 选取点选取点4为力矩极点为力矩极点例例6-2中也得到了静矩中也得到了静矩Sx的分布。的分布。211122()26bhtb hthhb 则则x236bbh x轴为对称轴，轴为对称轴，则弯心必在则弯心必在x轴上。轴上。现估计弯心在现估计弯心在x轴上轴上的位置。的位置。 求图示开剖面的弯心位置。壁承受正应力。长桁的求图示开剖面的弯心位置。壁承受正应力。长桁的横截面积

30、横截面积A1=112mm2，A2=129mm2，尺寸单位为，尺寸单位为mm。ABCEOx1A2A1A200200800388200100213 确定弯心过程中，要计算所确定弯心过程中，要计算所给剖面对给剖面对x轴的惯性矩以及静矩的轴的惯性矩以及静矩的分布。因此首先需要确定左图所分布。因此首先需要确定左图所示斜边的惯性矩和静矩分布。示斜边的惯性矩和静矩分布。txyl1y2yytxyldsstdsydAyJlAx022)(31222121yyyytltdsyylsyl21201)(ydAsSSxx)(tslyysy)2(2121stdslyyys0121)(当当s=l 时，时，tlyySx2211

31、y2yystdys0ltxysdsslxsxdssSdsS0)(212(2)6tlyydsslyysytl02121)2(sxxdsSJx1则整个剖面对则整个剖面对x轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：2200382512)200200100100(341221220032223xJ47222mm1082)200129150112100112(BE边和边和EO边的长度分别为：边的长度分别为：mm41210040022BEmm82520080022EOABCEOx1A2A1A200200800388200100213)(31222121yyyytlJx21mm112A22mm129AtlyylSx2)(

32、21tslyysysSx)2()(2121 从切口从切口A处开始确定静处开始确定静矩，在一些控制点处的静矩，在一些控制点处的静矩值为：矩值为：ABCEOx1A2A1A2002008003882001002130,AxS3,mBxS3,mm26200100112前后BxBxSS3,mm777002/1501002062）（后前BxCxSS3,mm94500150112前后CxCxSS3,E,mm1666002/2001502062）（后前CxxSS3,mm192400200129前后ExExSS21mm112A22mm129A3,o ,mm2749002/0200825

33、1）（后ExxSS2 .26157 .775 .946 .1664 .1929 .274ABCEOx213388lxsxdssSdsS0)(212(2)6tlyy 选取点选取点O为力矩为力矩极点，剖面各边的积极点，剖面各边的积分分 为：为：sxdsSAB边：边：58mm106)800200200(1001500031sxdsSBE边：边：)1501002(6206220694500206262002sxdsS582mm10124.143388)2001502(620623 31000mm1000mm单位：单位： xS求得弯心坐标（点求得弯心坐标（点O右侧的距离）右侧的距离） 为为:xmm81.

34、372210)124.1436(1081187sxxdsSJxABCEOx1A2A1A200200800388200100213x弯心弯心6.6 单闭室剖面弯心的计算单闭室剖面弯心的计算 单闭室剖面薄壁结构剖面上也存在这样一个点，当外力单闭室剖面薄壁结构剖面上也存在这样一个点，当外力通过该点时，结构只发生弯曲变形，不发生扭转变形，该点通过该点时，结构只发生弯曲变形，不发生扭转变形，该点就是单闭剖面的弯心。就是单闭剖面的弯心。计算单闭剖面弯心的思路：计算单闭剖面弯心的思路： 剖面只发生弯曲变形，则剖面的扭转角剖面只发生弯曲变形，则剖面的扭转角 （或相对扭转（或相对扭转角角 ）=0，因此需先求单闭

35、剖面的转角。，因此需先求单闭剖面的转角。 应用余虚功原理（单位载荷法）。应用余虚功原理（单位载荷法）。 欲求结构某剖面上欲求结构某剖面上m点和与该点和与该剖面距离为剖面距离为L1的另一剖面的相对广的另一剖面的相对广义位移义位移 ，在，在m点作用一个单位广点作用一个单位广义力。义力。mP1111mPVVdVdVEG 或或11111100LLmPsstq qtdsdzdsdzEGEGt 1Lm11 设设 、 为真实外载引起的应为真实外载引起的应力，力， 、 为单位载荷状态引起之应为单位载荷状态引起之应力，则力，则 欲求单闭室剖面的扭转角欲求单闭室剖面的扭转角 ，在该剖面作用一个单位扭矩，它在该剖面

36、作用一个单位扭矩，它在单闭剖面上引起的内力为在单闭剖面上引起的内力为11q和和01dsdzGtqdsdzGtqqLsLs 110011围线积分表示围线积分表示 只存在于剖面的闭合周边。只存在于剖面的闭合周边。1q 相对扭转角为：相对扭转角为：sdsGtqdzd11L11 图示剖面受剪力图示剖面受剪力Qy作用，在作用，在单闭剖面上引起的剪流为单闭剖面上引起的剪流为0qqq则则sdsGtq1dsdsq)(1szdsqMq)(1sxxyoyxxydsSJQxQJSQdsdsSJQxQJSQGtssxxyoyxxy)(111sssxxosxxydsGtdsSJdsGtxdsGtSJQ1111yQoox

37、yQ弯心弯心xoyQox 当剪力通过弯心时，扭转角当剪力通过弯心时，扭转角xxo且且，0则则sosxxdsGtxdsGtSJ11011ssxxdsGtdsSJ解出：解出：ssxsxxdsGtdsGtSdsSJx11其中含有一个全剖面积分其中含有一个全剖面积分和两个闭围线积分。和两个闭围线积分。ssysyydsGtdsGtSdsSJy11类似地可以推出弯心到力矩类似地可以推出弯心到力矩极点极点 的的y向距离：向距离：o 在剖面上任意选择力矩极点。若采用在剖面上任意选择力矩极点。若采用的观点，当的观点，当关于力矩极点的矩是逆时针方向时，关于力矩极点的矩是逆时针方向时， 为正；当为正；当 经过闭经过

38、闭室某个周边时，其关于闭室为逆时针方向时室某个周边时，其关于闭室为逆时针方向时 取正值。取正值。sxdsSqqsxdsSssxsxxdsGtdsGtSdsSJx11ssysyydsGtdsGtSdsSJy11：剖面的几何特性：剖面的几何特性Jx、Jy、Sx和和Sy均是对剖面的形心主均是对剖面的形心主轴轴x、y计算的。计算的。 对单闭室剖面，在某位置假想切开，确定对应开剖面对单闭室剖面，在某位置假想切开，确定对应开剖面剪流剪流 的方向。的方向。q 求图示单闭室剖面弯心的求图示单闭室剖面弯心的位置。设壁不承受正应力，位置。设壁不承受正应力，G、t均相同。均相同。brxyAAAA1234ox轴是对称

39、轴，必然是形心轴是对称轴，必然是形心主轴，且弯心必在主轴，且弯心必在x轴上，轴上，只需要求弯心的只需要求弯心的x坐标坐标 。x惯性矩惯性矩:24ArJx 若在圆弧段上作切口，则可若在圆弧段上作切口，则可绘出静矩绘出静矩Sx的分布如右图。的分布如右图。Ar1234oAr2xSxy1234oq1而而 的方向如的方向如左图。左图。q22)2(4241112222rbGtrGtArrAbrArdsGtdsGtSdsSJxssxsxx222AbrrbArdsSsx关于闭室边关于闭室边2-3为顺时针方向，则：为顺时针方向，则：q 关于力矩极点的矩为逆时针方向，则：关于力矩极点的矩为逆时针方向，则：qGtA

40、rrArGtdsGtSsx24)22(1以点以点O为力矩极点为力矩极点,2r所以所以弯心在点弯心在点O右侧。右侧。GtrrrGtdsGts)2()2(11；xy1234oq1 求图示单闭室的剪流及弯心位置。壁承受正应力，各求图示单闭室的剪流及弯心位置。壁承受正应力，各壁板厚度如图，壁板厚度如图，G相同。长桁的横截面积相同。长桁的横截面积A1=112mm2，A2=129mm2，在距前缘，在距前缘200mm处作用有剪力处作用有剪力Qy=40000N。尺。尺寸单位为寸单位为mm。 x轴为对称轴，则轴为对称轴，则弯心必在弯心必在x轴上。轴上。ABCEOx1A2A1A200200800200100213 ABCEOx1A2A1A200200800200100213在在A处切口，这样就可以利处切口，这样就可以利用例用例6-10中的静矩分析结果。中的静